Laboratoire de distorsion cartographique

Déplacez la même parcelle vers les pôles et observez ce que chaque carte plane sacrifie.

Exemple résolu — Laboratoire de distorsion cartographique

Échelle de surface Mercator	14,00×
Échelle linéaire Mercator	3,74×
Échelle de surface équivalente	1,00×
Étirement de forme équivalent	14,00:1
Latitude choisie	74,5°

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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La distorsion est le prix, pas un défaut 🖖

On ne peut pas aplatir un globe sans distorsion. Mercator préserve les angles locaux grâce à un étirement égal est-ouest et nord-sud, mais la surface croît comme sec²(latitude). Une projection équivalente comprime nord-sud autant qu'elle étire est-ouest. Aucune carte plane ne préserve partout surface, angles, distance et direction ; choisir une projection, c'est choisir la promesse utile.

Pourquoi les marins acceptaient le gonflement 🖖

Sur la projection de Mercator, une route à cap constant, ou loxodromie, apparaît comme une droite. Le tracé des routes devenait ainsi praticable à la règle et au compas, même si cette droite ne correspond généralement pas au trajet le plus court sur le globe. Un arc de grand cercle n’est jamais plus long ; hors de l’équateur et des méridiens, il apparaît courbe sur Mercator. Cette projection répondait à un problème de navigation, pas à la volonté de classer les pays selon leur superficie.

Les petits cercles qui contrôlent chaque carte 🖖

Les ellipses des grilles sont les indicatrices de Tissot : de minuscules cercles imaginaires sur Terre après projection. Un cercle qui reste rond signale la conservation locale des angles ; des ellipses de même aire signalent la conservation des surfaces. Leur taille et leur aplatissement rendent la distorsion visible.

Problèmes entièrement résolus

Le Groenland à 74,5° nord, et le nombre unique que toute projection doit dépenser quelque part 6 étapes
Le Groenland couvre 2,166 millions de km² et se situe près de 74,5° N. Calculez ce que Mercator affiche pour sa superficie. Comparez ensuite les trois projections à cette latitude et trouvez ce qu'elles ont en commun.
1. La projection de Mercator est conçue pour conserver les angles, ce qui détermine tout le reste. Le long d’un parallèle, la distance au sol correspondant à un degré de longitude est réduite d’un facteur cos φ. Pour préserver localement les formes, la carte doit donc étirer l’axe est–ouest d’un facteur 1/cos φ = sec φ.
  
  $sec φ = \frac{1}{cos 74. 5 ^{\circ}} = \frac{1}{0.2672} = 3.742$
2. À 74,5°, cos φ = 0,26724, donc sec φ = 3,742. À cette latitude, toute distance est–ouest est représentée avec une longueur 3,742 fois supérieure à sa longueur réelle.
3. Les angles ne sont conservés que si l’axe nord–sud est étiré du même facteur. L’aire est donc multipliée deux fois par sec φ : sec² φ = 14,002, valeur que le panneau arrondit à 14,00.
  
  $A_{Mercator} = sec^{2} φ = 3.74 2^{2} = 14.00$
4. Appliquons ce résultat. 2,166 × 14,002 = 30,33 millions de km² : à la latitude moyenne du Groenland, Mercator représente une région avec une superficie quatorze fois supérieure à sa superficie réelle. Le rapport de forme reste égal à 1 ; en un point donné, rien ne paraît donc anormal. Le pays se déforme néanmoins sur ses 24 degrés de latitude, car l’échelle diffère entre ses deux extrémités.
  
  $2.166 \times 14.002 = 30.33 million km^{2}$
5. Passons aux deux autres projections à la même latitude. La projection équivalente maintient la superficie à 2,166 en comprimant la direction nord-sud à 0,2672 tandis que la direction est-ouest s'étire toujours de 3,742 ; son rapport de forme est donc de 3,742 ÷ 0,2672 = 14,00. La projection plate carrée laisse la direction nord-sud inchangée : superficie 3,742, forme 3,742.
  
  $equal-area: \frac{3.742}{0.2672} = 14.00 (shape), area = 1$
6. Multiplions chaque paire. Mercator : 14,00 × 1 ; équivalente : 1 × 14,00 ; plate carrée : 3,742 × 3,742. Les trois valent 14,00, et 14,00 est égal à sec² φ — le nombre de départ.
  
