フェーン現象と雨蔭

気温8 °C、露点6 °Cで沿岸に到達した太平洋の空気が、ロッキー山脈の3,000 mの尾根を越え、標高1,045 mのカルガリーへ吹き下ろします。カルガリーの温度計は何度を示し、その余分な熱はどこから来たのでしょうか。これが本ツールの初期状態です。

1. 露点とは空気が含んでいる水蒸気量の指標であり、気温とは無関係です。これを変換し、6 °Cにおける飽和水蒸気圧を求め、次に観測所の気圧1013.25 hPaにおける混合比を計算しましょう。ここで得られた5.79 g/kgという値は、その後のすべての計算に引き継ぎます。上昇する空気塊は、雨が降り始めるまでこの値を一定に保つからです。

   $$e_s(6{}^{\circ }\mathrm{C})=6.112\exp \left(\frac{17.67\times 6}{6+243.5}\right)=9.35\mathrm{hPa}{r}_0=\frac{0.622\times 9.35}{1013.25-9.35}=5.79\mathrm{g}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$$

2. 空気を上昇させましょう。未飽和の空気はg/c_pに従って冷却されます。これは1キロメートルあたり9.75 °Cの減少を意味し、天候というよりも乾燥空気そのものの物理的性質です。気温の低下に伴い、空気が水蒸気を保持する能力も低下しますが、その低下速度は気温の低下よりも急激です。一方で、実際に含まれている水蒸気量はまったく変化しないため、どこかの高度で両者は必ず一致します。飽和混合比が初期値である5.79 g/kgまで低下する高度を求めてみてください。計算結果は雲底高度のカードが示す数値と同じ、249 mとなります。

   $${\Gamma }_d=\frac{g}{c_p}=\frac{9.80665}{1005.7}=9.75\mathrm{K}\mathrm{k}{\mathrm{m}}^{-1}{r}_s\left(8-{\Gamma }_{d}z,p(z)\right)=r_0⟹z=249\mathrm{m},T=5.6{}^{\circ }\mathrm{C}$$

3. 雲底より上でも空気は冷却され続けますが、1メートル上昇するごとに水蒸気が凝結して潜熱を放出するため、冷却のペースは緩やかになります。この減率は残存する水蒸気量に依存するため、上昇過程で常に変化し続けます。ツールはこの変化を1メートルごとに再計算しており、ここから2,751 m上昇する間の平均気温減率は6.48 °C/kmとなります。

   $${\Gamma }_s=\frac{g\left(1+\frac{L{r}_s}{R_{d}T}\right)}{c_p+\frac{L^2{r}_s\epsilon }{R_d{T}^2}}\overline{{\Gamma }_s}=6.48\mathrm{K}\mathrm{k}{\mathrm{m}}^{-1},T_{\mathrm{crest}}=5.6-6.48\times 2.751=-12.3{}^{\circ }\mathrm{C}$$

4. 気温−12.3 °C、気圧701 hPaにおいて、空気が保持できる水蒸気量は2.13 g/kgが限界です。これを超過した分は、すべて雨や雪として風上側の斜面に降り注いだことになります。この数値こそが、この問題全体の鍵を握る重要な要素なのです。

   $$r_s(-12.3{}^{\circ }\mathrm{C},701\mathrm{hPa})=2.13\mathrm{g}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}\Delta r=5.79-2.13=3.66\mathrm{g}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$$

5. それでは、空気を山の反対側へと下ろしましょう。空気が暖まり始めた瞬間に未飽和となるため、そこからの1,955 mは再び乾燥断熱減率に従います。一度も飽和に達することなく8 °Cから乾燥断熱的に下降したと仮定した場合の、1,045 mにおける気温と比較してみてください。

   $$T_{\mathrm{lee}}=-12.3+9.75\times 1.955=6.8{}^{\circ }\mathrm{C}{T}_{\mathrm{dry}}=8-9.75\times 1.045=-2.2{}^{\circ }\mathrm{C}⟹\Delta T=+9.0{}^{\circ }\mathrm{C}$$

