本稿は機械翻訳によるものであり、原文は英語です。 原文を読む
39都市には地球の質量を超えるDNAが必要となる
候補となる順序1つにつき1本のDNA鎖を用いる総当たり経路探索では、20都市で半グラムのDNAが必要となる。39都市になると、地球の質量を超える量が必要になる。
1994年、レオナルド・エーデルマンは組合せ問題を試験管の中に溶かし込んだ。彼は7都市の道路網を短いDNA鎖として符号化し、それらをアニールさせて道路網が許容するあらゆる経路を形成させ、各都市をちょうど1回ずつ訪れる経路へとその混合液を絞り込んだ。答えはバイアル瓶から沈殿物として現れた。学生が紙の上で1分で解くような問題の解決に約1週間の実験室作業を要したが、それはまったく本質ではない。2本の指でつまめるほどの体積の中で、およそ10¹⁴本もの鎖がそれぞれ同時に1つの経路を試行していたのである。
その期待は明白かつ途方もないものだった。指数関数的探索が困難なのは候補が爆発的に増加するからだが、ここにすべての候補を一度に調べる機械が現れたのである。30年が経過した今、ポケットの中の何一つとしてDNAで動作してはいない。その理由は工学的な問題ではなく、封筒の裏でできる程度の算術にある。
鎖を数え、その質量を量る
分子並列性は、分子1本ずつの代償として得られる。すべての候補にはそれぞれ物理的な鎖が1本必要となるため、必要とされるDNAの量は、候補の数に鎖1本の質量を掛け合わせたものになる。
第2の因数は極めて小さい。一本鎖DNAは塩基1モルあたり約330グラムであるため、1都市につき20塩基とすると、20都市分の鎖の質量はおよそ2 × 10⁻¹⁹グラムとなる。第1の因数は階乗であり、階乗は第2の因数がどれほど小さいかなど意に介さない。
20都市：0.53グラム。ひとつまみの粉末。
30都市：8.7 × 10¹³グラム。これは8700万トンに相当し、現存する全人類の総質量の約5分の1にあたる。
39都市：地球の質量以上。
「ひとつまみ」と「惑星」を隔てているのは、わずか19都市である。DNA Computing Scale が文章ではなくスライダーとして作られているのは、まさにそのためだ。都市数を1つずつ増やしていくと、比較対象となるスケールは「1グラム未満」からキログラム、トンを経て、「少なくとも地球1個分の質量」へと上昇していく。その推移を目の当たりにすることは、単に指数を読むだけでは得られない実感をもたらす。
当然考えられる反論は、誰も n! 通りの順序すべてを数え上げるようなことはしない、というものだろう。出発都市を固定し、巡回路とその鏡像を個別に数えることをやめれば、総数は 2n で除算される。実際にそうしてみよう。地球の質量を超える境界は、39都市から41都市へと移る。対称群全体を活用して得られる見返りは、それで全てだ――わずか2都市である。
「並列化は計算量クラスを変えない」という言葉を具体化すると、まさにこういうことになる。エーデルマンの試験管はおよそ10¹⁴倍の高速化をもたらした。これは驚異的な数値だが、依然として定数にすぎない。階乗は10¹⁴など平らげて、次の料理を要求する。試験管の規模を2倍にしたところで、得られるのは都市1つ分のわずかな断片にすぎない。
同じ壁に、反対側から突き当たる
生物学はこの議論に先に到達し、正反対の結論を証明するために用いた。
1969年、サイラス・レヴィンタールは、タンパク質がどのようにして自身の立体構造を見出すのかという問いを投げかけた。100個の残基からなるアミノ酸鎖を想定し、各結合部にわずか3通りの配向しか許さないとしよう。これは過小評価も甚だしい仮定である。それでも3¹⁰⁰、およそ5 × 10⁴⁷通りもの配座が存在することになる。鎖が10⁻¹³秒ごとに1つの配座を試行すると仮定しよう。これはほぼ分子振動の周期であり、物理法則が許す極限の速さである。そのすべてを探索するには1.6 × 10²⁷年、すなわち現在の宇宙の年齢の10¹⁷倍の時間を要する。
タンパク質はミリ秒単位で折り畳まれる。
レヴィンタールのパラドックスは、素早く折り畳まれる仕組みに関するパズルではない。それは、折り畳みがそもそも探索ではないことの証明である。エネルギー地形は配座の平坦な宝くじではなく漏斗状になっており、漏斗の中にある鎖は10⁴⁷通りの選択肢の中から選んでいるのではない。落ちているのだ。1992年、ツワンツィヒ、サボ、バグチは、漏斗に必要な傾きがいかにわずかで済むかを解明した。彼らは単純なモデルを用いて、局所的に不利な立体配置に対して数kT程度のエネルギーバイアスが存在するだけで、レヴィンタールの見積もった時間を生物学的に妥当な長さまで短縮するのに十分であることを示した。巧妙なアルゴリズムではない。傾斜である。
