Période de Retour et Risque de Période d'Exposition

Découvrez comment les probabilités annuelles se composent au fil des décennies et comment les normes du bâtiment résolvent la période de retour à l'envers.

Exemple résolu — Période de Retour et Risque de Période d'Exposition

Nombre Espéré n/T	0,30
Période de Retour Requise	285

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Une crue centennale représente un risque de 26% sur un prêt de 30 ans 🖖

Une 'crue centennale' ne désigne pas un événement qui survient à intervalle régulier une fois par siècle. Elle décrit une probabilité annuelle de dépassement de 1/100, soit 1% pour une année donnée. Sur un prêt de 30 ans, la probabilité cumulée de subir au moins une telle crue est de 1 − (1 − 0,01)³⁰ = 26,03% — soit plus d'une chance sur 4. Sur 100 ans, cette probabilité atteint 63,40%, tandis que la chance qu'elle ne survienne jamais est de 36,60%. La période de retour n'est que l'inverse de la probabilité annuelle.

La constante de 63%: attendre une période de retour n'offre jamais la certitude 🖖

Si vous fixez la fenêtre d'exposition n égale à la période de retour T, le risque cumulé 1 − (1 − 1/T)ᵀ converge rapidement vers 1 − 1/e ≈ 63,21%. Pour T = 10, le risque est de 65,13%; pour T = 50, de 63,58%; pour T = 100, de 63,40%; et pour T = 500, de 63,25%. Attendre une période de retour complète donne environ 63% de chances de vivre l'événement, jamais 100%. L'hypothèse d'indépendance mathématique est essentielle ici: en réalité, le changement climatique peut modifier la distribution de probabilité au fil du temps.

Les codes du bâtiment sont cette équation résolue à l'envers 🖖

En inversant la relation, on obtient T = 1 / (1 − (1 − R)^(1/n)), où R désigne le risque acceptable et n la durée de référence. Les normes de calcul des structures et les normes parasismiques reposent depuis longtemps sur cette inversion. Accepter un risque de 10 % sur une durée de référence de 50 ans impose de dimensionner les ouvrages pour un événement dont la période de retour est de 475 ans, le séisme de référence (Design Basis Earthquake). Si le risque acceptable est ramené à 2 % sur 50 ans, la période de retour requise passe à 2 475 ans, celle du séisme maximal considéré (Maximum Considered Earthquake). Ces célèbres périodes de retour ne décrivent aucun cycle géologique. Elles traduisent, par une simple relation algébrique, le niveau de risque que la société accepte.

Problèmes entièrement résolus

Deux inondations de 100 ans qui frappent la même ville pendant un prêt immobilier de 30 ans 6 étapes
Deux « crues de 100 ans » frappent la même ville au cours d'un prêt immobilier de 30 ans. Est-ce vraiment un manque de chance, et combien de villes faut-il considérer pour que la probabilité d'un tel scénario dépasse une chance sur deux ?
1. Une période de retour de T = 100 ans correspond à une probabilité de dépassement annuel de p = 1/T = 0,01. La carte Probabilité Annuelle affiche 1,00 %.
  
  $p = \frac{1}{T} = \frac{1}{100} = 0.01$
2. Traitez ces 30 années comme 30 tirages indépendants. La probabilité d'une période sans incident est de 0,99³⁰ = 0,7397, ce qui fixe le risque d'au moins une crue à 26,03 %. Vous trouvez ces deux valeurs sur la page, dans les cartes Probabilité de Zéro et Risque Cumulé.
  
  $P (0) = (1 - p)^{30} = 0.9 9^{30} = 0.7397 ⟹ P (\geq 1) = 0.2603$
3. Obtenir exactement une crue implique de choisir l'année où elle survient parmi les 30 : 30 × 0,01 × 0,99²⁹ = 0,2242.
  
  $P (1) = (1 30) p (1 - p)^{29} = 30 \times 0.01 \times 0.9 9^{29} = 0.2242$
4. Le reste des probabilités correspond à deux crues ou plus : 1 − 0,7397 − 0,2242 = 0,03615. La carte Probabilité de ≥2 Événements affiche 3,61 %, soit environ un prêt sur 28.
  
  $P (\geq 2) = 1 - 0.7397 - 0.2242 = 0.03615$
5. Voilà pour une seule ville. Prenez maintenant N villes, chacune sur sa propre rivière avec son propre seuil de 1 %. La probabilité qu'aucune d'entre elles ne soit doublement touchée est de 0,96385 à la puissance N. En fixant ce résultat à un demi, vous obtenez N = ln 0,5 / ln 0,96385 = 18,8.
  
  $(1 - 0.03615)^{N} = 0.5 ⟹ N = \frac{ln 0.5}{ln 0.96385} = 18.8$
6. Dix-neuf villes. Avec cent villes, la probabilité qu'au moins l'une d'elles subisse deux crues de 100 ans au cours de ces mêmes 30 années est de 1 − 0,96385¹⁰⁰ = 97,5 %, et le nombre attendu de ces villes est de 100 × 0,03615 = 3,61.
  
  $1 - 0.9638 5^{100} = 0.9748$
Réponse

La probabilité d’en observer au moins deux est de 3,61 % là où vous vivez, mais de 97,5 % sur cent bassins versants. Chaque carte de cette page considère un lieu et un seuil donnés. Ce qui fait passer la probabilité de 3,61 % à 97,5 %, c’est le nombre de cours d’eau que vous acceptez d’observer. Il n’est donc pas surprenant que « deux crues de période de retour de 100 ans quelque part au cours d’une vie » fassent la une presque chaque année, sans que cela prouve qu’un changement s’est produit. Pour le déterminer, il faut étudier les relevés d’une même station hydrométrique, et non compter les gros titres. Le calcul ci-dessus suppose en outre que les villes sont indépendantes, ce qui n’est pas le cas des bassins versants : un même système dépressionnaire peut provoquer des crues simultanées dans des secteurs voisins. Une corrélation positive ramène la valeur réelle en dessous de 97,5 %, mais cette page ne permet pas de savoir dans quelle mesure, car son modèle ne porte que sur un seul site.

