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O limiar de imunidade de grupo é 66,7%, então porque é que a epidemia infeta 94,1%?

42Math team · 28 June 2026

Dois números da mesma simulação: o surto muda de rumo aos 66,7% e termina nos 94,1%. Tudo o que é interessante está no intervalo entre eles.

Execute o modelo SIR com os valores predefinidos: transmissão β = 0,3, recuperação γ = 0,1, dez mil pessoas, dez delas infeciosas no primeiro dia. O painel indica R₀ = β/γ = 3,00 e um limiar de imunidade de grupo de 1 − 1/R₀ = 66,7%.

Indica também o resultado. Pico de infetados: 3 017 pessoas, 30,2% da população doente em simultâneo. Total de infetados: 9 412 — 94,1%.

Estes dois últimos números são aqueles em que vale a pena deter-nos. O limiar indicava 66,7%, e a epidemia ultrapassou-o em 27,4 pontos percentuais. Isso representa 2 745 pessoas em dez mil que foram infetadas depois de o surto já ter começado a diminuir.

O que o limiar realmente afirma

O limiar é uma afirmação sobre uma derivada, não sobre um fim, e interpretá-lo como um fim é o erro fundamental.

Cada pessoa infeciosa, numa população totalmente suscetível, transmite a infeção a R₀ outras pessoas. Se uma fração da população já estiver imune, apenas a parcela suscetível desses contactos pode ser infetada, pelo que o número reprodutivo efetivo é

R_eff = R₀ · S/N

e a contagem de casos para de crescer quando R_eff = 1, o que acontece quando a fração suscetível S/N desce para 1/R₀ — um terço neste caso. De forma equivalente, quando 66,7% já não são suscetíveis.

Note o que não acontece nesse momento. A transmissão não para. R_eff = 1 significa que cada pessoa infeciosa infeta exatamente mais uma, pelo que a epidemia se mantém estável no seu pico — e é por isso que o pico e o limiar são o mesmo acontecimento. Com os valores predefinidos, 3 017 pessoas estão infeciosas nesse instante. Cada uma delas infeta em média mais uma pessoa, e cada uma destas infeta ligeiramente menos, desenrolando-se a cauda a partir de um conjunto inicial muito grande. O surto decresce a partir do pico em vez de parar nele, e tudo o que é infetado durante esse decréscimo é o excesso.

A cauda é onde residem os 27 pontos extra, e é possível observá-la em pleno curso. Ajuste o controlo de dias para 60: o pico continua a indicar 3 017, portanto já passou, enquanto o total indica 8 122. Estão ainda por ocorrer mais 1 290 infeções, todas elas após o surto ter começado a diminuir.

Por que razão a dimensão final não é uma escolha

O ponto final não é ajustável por nada a não ser por R₀. Kermack e McKendrick derivaram a relação em 1927: se f for a fração eventualmente infetada, então

f = 1 − e^−R₀·f

uma equação implícita com uma única solução acima de zero sempre que R₀ > 1. Para R₀ = 3, fornece f ≈ 0,94, coincidindo com os 94,1% do painel. A equação não contém qualquer termo para a dimensão da população, nenhum termo para a velocidade da epidemia e nada sobre quando começou. Duplicar a população duplica o número de vítimas e não altera em nada a fração.

O excesso cresce com R₀, e cresce de forma severa:

• R₀ = 1,5, a predefinição da gripe — limiar de 33,3%, dimensão final de 5 845 pessoas, ou 58,5%. Excesso de 25 pontos.
• R₀ = 3 — limiar de 66,7%, dimensão final de 94,1%. Excesso de 27 pontos.
• R₀ = 15, a predefinição do sarampo — limiar de 93,3%, e o painel apresenta uma dimensão final de 10 000 em 10 000. Toda a gente. Excesso de cerca de 7 pontos.

O excesso é maior na zona intermédia. Abaixo de R₀ = 1 não há epidemia; para valores muito elevados de R₀, o limiar já está tão próximo de toda a gente que resta pouco espaço para haver excesso. Os patógenos moderadamente transmissíveis, aqueles que parece plausível "deixar circular", apresentam a maior diferença entre o ponto em que o crescimento para e o ponto em que a transmissão para.

A consequência que importa

Ambas as vias para atingir o limiar terminam com 66,7% de imunes. Apenas uma delas custa 94,1% de infetados.

Se a imunidade já estiver estabelecida antes de o patógeno chegar — por vacinação ou exposição prévia a algo com proteção cruzada —, R_eff começa abaixo de 1, não havendo fase de crescimento, pico nem excesso. As introduções produzem pequenos focos que se extinguem. Os 27,4 pontos não são o preço da imunidade; são o preço de a adquirir durante uma epidemia em vez de antes dela.

Esta é também a resposta honesta ao argumento que surgiu repetidamente durante 2020 — de que uma população poderia ser conduzida deliberadamente até ao limiar e travada aí. O modelo mostra que a paragem é a parte que não se controla. Quando os dados mostram que se chegou ao limiar, vários milhares de pessoas já estão infeciosas e as suas infeções já estão consumadas. O pico não é um travão; é o momento em que o travão começa a ser aplicado, com o veículo à velocidade máxima.

Dois limites que vale a pena ter em conta, pois este é um modelo com quatro manípulos e a realidade tem milhares. Assume que todas as pessoas se misturam aleatoriamente entre si, o que nenhuma população faz — estruturas de contacto aglomeradas reduzem a dimensão final e podem produzir a extinção local bem abaixo do limiar ingénuo. E assume que a imunidade é permanente, o que para muitos patógenos não acontece; onde a imunidade diminui, "o limiar" não é um nível a que se chega e se mantém, mas sim um nível que se tem de continuar a pagar. Ambas as correções alteram os números. Nenhuma altera a estrutura do argumento: o ponto onde o crescimento para e o ponto onde a transmissão para são pontos diferentes, e a distância entre eles mede-se em pessoas.