Le plan hyperbolique

Le plan à courbure négative constante, représenté dans le disque de Poincaré. Construisez un triangle pour comparer ses angles et son aire avec ceux d'un modèle plat, placez un point à côté d'une droite pour voir quelles droites passant par ce point ne la croisent jamais, ou comparez la circonférence d'un cercle à 2πr.

Exemple résolu — Le plan hyperbolique

Côtés, distances dans le plan	1,0000, 1,0000, 1,0000
Angle en A	52,643°
Angle en B	52,643°
Angle en C	52,643°
Somme des trois angles	157,93°
Aire	0,385
En proportion de π	12,26%
Triangle plat, mêmes côtés	0,43

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Le plan hyperbolique

Le plan hyperbolique est la surface complète et simplement connexe dont la courbure de Gauss est partout le même nombre négatif. Ici K = −1, les longueurs sont donc exprimées en unités du rayon de courbure et les aires en fonction de son carré. L'aire d'un triangle vaut π moins la somme de ses angles. Par un point n'appartenant pas à une droite passe une infinité de droites qui ne la rencontrent jamais. Le disque de Poincaré dessine la totalité de ce plan infini à l'intérieur d'un cercle : les droites deviennent des arcs qui coupent le bord à angle droit, les angles conservent leurs mesures exactes, et les longueurs rétrécissent en s'approchant du bord, ce dernier étant lui-même infiniment éloigné.

Ce que signifie chaque symbole

K: la courbure de Gauss, −1 en tout point de ce plan
Π(d): l'angle de parallélisme : les droites passant par un point à une distance d d'une droite ne la rencontrent que dans un écart de Π(d) par rapport à la perpendiculaire

Aucun triangle ici ne dépasse une aire de π, quelle que soit la longueur de ses côtés 🖖

Cliquez sur Équilatéral, côté 1. Les côtés sont des droites de ce plan, dessinées sous forme d'arcs car le disque est une carte, et la somme des angles donne 157,93°. L'écart par rapport à 180° correspond à l'aire : 180° − 157,93° = 22,07°, soit 0,385 en radians. Cliquez ensuite sur Équilatéral, côté 10. Chaque angle s'est refermé à 0,772°, leur somme donne 2,32° et l'aire est de 3,101. Cela représente 98,71 % de π, là où un triangle plat de côtés 10 mesure 43,30. L'aire étant égale à π moins la somme des angles, et les angles ne pouvant descendre en dessous de zéro, aucun triangle de ce plan ne dépasse π, quels que soient ses côtés. Le tableau montre cette convergence : un côté de 5 atteint déjà 84,41 % de π, un côté de 20 atteint 99,99 %. Seul un triangle dont les sommets seraient partis à l'infini, avec trois angles de 0°, aurait très exactement une aire de π.

Par un point extérieur à une droite, une infinité de droites ne la rencontrent jamais 🖖

Cliquez sur Parallèles à distance 1. La ligne noire est une droite de ce plan et le point s'en trouve à une distance de 1. Observez la ligne tourner autour du point. Elle ne rencontre la droite noire que lorsqu'elle se trouve à moins de 40,395° de la perpendiculaire, d'un côté ou de l'autre. Lobatchevski a nommé cet angle l'angle de parallélisme, Π(d), et l'a défini en 1840 par tan(Π/2) = e^−d. Les deux droites se trouvant très exactement à Π(d), tracées en rose, se resserrent sur la droite noire vers ses extrémités sans jamais l'atteindre. Toutes les droites comprises entre elles, dans les 99,21° restants, l'évitent tout autant. La géométrie d'Euclide ne possède qu'une seule parallèle passant par le point ; celle-ci en possède une infinité. Cliquez sur Parallèles à distance 3 : Π(d) descend à 5,700° et 168,60° de directions évitent la droite noire. Rapprochez plutôt le point pour voir le faisceau se réduire à presque rien, 55,05° à d = 0,5 : près de la droite, le plan se comporte presque comme du papier.

