Le transport parallèle sur une sphère

Tracez une boucle sur une sphère et faites-y circuler une flèche en la maintenant toujours orientée dans la même direction. La page montre sa position finale, son écart par rapport à la position initiale et le rapport entre sa rotation et l'aire à l'intérieur de la boucle.

Exemple résolu — Le transport parallèle sur une sphère

Côtés, comme angles au centre	90,00°, 90,00°, 90,00°
Angle en A	90,00°
Angle en B	90,00°
Angle en C	90,00°
Somme des trois angles	270,00°
Excès angulaire	90,00°
Part de la sphère à l'intérieur	0,1250
Aire intérieure	1,5708 R²

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Le transport parallèle sur une sphère

Le transport parallèle déplace une flèche le long d'un chemin sur une surface sans la faire tourner : à chaque étape, la flèche reste sur la surface et ne change que dans la mesure où celle-ci l'y contraint. Sur une feuille plane, une flèche qui parcourt une boucle fermée revient comme elle est partie. Sur une surface courbe, elle peut revenir tournée. Cette rotation est égale à la courbure additionnée sur l'aire délimitée par la boucle, moins d'éventuels tours complets. Sur une sphère de rayon R, cela vaut aire/R² en radians. Pour un triangle d'arcs de grand cercle, c'est son excès angulaire A + B + C − 180°.

Ce que signifie chaque symbole

E: l'excès angulaire d'un triangle, A + B + C − 180° ; en radians, cela correspond à l'aire intérieure en unités de R²
R: le rayon de la sphère ; pour la Terre ici 6 371,0088 km
φ: la latitude du cercle le long duquel la flèche est déplacée

Même sans jamais pivoter, la flèche revient décalée de 90° 🖖

Cliquez sur Trois angles droits. Le triangle descend du pôle Nord jusqu'à l'équateur, en parcourt un quart, puis remonte au pôle ; chacun de ses trois angles mesure 90°. Observez maintenant la flèche orange. Le long de chaque côté, elle conserve le même angle par rapport à ce côté. C'est la seule définition possible de « ne pas tourner » sur une surface courbe. À chaque sommet, elle reste immobile. Elle atteint à nouveau le pôle tournée de 90° dans le sens antihoraire par rapport à la flèche en pointillés de départ. Le cadran indique où sont passés ces 90°. Une personne parcourant le triangle tourne de 90° à chaque sommet, soit 270° au total, alors qu'un parcours fermé sur une feuille de papier correspond à une rotation d'exactement 360°. Les 90° manquants constituent la rotation de la flèche, et représentent également l'aire du triangle : π/2 en unités de R², soit un huitième de la sphère.

Seule l'aire compte, et le Paris de Foucault représente presque un huitième de la sphère 🖖

Cliquez sur Même aire, rond : un parallèle à 48,59° N, où sin φ = 3/4, la calotte située au-dessus représente donc un huitième de la sphère, tout comme l'octant. Un cercle ne possède aucun sommet et n'a rien d'autre en commun avec ce triangle. Pourtant, la flèche revient après avoir subi la même rotation de 90°. La rotation ne dépend de rien d'autre que de l'aire délimitée : 720° multipliés par la part de la sphère incluse, moins d'éventuels tours complets, et le deuxième graphique place chaque boucle sur une seule ligne. Cliquez sur Paris, 48,836° N, la latitude du pendule dans Effet Coriolis et pendule de Foucault : la flèche revient tournée de 88,98° dans le sens antihoraire. Le pendule est cette flèche. En un jour sidéral, la Terre entraîne son plan d'oscillation pour un tour complet du parallèle sans que rien ne le fasse pivoter. Face au sol en rotation, il accumule donc un retard de 360° − 88,98° = 271,02° dans le sens horaire. Cela correspond aux 11,32° par heure qu'indique la page pour Paris. À 30° N, la calotte couvre un quart de la sphère et la flèche revient inversée.

