Routes orthodromiques

Choisissez deux lieux sur le globe. La page trace le trajet le plus court qui les relie, ainsi que celui qui conserve un cap constant. Elle affiche les caps et les distances, puis divise le parcours en plusieurs tronçons, à la manière d'un navigateur.

Exemple résolu — Routes orthodromiques

Angle entre A et B, vu du centre de la Terre	78,78°
Grand cercle, la route la plus courte	8 760,1 km
Cap au départ de A	311,7°
Cap à l'arrivée en B	214,1°
Distance max. à l'équateur	62,26° N
Variation de la hauteur Mercator	−0,4208
Le cap unique atteignant B	258,4°
Longueur sur ce cap unique	9 732,5 km

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Routes orthodromiques

Un grand cercle correspond à l'intersection entre une sphère et un plan passant par son centre. Son arc le plus court entre deux points représente le trajet minimal sur la sphère, la version sphérique de la ligne droite. Une loxodromie coupe chaque méridien sous le même angle, ce qui permet de la suivre sur un cap compas unique. Sur la carte de Mercator, elle prend la forme d'une ligne droite. Sauf si les deux lieux se trouvent sur l'équateur ou sur un même méridien, le grand cercle reste le plus court et son cap évolue continuellement.

Ce que signifie chaque symbole

σ: l'angle entre les deux lieux vu depuis le centre de la Terre ; le grand cercle mesure Rσ, avec σ en radians
θ: un cap, mesuré dans le sens horaire depuis le nord : θ₁ au départ de A, θ₂ à l'arrivée en B
ψ: la latitude isométrique, ln tan(45° + φ/2) : la hauteur de la latitude φ sur la carte de Mercator pour un globe de rayon unitaire
R: le rayon de la Terre, ici le rayon moyen de 6 371,0088 km

Suppose: Une sphère correspondant au rayon moyen de la Terre. La Terre est aplatie d'environ 1 sur 298. Sur l'ellipsoïde WGS 84, le chemin le plus court de Londres Heathrow à Los Angeles mesure 8 781,1 km selon la méthode de Vincenty. Cela représente 0,24 % de plus que les 8 760,1 km de la sphère. Sur un large panel d'itinéraires, le modèle sphérique présente au pire une erreur d'environ un demi pour cent, notamment sur les courtes routes nord-sud près de l'équateur.

Pour atteindre une ville au sud-ouest, partez vers le nord-ouest 🖖

Cliquez sur Londres - Los Angeles. Los Angeles se trouve à 17,5 degrés de latitude au sud de Londres et à 118 degrés à l'ouest. Un navigateur maintenant un cap unique de 258,4° y parviendrait en 9 732,5 km. Le trajet le plus court s'élance au 311,7°, vers le nord-ouest, traverse le sud du Groenland à 62,26° N et aborde Los Angeles au 214,1°, en direction du sud-ouest. Le vol totalise 8 760,1 km, soit 972,4 km de moins. Observez l'aiguille cyan sur le compas. Elle pivote de 97,5° alors que la trajectoire ne tourne jamais ni à gauche ni à droite. C'est le nord qui se déplace : comme tous les méridiens convergent vers le même pôle, un grand cercle les croise chacun sous un angle différent. Sur la carte plane ci-dessous, la ligne droite représente la route à cap constant, tandis que le grand cercle s'incurve vers le pôle pour économiser près d'un millier de kilomètres.

Un parallèle n'est pas une ligne droite 🖖

Madrid se trouve à 40,49° N et New York à 40,64° N, la route à cap constant qui les relie s'oriente donc presque plein ouest, à 270,2°, et suit quasiment le parallèle : 5 930,8 km. Le grand cercle quitte Madrid au cap 294,7°, traverse l'Atlantique en montant jusqu'à 46,30° N et permet de gagner 169,9 km. Suivre un parallèle donne une illusion de ligne droite, ce qui n'est pas le cas. Loin de l'équateur, un parallèle est un petit cercle tracé autour du pôle, et pour rester à 40,49° N, vous devriez obliquer vers le pôle de 0,768° tous les 100 km ; lâchez la barre et vous dériverez vers le sud le long d'un grand cercle. L'équateur est le seul parallèle qui ne nécessite pas de tourner, car c'est le seul dont le centre est le centre de la Terre.

