Explorateur des fonctions hyperboliques

Fonctions hyperboliques vs circulaires, vérification d'identités et intuition géométrique.

Exemple résolu — Explorateur des fonctions hyperboliques

cosh(1)	1.543081
cosh^2(t)-sinh^2(t)	1

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Explorateur des fonctions hyperboliques

Les fonctions hyperboliques portent le nom d’une courbe, et ce nom contient toute l’idée. Là où (cos t, sin t) parcourt le cercle x² + y² = 1, le couple (cosh t, sinh t) parcourt l’hyperbole x² − y² = 1 — un signe changé, une courbe échangée. La question plus difficile, et le vrai sujet de cette leçon, est de savoir ce que signifie le paramètre commun t une fois le cercle quitté.

Ce que signifie chaque symbole

t: le paramètre. Sur le cercle, on a appris à l’appeler un angle. Cette lecture ne survit pas au passage à l’hyperbole, et la remplacer correctement est l’objet des étapes 3 et 4.
cosh t: (eᵗ + e⁻ᵗ)/2, l’abscisse du point. Jamais inférieure à 1 et jamais oscillante — deux choses que le mot « cosinus » suggère activement et qui sont ici toutes deux fausses.
sinh t: (eᵗ − e⁻ᵗ)/2, l’ordonnée. Non bornée dans les deux sens, et nulle seulement en t = 0.
x² − y² = 1: l’hyperbole unité. Cette page affiche cosh²t − sinh²t dans ses résultats et montre toujours 1 — ce nombre est cette équation, et c’est là la raison du nom.

D’où vient la formule

Partons de là où l’intuition s’est formée. Le point (cos t, sin t) est sur le cercle unité, et sur un cercle le paramètre t a deux lectures qui donnent le même nombre : c’est la longueur d’arc parcourue depuis (1, 0), et c’est le double de l’aire du secteur balayé depuis le centre. Comme les deux coïncident, personne n’est jamais forcé de choisir, et tout le monde sort de l’école en appelant t un angle.
Changeons maintenant un signe et demandons un point sur x² − y² = 1. Prenons cosh t = (eᵗ + e⁻ᵗ)/2 et sinh t = (eᵗ − e⁻ᵗ)/2, élevons au carré et soustrayons : les termes croisés s’annulent et il reste (e²ᵗ + 2 + e⁻²ᵗ)/4 − (e²ᵗ − 2 + e⁻²ᵗ)/4 = 1. Donc (cosh t, sinh t) est sur cette hyperbole pour tout t réel, par construction. C’est l’identité qu’affiche la page, et toute la justification du mot « hyperbolique ».
Laquelle des deux lectures de t passe donc le cap ? Pas la longueur d’arc. La distance parcourue le long de l’hyperbole de (1, 0) à (cosh t, sinh t) n’est pas t, et n’a aucune formule élémentaire — c’est une intégrale elliptique, raison pour laquelle aucun manuel ne la donne. Celle qui survit est l’autre : l’aire.
Voici cette affirmation méritée plutôt qu’assénée. Le secteur hyperbolique — borné par l’axe des x, le rayon jusqu’à (cosh t, sinh t) et la courbe elle-même — vaut le triangle sous le rayon moins la région sous l’hyperbole. Le triangle vaut ½·cosh t·sinh t. Pour l’autre morceau, ∫√(x² − 1) dx = ½(x√(x² − 1) − arcosh x), et l’évaluation de 1 à cosh t donne ½(cosh t·sinh t − t), puisque √(cosh²t − 1) = sinh t et arcosh(cosh t) = t. En soustrayant : ½·cosh t·sinh t − ½(cosh t·sinh t − t) = t/2. L’aire du secteur vaut exactement t/2 — la même règle que pour le cercle.
L’énoncé honnête est donc que t est le double d’une aire balayée, dans les deux géométries, et que « angle » était une coïncidence du cercle qui ne voyage pas. C’est pourquoi le panneau géométrique marque ici deux points et aucun angle : en tirant le curseur, le point circulaire balaie à vitesse angulaire constante alors que le point hyperbolique, visiblement, non — et la quantité qu’ils partagent est l’aire derrière eux, non la direction où ils se trouvent.