Une fourmi peut déterminer le rayon de son monde sans le quitter 🖖

La rotation divisée par l'aire est la même pour toute boucle tracée sur une sphère qui en englobe moins de la moitié. Elle vaut 1/R² : ce rapport correspond à la courbure. Cliquez sur Londres, Tokyo, Los Angeles. Sur Terre, le triangle couvre 47 696 300 km² et fait tourner la flèche de 67,33°, soit 1,17508 radians. Le calcul √(47 696 300 / 1,17508) donne 6 371,0 km. C'est le rayon de la Terre, déduit de deux mesures effectuées sur sa surface. Il faut une boucle immense pour le voir. Divisez par deux les côtés d'un triangle équilatéral. Une fois celui-ci devenu petit, la rotation se réduit au quart (le tableau : 4,059, 4,015, 4,004). Ainsi, un triangle de 100 km de côté ne fait tourner la flèche que de 22,0 secondes d'arc. Les topographes corrigent exactement cet effet depuis Legendre. Chaque angle d'un petit triangle sphérique dépasse celui du triangle plan ayant les mêmes côtés de presque un tiers de l'excès.

Problème entièrement résolu

Un triangle dont les angles totalisent 181° 4 étapes
Sur Terre, un triangle équilatéral formé d'arcs de grand cercle possède des angles totalisant exactement 181°. Quelle superficie couvre-t-il, et quelle est la longueur de ses côtés ? Cliquez d'abord sur Trois angles droits : l'excès y est de 90° et la page donne l'aire correspondante sur Terre.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Sur l'octant, l'excès correspond à un quart de tour, et l'aire est le produit de cet excès en radians par R² :
  
  $E = 27 0^{\circ} - 18 0^{\circ} = 90.0 0^{\circ} = \frac{π}{2}, A = \frac{π}{2} R^{2} = 63, 758, 235 km^{2}$
2. Un excès de 1° équivaut à π/180 de radian. L'aire s'en déduit donc immédiatement, quelle que soit la forme du triangle :
  
  $A = \frac{π}{180} \times 6371.008 8^{2} = 708, 424.8 km^{2}$
3. Pour déterminer les côtés, utilisez le fait que le triangle est équilatéral. Chaque angle mesure 181°/3, et la loi des cosinus pour un triangle sphérique aux trois côtés s identiques se simplifie en cos A = cos s / (1 + cos s), ce qui donne après inversion pour cos s :
  
  $A = \frac{18 1 ^{\circ}}{3} = 60.333 3^{\circ}, cos s = \frac{cos A}{1 - cos A} = \frac{0 . 49495324}{0 . 50504676} = 0.9800147 \Rightarrow s = 11.474 1^{\circ}$
4. et le côté, en kilomètres, correspond au produit de cet angle en radians par R :
  
  $s = 11.474 1^{\circ} \times \frac{π}{18 0 ^{\circ}} \times 6371.0088 km = 1, 275.9 km$
Réponse

708 425 km², avec des côtés de 1 275,9 km. Un triangle plan possédant les trois mêmes côtés aurait des angles d'exactement 60° et une aire d'environ 704 900 km², soit 0,50 % de moins. Un degré entier d'excès nécessite un triangle de la taille d'un grand pays : divisez ses côtés par deux et l'excès tombe à 0,249°, soit environ un quart. C'est pourquoi la somme des angles d'un triangle arpenté dans un champ donne 180° à la précision de n'importe quel rapporteur.

$A = 708, 425 km^{2}, s = 1, 275.9 km$

Parcours

La géométrie sur une surface courbe

Références (2)

The turn of a parallel-transported vector round a circle of latitude, 2π(1 − sin φ), equal to the area of the cap it bounds on the unit sphere; the Foucault pendulum as that transport, with Paris turning about 271° against the ground in a sidereal day; and, for a geodesic triangle, the curvature inside equal to the angle sum minus π: O. Stoytchev, "From Foucault's Pendulum to the Gauss–Bonnet Theorem", arXiv:1701.01666 [math.HO] (2017).
The area of a spherical triangle, (A + B + C − π)r², proved from lunes; the law of cosines the results table uses for the angles; and Legendre's theorem, that each angle of a small spherical triangle exceeds the flat triangle's with the same sides by a third of the excess, with its use in measuring the Earth: I. Todhunter, Spherical Trigonometry for the Use of Colleges and Schools, 5th edition, Macmillan, 1886, Arts. 96–97 and 106–108 (Project Gutenberg ebook 19770).

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.