$N_{\geq 2} = 100 \times 0.03615 = 3.61$
Le séisme de 475 ans et le bâtiment qui survit à sa durée de vie de calcul 6 étapes
Une norme n'accepte pas plus de 10 % de probabilité de dépassement en 50 ans. Déterminez la période de retour que cela impose, puis dites si la promesse tient encore pour un bâtiment toujours debout à 100 ans.
1. C'est le premier problème pris à l'envers. L'aléa y était donné et le risque en sortait ; ici le risque est fixé par une commission et c'est l'aléa qu'il faut trouver. Cinquante années sans incident, avec une probabilité de 0,90.
  
  $(1 - p)^{50} = 1 - 0.10 = 0.90$
2. Prenez la racine cinquantième et retranchez de un. La probabilité de dépassement annuel vaut 0,0021, et la carte Probabilité Annuelle affiche 0,21 %.
  
  $p = 1 - 0.9 0^{1/50} = 1 - e^{(l n 0.90) /50} = 0.0021050$
3. La période de retour en est l'inverse : 475 ans, ce qu'affiche la carte Période de Retour Requise. Aucune géologie n'a choisi ce nombre. Une commission a choisi 10 % et 50 ans, et une ligne d'algèbre a renvoyé 475.
  
  $T = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.0021050} = 475.06$
4. Le raccourci auquel la plupart des gens pensent, c'est 50 divisé par 0,10, soit 500 ans, et le sens de son erreur compte. Un événement de 500 ans donne 9,53 % sur 50 ans au lieu de 10 %, si bien que le raccourci exige un événement de calcul légèrement plus sévère que la norme. Il s'améliore d'ailleurs à mesure que le risque diminue : à 2 % en 50 ans, la réponse exacte est 2 475 contre une estimation de 2 500.
  
  $\frac{n}{R} = \frac{50}{0.10} = 500 ⟹ 1 - (1 - \frac{1}{500})^{50} = 9.53%$
5. Laissez maintenant le bâtiment debout pendant 100 ans sous le même aléa. Les survies se multiplient, donc un siècle sans incident vaut 0,90 au carré, soit 0,81. La probabilité de dépassement est de 19,00 %, et non les 20 % que suggérerait un doublement, ni rien qui ressemble aux 10 % promis par la norme.
  
  $(1 - p)^{100} = [(1 - p)^{50}]^{2} = 0.9 0^{2} = 0.81 ⟹ 19.00%$
6. Pour tenir 10 % sur 100 ans, la probabilité annuelle doit descendre à 0,105 %, soit une période de retour de 949,6 ans. Doublez la durée de service et la période de retour exigée double avec elle, à peu de chose près, car à des probabilités aussi faibles c'est l'exposant qui fait tout le travail.
  
  $p^{'} = 1 - 0.9 0^{1/100} = 0.0010531 ⟹ T^{'} = 949.6$
Réponse

475 ans pour une durée de vie de 50 ans, et 19,0 % de dépassement si le même bâtiment est encore là à 100 ans. Les 10 % appartiennent aux cinquante années que quelqu'un a inscrites dans le cahier des charges, non à l'ouvrage, et ils croissent à peu près au rythme des années pendant lesquelles le bâtiment est conservé.

Les hôpitaux, les barrages et les écoles dépassent couramment la durée de vie qui a servi à les dimensionner, et rien ne change dans l'ouvrage lorsqu'ils le font. Ce qui change se trouve dans l'exposant. L'outil le montre : entrez 475 en mode direct avec une exposition de 100 ans et la carte Risque Cumulé affiche 19,00 %. La façon honnête de citer un événement de calcul consiste donc à l'assortir de son exposition. 475 ans est l'abrégé de 10 % en 50 ans, et détaché de ces cinquante années, c'est un grand nombre qui sonne comme une garantie.

$T = \frac{1}{1 - ( 1 - R ) ^{1/ n}}, T (0.10, 100) = 949.6 \approx 2 T (0.10, 50)$

Références (2)

What a "100-year flood" means, and the misreading the tool exists to correct Holmes, R. R. and Dinicola, K. USGS Fact Sheet FS-229-96, "The 100-Year Flood". U.S. Geological Survey.
Where designing to an annual exceedance probability comes from Cornell, C. A. (1968). Engineering seismic risk analysis. Bulletin of the Seismological Society of America, 58(5), 1583–1606. doi:10.1785/bssa0580051583

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-09-03

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Exemples de problèmes

Prêt sur 30 ans (T=100) - Un risque annuel de 1 sur 100 représente un risque de 26,03% sur un prêt hypothécaire de 30 ans.
Fenêtre de 100 ans (T=100) - Sur une durée de 100 ans, un événement centennal a 63,40% de chances de se produire et 36,60% de chances de ne jamais survenir.
Norme Séismique DBE (10%/50ans) - Tolérer un risque de 10% sur 50 ans nécessite une période de retour de 475 ans (Design Basis Earthquake).
Norme Maximale MCE (2%/50ans) - Tolérer un risque de 2% sur 50 ans nécessite une période de retour de 2 475 ans (Maximum Considered Earthquake).