BMI(ボディマス指数)計算機

BMI = 質量 ÷ 身長² — 自分の数値で計算式を確認し、年齢を考慮した体脂肪率の推定値と、あなたの身長に対する健康的な体重の範囲を見てみましょう。

初期値 — BMI(ボディマス指数)計算機

身長 (cm)	175
体重 (kg)	70
年齢 (歳)	30
性別	男性
筋肉質な体格	いいえ

上のコントロールを変えると、ここから結果が計算し直されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

たった一つの数値の限界 🖖

BMIは1830年代にアドルフ・ケトレーが集団レベルの統計量として考案したものであり、個人の診断ツールではありません。筋肉と脂肪を区別できないため、同じ身長と体重のボディビルダーと運動不足の人が、体組成は大きく異なるのに同じBMIになることがあります。ここで用いているDeurenberg式は、年齢項と性別項を加えることでこれを補っています — BMIが一定でも体脂肪率は加齢とともに上昇し、同じBMIでも男性は女性より除脂肪量が多い傾向があります。それでも、身長・体重・年齢・性別だけに基づく計算式は、DEXAスキャンや皮下脂肪厚測定、生体電気インピーダンス測定のような直接的な測定に代わって、個人の真の体組成を明らかにすることはできません。

身長と釣り合う体重 🖖

BMIは単純な問いに答えます — 体重は身長に見合っているか、です。体重をキログラム、身長をメートルの2乗で割るので、身長が大きく違う人どうしを同じ尺度で比べられます。実用上の利点は、身長ごとに健康的な体重の範囲が決まることで、このツールはBMIが18.5から25に収まる範囲をキログラムで計算します。

なぜ2乗で、3乗ではないのか 🖖

体重は体積に従い、体積は長さの3乗で増えるので、純粋な幾何学ではBMIは身長の3乗で割るべきです — このツールが併せて示すポンデラル指数です。ケトレーが2乗のままにしたのは、実際の体は拡大した彫像のようにスケールしないからで、背が高い人は相対的に細身なため、身長の2乗のほうが集団全体によく合います。そのためBMIは背の高い人をやや過大に、低い人を過小に評価し、日本では小児の判定に3乗を使うローレル指数が用いられます。

全プロセスの詳細解説

形状を変えずにサイズが変わる175 cm、70 kgの身体 5 ステップ
体型を変えずに大きさだけ変化する身体において、BMIがどのように変化するかを求める。これは基準成人（175 cm、70 kg）の例である。
1. まずは定義通りの指数から考える。分子は質量であり分母は面積であるため、BMIは同次元の量の比ではない。この不一致こそが、本問題の残りの部分で扱う主題である。
  
  $BMI = \frac{m}{h ^{2}} = \frac{70}{1.7 5 ^{2}} = \frac{70}{3.0625} = 22.857 kg/ m^{2}$
2. 次に、身体全体を拡大する。密度を一定に保ったまま、すべての長さを s 倍にする。質量は体積に比例して s³ 倍になるのに対し、分母は s² 倍にしかならないため、割り算を行っても s の1乗が残る。
  
  $h \to s h, m \to s^{3} m ⟹ BMI \to \frac{s ^{3} m}{( s h ) ^{2}} = s \cdot BMI$
3. スケーリングを行っても不変な指数であるためには、質量の次数と合致していなければならず、身長を3乗することがまさにそれを満たす。したがって、同じ体型を持つ族のあらゆる個体においてポンデラル指数は同一の値をとる——近似的にではなく、厳密に。
  
  $PI = \frac{m}{h ^{3}} = \frac{70}{5.359375} = 13.061 kg/ m^{3}, PI \to \frac{s ^{3} m}{( s h ) ^{3}} = PI$
4. BMIを「ポンデラル指数 × 身長」と表現すると身長依存性が明示的になり、サイズごとに質量を再計算する必要がなくなる。同一の身体であっても 155 cm 版と 190 cm 版の間には 4.6 BMI単位の差が生じるが、体内のどこにも1グラムの余分な脂肪が増えたわけではない。
  
  $BMI (h) = PI \cdot h : h = 1.55 \Rightarrow 20.24, h = 1.75 \Rightarrow 22.857, h = 1.90 \Rightarrow 24.82$
5. 区分の境界は固定された数値であるのに対し指数は変化するため、境界をまたぐ身長は1回の割り算で求められる。
  
  $PI \cdot h = 25 \Rightarrow h = \frac{25}{13.061} = 1.914 m; PI \cdot h = 18.5 \Rightarrow h = 1.416 m$
解答

ツールには BMI = 22.857、ポンデラル指数 13.061 と表示され、後者の数値は同一の身体の 155 cm 版と 190 cm 版で変化しない。境界となる身長こそが得られる結果である。まったく同じ体型であっても、191.4 cm では過体重、141.6 cm では低体重に分類される。身長 142 cm に満たない成人はほとんど存在しないため、純粋な幾何学的拡大縮小の下ではバイアスは一方向にしか作用しない——人を上の区分へ押し上げることはあっても、下げることは決してない。実際の効果は 4.6 単位より小さい。なぜなら成人は互いの拡大コピーではないからである。背の高い成人ほど実際には相対的に細身であり、仮に集団の質量が正確に h² に比例して変化するのであれば、BMIは身長依存性を持たなくなり、2乗という指数は実測適合ではなく幾何学的な帰結ということになる。実際には実測データへの適合であり、これこそが指数が 3 ではなく 2 である理由のすべてである——集団に合わせて調整された指数がその分布の端にいる個体を誤って判定する理由もここにある。

$m \propto h^{3} \Rightarrow BMI \propto h^{1}; m \propto h^{2} \Rightarrow BMI \propto h^{0}$

参考文献 (2)

The body-fat equation this tool actually evaluates: P. Deurenberg, J. A. Weststrate and J. C. Seidell, "Body mass index as a measure of body fatness: age- and sex-specific prediction formulas." British Journal of Nutrition 65(2), 105–114, 1991.
Insight block 3 — why the denominator is height squared and not cubed: A. Keys, F. Fidanza, M. J. Karvonen, N. Kimura and H. L. Taylor, "Indices of relative weight and obesity." Journal of Chronic Diseases 25(6–7), 329–343, 1972 — the study that compared the candidate indices against measured body fat, and coined the name "body mass index".

42Math チーム · 更新 2026-08-17

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例題

標準的な成人 - 標準的な成人: BMIは約22.9で、健康的とされる標準範囲内に収まる。
筋肉質な体格 - 筋肉質の体格: BMIは過体重の範囲に入るが、体組成の推定値は別途調整される。
高齢の成人 - 高齢者の例: BMIの計算式は変わらないが、年齢項によって体脂肪率の推定値は上昇する。
高いBMI - 高BMIの例: 計算過程でBMI区分と数式への代入手順の両方を示す。