Le bord d'un cercle croît de façon exponentielle, et l'essentiel d'un disque se trouve près de sa limite 🖖

Cliquez sur Cercle de rayon 10. La circonférence vaut 2π sinh 10 = 69 198,18, contre 62,83 sur papier, soit 1 101 fois plus longue. L'aire intérieure, de 2π(cosh 10 − 1) = 69 191,90, est presque le même nombre, et 63,22 % de cette aire se trouve à moins de 1 du bord. Très loin du centre, chaque pas de 1 multiplie le bord par presque e. Henderson et Taimina crochètent un modèle de ce plan en suivant cette règle : à chaque nouveau rang, elles transforment N mailles en N + 1. Ainsi, chaque rang est proportionnellement plus long que le précédent du même facteur. Le tissu, comportant plus de bordure qu'une feuille plate ne peut en accueillir, est contraint de se plier et d'onduler. La selle dans le Theorema Egregium de Gauss s'allongeait de la même manière. Tapez r = 0,5 ici pour que l'anneau indique une courbure de −1,0126 (l'estimation n'est exacte que lorsque l'anneau se réduit). En guise de comparaison, l'anneau de la selle donnait −0,884 au même rayon : ce plan possède une courbure de −1 partout, tandis que la selle n'a cette valeur qu'en son centre.

Problème entièrement résolu

Un triangle connu uniquement par ses angles 4 étapes
Un triangle de ce plan possède des angles de 30°, 45° et 60°. Quelle est son aire et quelle est la longueur de ses côtés ? Sur papier, cette question n'a pas de réponse : tout agrandissement d'un triangle conserve ses angles. Cliquez d'abord sur Équilatéral, côté 1, où la page indique la somme des angles et l'aire.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Sur ce préréglage, l'aire correspond à π moins la somme des angles, en radians :
  
  $A = π - (A + B + C) = (18 0^{\circ} - 157.9 3^{\circ}) \times \frac{π}{18 0 ^{\circ}} = 0.385$
2. La même règle donne immédiatement l'aire de ce triangle :
  
  $A = (18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 6 0^{\circ}) \times \frac{π}{18 0 ^{\circ}} = \frac{π}{4} = 0.7854$
3. Pour les côtés, ce plan possède une seconde loi des cosinus, qui détermine un côté à partir des angles :
  
  $cosh a = \frac{cos 3 0 ^{\circ} + cos 4 5 ^{\circ} cos 6 0 ^{\circ}}{sin 4 5 ^{\circ} sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{0 . 866025 + 0 . 353553}{0 . 612372} = 1.991564 \Rightarrow a = 1.3121$
4. et les deux autres s'obtiennent de la même manière, en partant de B puis de C :
  
  $cosh b = \frac{cos B + cos C cos A}{sin C sin A} \Rightarrow b = 1.6231, cosh c = \frac{cos C + cos A cos B}{sin A sin B} \Rightarrow c = 1.8131$
Réponse

Aire π/4 = 0,7854, côtés 1,3121, 1,6231 et 1,8131. Aucun autre triangle ne possède ces angles : si vous l'agrandissez, son aire augmente et la somme de ses angles doit donc diminuer. Les triangles semblables de tailles différentes n'existent pas dans ce plan, et les angles d'un triangle portent en eux une échelle de longueur, à savoir le rayon de courbure.

$A = \frac{π}{4} = 0.7854, a, b, c = 1.3121, 1.6231, 1.8131$

Parcours

La géométrie sur une surface courbe

Références (2)

The angle of parallelism: through a point at distance p from a line, the lines within Π(p) of the perpendicular cut it and the rest do not, with tan ½Π(x) = e⁻ˣ: N. Lobachevsky, Geometrical Researches on the Theory of Parallels (Berlin, 1840), translated by G. B. Halsted, Scientiae Baccalaureus 1(3), February 1891 (scan at the University of Missouri Digital Library).
A model of the hyperbolic plane crocheted by increasing the stitches from N to N + 1 in every row, so each row is the same factor longer than the last; and the area of an ideal triangle, with all three corners at infinity, equal to π times the square of the plane's radius: D. W. Henderson and D. Taimiņa, "Crocheting the Hyperbolic Plane", The Mathematical Intelligencer 23(2) (2001), 17–28.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.