6. この9.0 °Cの熱はどこから来たのでしょうか。凝結した水蒸気は、1グラムごとにその周囲の空気へ潜熱を放出しました。失われた水蒸気量にLを掛け、比熱で割ると9.21 °Cが得られます。規模としては妥当ですが、2.4%ほど過大です。この誤差は丸め誤差ではなく、実際に生じるものです。熱は700 hPa付近で放出され、900 hPaで顕熱として現れます。そして、飽和した空気の上昇過程において実際に保存されるのは、特定の高度におけるT + Lr/c_pではなく、相当温位だからです。

   $$\frac{L\Delta r}{c_p}=\frac{2.530\times 10^6\times 3.66\times 10^{-3}}{1005.7}=9.21\mathrm{K}\frac{9.21}{8.99}=1.024$$

冬の空気 (スカンディナヴィア)のプリセットは、気温−8 °C、露点−9 °Cの空気を1,500 mの尾根へ持ち上げ、風下側の観測所は2.5 °Cを得ます。この昇温がどこから来るのかを求め、そのうえで、この空気がチヌークの九度を届けるには尾根がどれほど高くなければならないかを答えてください。

1. 昇温は二つの量の積で決まり、山の高さはそのどちらでもありません。雲の中では空気は乾燥断熱の9.75ではなく7.97 °C/kmで冷え、反対側を下るときは全行程を乾燥断熱率で暖まります。残るのは、二つの減率の差に、通過した雲の厚さを掛けたものです。雲底121 m、尾根1,500 m。雲の厚さ1.379 kmに、1 kmあたり1.78 °Cの差です。

   $$\Delta T=\left({\Gamma }_d-\overline{{\Gamma }_s}\right)\left(z_{\mathrm{crest}}-z_{\mathrm{cloud}}\right)=(9.751-7.969)\times 1.379=2.46{}^{\circ }\mathrm{C}$$

2. では尾根を高くしてみましょう。雲は厚くなり、これは有利に働きますが、同時に雲の中の冷却も速くなります。尾根1,500 mで7.97 °C/km、3,000 mで8.39、6,000 mで8.95、9,000 mで9.22。乾燥断熱率へ近づいていきます。これほど冷たい空気は、高く昇るほど凝結させる水蒸気が残っていないからです。

   $$\overline{{\Gamma }_s}:1500\mathrm{m}:7.973000:8.396000:8.959000:9.22\mathrm{K}\mathrm{k}{\mathrm{m}}^{-1}⟶{\Gamma }_d$$

3. 二つの要因は逆向きに引き合い、勝つのは後者です。尾根を動かすと、昇温は同じ四つの高度で2.46、3.91、4.69、4.74 °Cとなります。山を六倍にしても、昇温は二倍になりません。

   $$\Delta T:1500\mathrm{m}:2.463000:3.916000:4.699000:4.74{}^{\circ }\mathrm{C}$$

4. その背後には固い上限があり、それは地形ではなく空気の側に属します。凝結する水蒸気は1グラムごとに潜熱を空気塊へ渡し、下降でそれが返されることはありません。したがって得られる最大値は、持っている水をすべて熱に換えた量、すなわち L·r₀ / c_p です。この空気塊が抱える水蒸気は1 kgあたり1.91 g、熱に換算して4.75 °Cです。

   $$\Delta T_{\max }=\frac{L{r}_0}{c_p}=\frac{2.5\times 10^6\times 1.910\times 10^{-3}}{1005.7}=4.75{}^{\circ }\mathrm{C}$$

5. 尾根を地球上のどの山よりも高い9,000 mに設定しても、フェーン昇温量は+4.7と表示されます。凝結量のカードは1.91 g/kg、すなわち空気が持ってきた水のすべてを示し、尾根に残るのは0.0003 g/kgです。燃料はもうありません。

   $$z_{\mathrm{crest}}=9000\mathrm{m}:\Delta r=1.910=r_0,r_{\mathrm{crest}}=0.0003\mathrm{g}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$$

6. チヌークの空気は十六度暖かく、水を三倍運びます。5.79 g/kg、上限は14.4 °C、そして3,000 mの尾根で実際に届いたのは9.0 °Cでした。飽和水蒸気圧はおよそ十度ごとに倍になりますから、暖かい空気ははるかに大きなタンクを抱えて山にやって来るのです。

   $$\text{Chinook air}:r_0=5.792⟹\Delta T_{\max }=14.40{}^{\circ }\mathrm{C},\Delta T(3000\mathrm{m})=8.99{}^{\circ }\mathrm{C}$$