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Abaixo de um extingue-se. Acima de um dispara. Não há nada pelo meio.
Com R₀ = 1,5, a ferramenta SIR infeta 58,5% da população. Empurre-o para 0,9 e o surto desaparece. Não há regulação nenhuma que infete um fio de água constante.
Pegue no SIR model e varra o seu número de reprodução.
Com R₀ = 1,5, a predefinição da gripe, indica uma dimensão final de 5845 pessoas, 58,5% da população. Com R₀ = 3 indica 9412, ou 94,1%. Com R₀ = 15 indica 10.000 em 10.000: toda a gente.
Vá agora no sentido contrário, abaixo de 1, para o que a ferramenta tem uma predefinição chamada subcrítico. O surto não encolhe suavemente. Não chega a acontecer. Algumas pessoas são infetadas, cada uma infeta em média menos de uma outra, e a cadeia extingue-se.
Não há regulação nenhuma que produza um fio modesto e sustentado. Qualquer valor ou se apaga ou descola, e a fronteira está exatamente em 1.
Porquê exatamente um, e porquê tão abrupto
Tire a biologia e o que sobra é uma questão de contagem. Cada unidade, seja uma pessoa infetada, um neutrão, uma cópia de um fragmento de ADN ou um homem com um apelido, produz um certo número de sucessores antes de ser retirada de cena. Chame R à média.
Ao fim de n gerações, a população esperada é Rn. É este o argumento inteiro. Se R < 1, Rn → 0, e não devagar: com R = 0,9 uma cadeia cai para 3% do tamanho inicial em 33 gerações. Se R > 1, cresce sem limite até que outra coisa qualquer a trave. E exatamente em R = 1 a dimensão esperada mantém-se constante para sempre, um fio de navalha em que nenhum sistema real se equilibra, porque R nunca se conhece com essa precisão nem alguma vez fica quieto.
A brusquidão vem do expoente. Todas as outras quantidades destes modelos, a rapidez, a quantidade, a duração, deslocam a curva. O R decide qual de duas coisas completamente diferentes é que acontece. É o caso raro em que um parâmetro contínuo produz um desfecho genuinamente binário, e é por isso que, na the exponential tool, a convenção de sinal conta mais do que qualquer uma das grandezas.
O mesmo limiar, quatro disfarces
Epidemias. O R₀ é o número médio de pessoas infetadas por um caso numa população inteiramente suscetível. Tudo o que a saúde pública faz, vacinar, distanciar, isolar, é uma tentativa de empurrar o R para baixo de 1, e não interessa qual das alavancas o consegue.
Reações em cadeia. O fator de multiplicação de neutrões k conta quantos dos neutrões libertados por uma fissão vão provocar outra. Com k < 1 o sistema é subcrítico e a reação morre. Com k > 1 é supercrítico. Um reator é uma máquina para manter k em 1,000 ajustando-o continuamente, que é a versão de engenharia de admitir que ninguém se aguenta num fio de navalha sem ir corrigindo.
PCR. Cada ciclo copia cada fragmento, portanto aqui o R é a eficiência: o quão perto de 2 chega a duplicação de facto. A PCR tool é invulgar nesta família, porque R > 1 por construção e a pergunta interessante é quanto acima; mas deixe a eficiência cair abaixo de 1 por causa de um reagente estragado e a amostra desaparece no ruído em vez de amplificar.
Apelidos. Que é onde a matemática começou. Em 1875, Galton perguntou porque é que tantos apelidos aristocráticos se tinham extinguido, e Watson chegou à resposta: modele-se cada homem como produzindo um número aleatório de filhos varões e a extinção é certa sempre que a média não passa de 1. De forma menos óbvia, tem uma probabilidade substancial mesmo quando a média excede 1, porque só o acaso basta para acabar cedo com uma linhagem.
O artigo deles errou o passo final: concluíram que a extinção era certa em todos os casos e deixaram escapar o ramo que sobrevive. Passaram décadas até a correção ser amplamente conhecida. O limiar em si estava certo, e é o mesmo limiar que os epidemiologistas voltaram a descobrir cinquenta anos mais tarde.
A parte que a média esconde
Uma cautela, porque R é uma média e as médias escondem a dispersão que trazem por baixo.
Duas doenças com um R₀ = 2 idêntico podem comportar-se de maneira muito diferente se uma infeta duas pessoas com regularidade e a outra não infeta ninguém em 90% dos casos e ocasionalmente infeta vinte. As médias coincidem; os surtos não. A segunda é conduzida por superdisseminação, extingue-se muito mais vezes por pura sorte e, quando não se extingue, explode mais depressa.
O quadro de Watson e Galton já contém isto: a probabilidade de extinção depende de toda a distribuição da descendência e não apenas da sua média. É por isso que "o R está abaixo de 1" é uma afirmação sobre o comportamento médio de um sistema que pode andar a fazer algo bem mais selvagem em cada caso individual, e é por isso que o mesmo R consegue parecer duas doenças diferentes.