Comment lire ce que vous voyez

Deux panneaux et deux nombres. À gauche, la fonction choisie en fonction de t ; à droite, la géométrie, la plus intéressante des deux — un cercle unité portant (cos t, sin t) à côté de l’hyperbole portant (cosh t, sinh t), tous deux pilotés par le même curseur. La case « comparer aux circulaires » superpose le partenaire circulaire, rendant la divergence directement visible. Parmi les affichages, c’est le second qu’il faut regarder : cosh²(t) − sinh²(t) indique 1.000000 à tous les réglages, parce que ce n’est pas un résultat calculé mais l’équation de la courbe, réécrite.

Suppose: Un t réel, et la branche droite de l’hyperbole — cosh t ≥ 1 toujours, donc ce paramétrage n’atteint jamais la branche gauche, et aucun t réel ne l’atteindra. L’hyperbole unité en particulier, ses deux demi-axes valant 1 ; une x²/a² − y²/b² = 1 générale demande (a·cosh t, b·sinh t) et le joli résultat d’aire gagne un facteur ab. Et l’aire comptée comme secteur signé mesuré depuis le demi-axe positif, si bien qu’un t négatif balaie en dessous.
Ne tient plus quand: Le nom induit en erreur dans deux directions à la fois, et les deux méritent d’être retenues. Lisez t comme un angle et tout tracé hyperbolique devient discrètement faux : aucun angle de la figure ne vaut t, et la longueur d’arc, autre candidat naturel, n’est pas élémentaire. Lisez « cosinus » comme une oscillation bornée et l’erreur inverse suit — cosh t n’est jamais inférieur à 1 et ne redescend jamais, ce qui explique qu’il soit la forme d’une chaîne suspendue et non celle d’une onde. Ces fonctions sont nommées d’après la courbe qu’elles paramètrent, non d’après un comportement partagé avec leurs homonymes circulaires.

Galilée prenait la chaîne suspendue pour une parabole 🖖

Une chaîne suspendue sous son propre poids ressemble tant à une parabole que Galilée l’a consignée comme telle en 1638. Elle n’en est pas une : la vraie courbe est y = a cosh(x/a), la chaînette, et l’écart est réel, non un détail d’arrondi. Joachim Jungius a montré que la parabole était fausse, et en 1691 Huygens, Leibniz et Jean Bernoulli ont produit indépendamment la bonne courbe en réponse à un défi public lancé par Jacques Bernoulli. Le nom vient de catena, « chaîne » en latin. Retournez la forme et vous obtenez le seul arc qui porte son propre poids en compression pure, sans aucune flexion — c’est pourquoi la Gateway Arch de Saint-Louis est une chaînette et non une parabole.

De simples exponentielles déguisées 🖖

En retirant les noms savants, sinh et cosh se construisent simplement à partir des fonctions exponentielles e^t et e^-t : cosh(t) = (e^t + e^-t)/2 et sinh(t) = (e^t - e^-t)/2. Ainsi cosh est la moyenne d'une exponentielle croissante et d'une décroissante, tandis que sinh est la moitié de leur différence. Voilà pourquoi cosh ne descend jamais sous 1 et sinh passe nettement par l'origine.

Le pont qui n'a pas besoin de i 🖖

On peut passer des fonctions hyperboliques aux fonctions circulaires sans aucun nombre imaginaire, grâce au gudermannien gd(t) : sin(gd t) = tanh(t) et tan(gd t) = sinh(t). Sa réciproque, ln(tan(π/4 + φ/2)), est exactement la coordonnée verticale de la projection de Mercator. Ainsi, chaque carte marine classique est discrètement tracée à l'aide de la géométrie de sinh et cosh.