  $area \times shape = sec^{2} φ = 14.00 for all three$
Réponse

Le Groenland apparaît avec une superficie de 30,33 millions de km², et toute projection à cette latitude présente la même déformation totale de 14,00 ; seul son mode de répartition peut changer. Pour chacune des trois constructions cylindriques présentées ici, le produit de la déformation des aires par celle des formes vaut sec² φ. La vraie question n’est donc jamais « la carte est-elle déformée ? », mais « quelle déformation le cartographe a-t-il jugée acceptable ? ». Mercator la reporte entièrement sur les aires et préserve les formes. C’est exactement ce dont un navigateur a besoin : une route suivie à cap constant y est une droite, et la superficie erronée d’un pays n’a jamais fait sombrer un navire. Une projection équivalente reporte au contraire toute la déformation sur les formes, comme il convient à une carte destinée à comparer des territoires. La projection plate carrée la partage également. C’est la seule des trois à n’exceller dans aucun domaine ; son intérêt tient à ce que la latitude et la longitude correspondent simplement à x et y, propriété utile à un ordinateur plutôt qu’à un lecteur. Réglez la latitude sur 60° : le calcul devient exact. sec 60° = 2, donc le total vaut 4, que chaque projection répartit à sa manière.
Une demi-feuille de Mercator pour un douzième du monde 6 étapes
À 78,2°, le panneau donne 4,89 pour l'étirement est-ouest de Mercator et 23,91 pour son facteur de surface. Les deux sont locaux. Calculez où cette latitude est dessinée sur la feuille, puis décidez comment le papier se répartit.
1. Les deux nombres affichés décrivent une parcelle. Ils disent de combien un petit morceau de terrain à 78,2° est agrandi, et rien sur l'endroit de la feuille où ce morceau est dessiné.
  
  $sec 78. 2^{\circ} = \frac{1}{0.2045} = 4.89, sec^{2} 78. 2^{\circ} = 23.91$
2. La position est l'accumulation de tout l'étirement situé en dessous. Un pas dφ vers le nord couvre une distance fixe au sol et se dessine sec φ fois plus long, si bien que la coordonnée y de la feuille croît exactement au rythme qu'affiche le panneau.
  
  $d y = sec φ d φ ⟹ y (φ) = \int_{0}^{φ} sec φ^{'} d φ^{'}$
3. Cette intégrale a une forme close, et c'est celle que la construction de Mercator elle-même dissimule. À 78,2°, elle vaut 2,270.
  
  $y = ln tan (4 5^{\circ} + \frac{φ}{2}); y (78. 2^{\circ}) = ln tan 84. 1^{\circ} = ln 9.677 = 2.270$
4. Il faut couper la feuille, car y tend vers l'infini au pôle. En coupant à 85°, comme le fait cette carte, la demi-hauteur vaut 3,131, et la latitude du Svalbard se place donc à 72,5 % du trajet vers le haut.
  
  $y (8 5^{\circ}) = ln tan 87. 5^{\circ} = ln 22.90 = 3.131, \frac{2.270}{3.131} = 72.5%$
5. Quelle latitude se trouve à mi-hauteur ? Inversez la même formule à la moitié de la hauteur : 66,4°, à moins d'un cinquième de degré du cercle polaire.
  
  $y = \frac{1}{2} (3.131) = 1.566 ⟹ φ = 2 arctan e^{1.566} - 9 0^{\circ} = 66. 4^{\circ}$
6. Passons au sol qui se trouve dessous. L'aire comprise entre deux parallèles suit la différence de leurs sinus, donc la moitié supérieure de cette feuille, tout ce qui est au nord de 66,4°, contient 8,0 % de ce qui est dessiné. La bande de l'équateur à 30°, qui occupe 17,5 % de la hauteur, en contient 50,2 %.
  
  $\frac{sin 8 5 ^{\circ} - sin 66. 4 ^{\circ}}{sin 8 5 ^{\circ}} = \frac{0.9962 - 0.9166}{0.9962} = 8.0%, \frac{sin 3 0 ^{\circ}}{sin 8 5 ^{\circ}} = 50.2%$
Réponse

y = 2,270, soit 72,5 % du chemin jusqu'à la coupe à 85°. Le 4,89 de la fiche est un taux d'étirement et la position en est l'intégrale, et c'est l'intégrale qui décide du partage du papier. La moitié de la hauteur d'une feuille coupée à 85° revient aux 8 % du monde situés au-dessus de 66,4°, tandis que la moitié du monde située à moins de 30° de l'équateur en reçoit 17,5 %. Le gonflement du Groenland et la mise en page sont la même sécante, élevée au carré pour une parcelle et intégrée pour la feuille.

$y (φ) = \int_{0}^{φ} sec φ^{'} d φ^{'} = ln tan (\frac{π}{4} + \frac{φ}{2})$

Références (3)

Mercator is conformal, keeps rhumb lines straight, and grossly distorts area on world maps: PROJ contributors, “Mercator.” PROJ 9 documentation.
The spherical Mercator areal scale k² = sec²φ used by the model: J. P. Snyder, Map Projections—A Working Manual. USGS Professional Paper 1395, 1987.
The cylindrical equal-area projection and its standard-parallel parameter: PROJ contributors, “Lambert Cylindrical Equal Area.” PROJ 9 documentation.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-09-03

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Exemples de problèmes

Latitude du Groenland - À 74,5°, l'échelle de Mercator vaut 14,00×, contre 1,00× en projection équivalente.
Équateur - À l'équateur, les deux projections commencent à 1,00×.
Londres - À 51,5°, Mercator agrandit déjà la surface à 2,58×.
Svalbard - À 78,2°, Mercator atteint 23,91×.