Levinthal Paradox Explorer で残基数や1残基あたりの状態数を変更してみて、その数値が妥当な値に落ち着くことにいかに激しく抵抗するかを確かめてほしい。1残基あたりの状態数を3から2に減らすと10¹⁷·⁶倍の改善が得られるが、それでも100残基の鎖が折り畳まれるには宇宙の年齢のかなりの割合に及ぶ時間を要する。底を小さくする効果は一度きりの支払いにすぎないが、指数は残基ごとに何度でも請求してくるのだ。
ここで2つの議論を並べてみよう。根底にある算術は同じだからである。タンパク質は自身の配座を数え上げることはできない。試験管も自身の経路を数え上げることはできない。自然の出した答えは、数え上げるのをやめ、漏斗状のエネルギー地形を構築することだった。DNAコンピューティングの答えは、より多くの分子を使って並列に、さらに激しく数え上げることだった。だがそれこそが、この計算が厳密に禁じている手立てなのである。
何が残るのか
これによって分子コンピューティングが行き止まりになるわけではない。誤っていたのはその売り文句であり、それは別の問題である。そして、誠実な売り文句のほうがはるかに優れている。
まずはエネルギーから始めよう。1961年、ランダウアーは1ビットの情報を不可逆的に消去すると、少なくとも kT ln 2 のエネルギーが散逸しなければならないことを示した。体温において、これは3.0 × 10⁻²¹ジュールである。これは熱力学によって定められた下限であり、製造技術によるものではない。生体が実際に消費する通貨であるATP加水分解1回分は、約20 kT、すなわち8.6 × 10⁻²⁰ジュールを放出し、これは下限の29倍である。優れたCMOSにおける論理演算1回にはフェムトジュール前後のコストがかかり、これは下限の337,000倍に達する。
分子反応 ≈ 29 × kT ln 2 · シリコン論理演算 ≈ 337,000 × kT ln 2
4桁もの差があり、それはシリコンにとって不利な側にある。細胞は低速で計算を行うが、熱力学的最小値に極めて近い状態にある。トランジスタが数十万倍も及ばない下限から、わずか数十 kT の位置にあるのだ。Energy per Operation で温度と演算あたりのエネルギーを設定してみれば、その格差を見過ごすことは困難になるだろう。
次は記録媒体だ。経路ではなく塩基にデータを符号化すれば、総当たり探索を途方もないものにしていたその密度こそが、最大の売りとなる。およそ3 × 10²⁰バイト/グラムである。これまでに公開されたすべての映画が角砂糖よりも小さな容積に収まり、暗所であれば何世紀にもわたって安定し、静置するのに電力を全く消費しない。DNA Data Storage は、インデックス作成、プライマー結合部位、単一塩基の長い連続を避ける符号化といった現実のオーバーヘッドを織り込んでいるが、その密度はそれらの負荷を難なく耐え抜く。
このように、探索エンジンとしてのDNAを葬り去る指数は、並外れたアーカイブとしてのDNAをもたらす指数と全く同じものなのだ。探索には候補1つにつき分子1個が必要であり、候補は階乗的に増加する。保存にはデータ1点につき分子1個が必要であり、データは線形に増加する。同一の化学的性質、同一の密度でありながら、結論は正反対となる。唯一の違いは、どちらの量を拡大させようとしたかにある。
議論の構造
大規模な並列性を提示されたときは、その並列性が何を掛け合わせるものなのかを問わねばならない。指数に対抗する際、定数がどれほど大きいかは問題にならない。相手が階乗であれば、10¹⁴も10²³も同じ数である。エーデルマンの実験は定数係数の見事な実証であったが、この分野の研究者たちはそれを傾斜として読み取ってしまった。
レヴィンタールは同じ計算を行い、即座に正しい結論を導き出した。彼は何も売り込もうとしていなかったからだ。すなわち、計算上不可能であるならば、そのメカニズムは想定したものとは異なるということである。探索という物語が消え去った後に残されたもの――事象1回あたりほぼ最適なエネルギー、1グラムあたり桁外れの密度――は、純然たる優れた切り札である。だが、探索という物語がまだ机上にあった間は、誰もそれに見向きもしなかっただろう。