Problème entièrement résolu

Cosh 1 à partir des exponentielles et de la quantité physique 1,543081 6 étapes
Calculez cosh 1 à partir des exponentielles, démontrez l'identité qui donne leur nom à ces fonctions — puis déterminez quelle grandeur physique représente 1,543081.
1. Les deux fonctions sont construites à partir des deux mêmes exponentielles, ne différant que par un signe. Tout le reste en découle.
  
  $cosh t = \frac{e ^{t} + e ^{- t}}{2}, sinh t = \frac{e ^{t} - e ^{- t}}{2}$
2. Évaluez en t = 1 avec e = 2,718282. C'est le nombre affiché par l'outil.
  
  $cosh 1 = \frac{2.718282 + 0.367879}{2} = \frac{3.086161}{2} = 1.543081$
3. Élevez les deux au carré et soustrayez. Les termes croisés s'annulent et ce qui subsiste est 4/4 — une identité sans aucune approximation, et la raison pour laquelle le paramètre trace une hyperbole plutôt qu'un cercle.
  
  $cosh^{2} t - sinh^{2} t = \frac{( e ^{t} + e ^{- t} ) ^{2} - ( e ^{t} - e ^{- t} ) ^{2}}{4} = \frac{4}{4} = 1$
4. Additionnez-les plutôt et l'exponentielle réapparaît intacte. Le rapport est tanh, qui est borné par ±1 quelle que soit la valeur atteinte par l'argument — un plafond qui aura son importance dans un instant.
  
  $cosh t + sinh t = e^{t}; tanh 1 = \frac{1.175201}{1.543081} = 0.761594$
5. Prenez ce rapport borné comme vitesse en unités de c et calculez le facteur de Lorentz. Il donne exactement le nombre de l'étape 2.
  
  $γ = \frac{1}{1 - β ^{2}} = \frac{1}{1 - 0.76159 4 ^{2}} = \frac{1}{0.419974} = 1.543081 = cosh 1$
6. Additionnez maintenant deux rapidités de manière ordinaire et effectuez la conversion inverse. Le résultat concorde avec l'addition relativiste des vitesses, ce qui fait de la rapidité la coordonnée naturelle.
  
  $tanh (1 + 1) = 0.964028 = \frac{0.761594 + 0.761594}{1 + 0.76159 4 ^{2}}$
Réponse

1,543081, soit le facteur de Lorentz d'un objet se déplaçant à 0,7616 c. Ce n'est pas une simple coïncidence déguisée. Si l'on définit la rapidité par β = tanh φ, alors γ = cosh φ découle de l'identité démontrée à l'étape 3, et l'ensemble de la relativité restreinte unidimensionnelle devient de la trigonométrie hyperbolique. L'avantage est que les rapidités s'additionnent tout simplement : deux boosts de rapidité 1 donnent tanh 2 = 0,9640 c, ce qui est précisément ce que donne la formule d'addition des vitesses d'Einstein pour 0,7616 c combiné avec lui-même. Les vitesses ne s'additionnent pas ; ce sont les angles dont elles sont les cosinus qui s'additionnent.

$cosh 1 = 1.543081 = γ at v = 0.7616 c$

Références (2)

The lesson — the definitions, the identity and the sector-area interpretation of the argument: F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert and C. W. Clark (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, ch. 4. Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0-521-19225-5.
Where the functions and their name come from: V. Riccati, Opusculorum ad res physicas et mathematicas pertinentium, vol. I. Bologna, 1757 — where the hyperbolic sine and cosine are introduced. J. H. Lambert, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques", Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin 17, 1768, which brought them into general use.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-22

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Exemples de problèmes

vérification d'identité - Vérification de l'identité hyperbolique : cosh^2(1) - sinh^2(1) = 1.
asymptote de tanh - tanh tend vers +/-1 quand |t| augmente, contrairement à tan qui diverge.
forme de chaînette - La courbe de cosh correspond au profil de la chaînette, formée par les chaînes et câbles suspendus.
relation des dérivées - Relation de dérivation : d/dx sinh = cosh et d/dx cosh = sinh.