Divisez les tronçons par deux et le surplus tombe au quart, sauf près d'un pôle 🖖

Bien avant les pilotes automatiques, les navires suivaient déjà les grands cercles sous la forme de quelques tronçons à cap fixe entre des points de cheminement. Cliquez sur Quatre tronçons : relier Londres à Los Angeles aux caps 299,2°, 267,1°, 236,5° et 219,3° mesure 74,6 km de plus que le grand cercle, contre un supplément de 972,4 km pour un cap unique. Le tableau détaille cette division par deux : 972,4, 282,0, 74,6, 18,9, puis 4,8 km, et le ratio se stabilise à 4. La raison tient au fait que la longueur excédentaire d'un petit tronçon augmente comme le cube de sa longueur. Coupez le tronçon en deux, chacun coûte un huitième du surplus, mais leur nombre double. Cliquez sur Singapour - New York et la règle échoue. Cette route passe à 2,53° du pôle, là où un cap fixe s'enroule autour de l'axe au lieu de couper à travers. Deux tronçons coûtent encore 2 976,7 km supplémentaires contre 3 160,4 pour un seul. Les ratios vagabondent de 1,06 jusqu'à 3,92 puis retombent à 2,27. Ce n'est qu'à partir de 32 tronçons d'environ 480 km chacun que le ratio revient à 4.

Problème entièrement résolu

Maintenir un cap pour toujours 4 étapes
Quittez un point de l'équateur au cap 45°, vers le nord-est, sans jamais en dévier. Quelle distance parcourez-vous avant d'atteindre le pôle Nord, et combien de fois en faites-vous le tour en chemin ? Cliquez d'abord sur Londres - Los Angeles. La page calcule la longueur de cette loxodromie, et le même principe s'applique à notre question.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. La longueur indiquée par la page pour la route à cap constant de Londres à Los Angeles, scindée en une composante nord-sud et une composante est-ouest, toutes deux mesurées sous forme d'angles au centre de la Terre, en radians :
  
  $d_{r} = R Δ φ^{2} + (q Δ λ)^{2} = 6371.0088 \times 0.30595 6^{2} + 1.49667 8^{2} = 9, 732.5 km$
2. Le long d'une loxodromie, le cap ne change jamais. Chaque kilomètre franchi fait donc gagner la même distance vers le nord, soit cos θ kilomètre. De l'équateur au pôle, on couvre un quart de méridien, πR/2 :
  
  $d = \frac{π R /2}{cos 4 5 ^{\circ}} = \frac{10 , 007 . 56}{0 . 707107} = 14, 152.8 km$
3. La longitude constitue l'autre moitié. Sur une loxodromie, tan θ = Δλ/Δψ. À 45°, le gain en longitude équivaut donc à la variation de la latitude isométrique ψ, en radians. Chaque intervalle de 2π correspond à un tour complet du pôle. À un degré du pôle, à 157,3 km de spirale de l'arrivée :
  
  $Δ λ = tan 4 5^{\circ} Δ ψ = ψ (8 9^{\circ}) = 4.7413 \Rightarrow n = \frac{4 . 7413}{2 π} = 0.755$
4. Cependant, ψ ne cesse jamais de croître. À proximité du pôle, ψ correspond presque exactement au logarithme de 2 divisé par la colatitude restante. Chaque rapprochement d'un facteur dix y ajoute la même quantité, ce qui représente une fraction identique de tour :
  
  $ψ (φ) \approx ln \frac{2}{π /2 - φ} \Rightarrow Δ n = \frac{ln 10}{2 π} = 0.3665$
Réponse

14 152,8 km, et un nombre infini de tours. La distance est finie car chaque kilomètre de spirale avance de 0,707 km vers le nord. La spirale complète vaut donc √2 fois un quart de méridien. Les tours ne s'arrêtent jamais puisque ψ n'a pas de limite, mais ils interviennent tard et sur des trajectoires très courtes : 0,755 tour à 89° N, 1,488 tour à 89,99° N lorsqu'il reste 1,573 km de spirale. À partir de là, chaque rapprochement d'un facteur dix ajoute 0,3665 tour. La carte de Mercator ne peut pas afficher la fin du tracé, car le pôle se trouve infiniment haut sur la feuille.

$d = 14, 152.8 km, n \to \infty, n (89.9 9^{\circ}) = 1.488$

Parcours

La géométrie sur une surface courbe

Références (2)

Geodesics on the Earth: the great circle as the sphere's shortest path, Clairaut's relation sin α₀ = sin α cos β that fixes how the heading changes along one (on a sphere, the sine rule), and the WGS 84 semi-axes this page's mean radius (2a + b)/3 is taken from: C. F. F. Karney, "Algorithms for geodesics", Journal of Geodesy 87(1), 43–55 (2013).
The ellipsoidal distance the lesson compares the sphere with: Vincenty's iterative inverse formula, used here on the WGS 84 ellipsoid for London Heathrow to Los Angeles (8,781.1 km against the sphere's 8,760.1 km): T. Vincenty, "Direct and inverse solutions of geodesics on the ellipsoid with application of nested equations", Survey Review 23(176), 88–93 (1975).

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.