Chasse aux angles

trouvez l'angle marqué, une règle nommée à la fois

Exemple résolu — Chasse aux angles

Étapes dans la chaîne	2
Règles utilisées	2
Déterminés	5 / 6
Autres chemins vers cet angle	6, de 1 à 3 étapes
Données	30°

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Chasse aux angles

Une chasse aux angles est un exercice qui consiste à trouver un angle non marqué dans une figure en appliquant une règle précise à la fois. Chaque étape utilise des angles que vous avez déjà calculés. Ces règles forment le petit ensemble restreint que vous enseigne un cours de géométrie, et chacune d'elles représente une équation linéaire dont les inconnues sont les angles. La somme des angles d'un triangle s'écrit a + b + c = 180, les angles opposés par le sommet s'écrivent a = b, et ainsi de suite. C'est la raison pour laquelle l'élimination permet toujours de résoudre une chasse aux angles. La question intéressante n'est pas de connaître la valeur de l'angle, mais de savoir si la figure vous a donné assez d'informations pour le trouver, et le chemin qu'il vous faudra parcourir une fois que ce sera le cas.

Ce que signifie chaque symbole

180°: la somme des angles de tout triangle, et des angles situés d'un même côté d'une droite
360°: les angles autour d'un point
rank: combien d'angles inconnus de la figure les données et les règles parviennent réellement à fixer

Suppose: Une figure plane, tracée sans contradiction. Chaque figure ici est construite en choisissant d'abord ses angles puis en calculant ses coordonnées. Elle ne peut donc pas être impossible par accident. C'est une garantie qu'une figure de manuel dessinée à la main n'offre pas.

Vous pouvez répondre à la question sans que la figure soit résolue 🖖

Cliquez sur Une étape et lisez la carte Déterminés. Elle indique 4 sur 6. La figure contient six angles inconnus. Ce qui vous a été donné, associé aux règles, en fixe quatre. Deux restent libres. La cévienne pourrait croiser BC n'importe où sur un intervalle, rien de ce que l'on vous a dit ne changerait. L'angle que l'on vous a demandé reste certain malgré tout. Cet écart mérite qu'on s'y attarde. Être bloqué donne exactement la même sensation dans les deux cas. Un lecteur qui ne parvient pas à trouver ∠ADB manque une étape. Un lecteur qui ne trouve pas ∠BAD ne manque rien du tout. Cet angle n'a ici aucune valeur à trouver. Comparer les inconnues avec ce que les règles fixent permet de séparer les deux cas en une seule ligne. Cela répond à une question que la recherche pure ne résout jamais : savoir s'il existe une réponse.

Neuf règles, et c'est la répétition de l'une d'elles qui prolonge une chasse 🖖

Tous les enchaînements générés par cet outil reposent sur neuf règles : la somme des angles d'un triangle et celle d'un quadrilatère, les angles sur une droite, les angles opposés par le sommet, les angles autour d'un point, l'égalité des angles à la base d'un triangle isocèle, les angles alternes-internes et correspondants entre deux parallèles, et la recomposition d'un angle scindé. Sur sept des huit figures, une résolution réutilise très rarement la même règle. Le quadrilatère ne le fait jamais. L'intersection l'utilise dans 0,0 % de ses calculs, le triangle coupé en trois dans 4,7 %. Vient ensuite l'escalier, où 30,1 % des cas mobilisent une même règle au moins trois fois. C'est également la seule figure qui nécessite huit étapes. Ces deux faits n'en font qu'un. Le parcours s'allonge par répétition : vous transportez une valeur d'une extrémité à l'autre, alternant angle alterne-interne et angle plat, virage après virage. La longueur naît de la distance, non de la difficulté.

Une longue chasse provient généralement de la question, pas de vous 🖖

Appuyez plusieurs fois sur Une autre énigme sans toucher à la figure. L'angle demandé reste souvent le même ; ce qui change, ce sont les angles qui vous ont été fournis. Sur l'escalier, ∠A0A1A2 peut être obtenu de 32 manières différentes. Le chemin le plus court ne compte qu'une étape, le plus long en nécessite huit. Même figure, même angle, même réponse de 30°. Sur les huit figures présentées ici, 63,0 % des angles peuvent être atteints par des cheminements qui diffèrent de deux étapes ou plus, et 32,8 % par trois ou plus. Lorsqu'une recherche s'éternise, cela s'explique donc généralement par les angles initiaux, et non par votre façon de procéder. La carte Autres chemins vers cet angle indique d'ailleurs ces deux nombres pour la figure à l'écran. C'est aussi pour cela qu'il est pertinent de comparer votre démarche à celle de quelqu'un d'autre sans vous en inquiéter : trouver deux cheminements exacts de longueurs très différentes est la situation la plus courante.

Problème entièrement résolu

Une étape, ou huit, pour le même angle 5 étapes
Dans l'escalier, l'angle ∠A0A1A2 mesure 30°. Calculez-le deux fois (une première fois à partir des angles qui facilitent le travail, puis à partir de ceux qui le compliquent) et déterminez ce que cette différence met en évidence. Sélectionnez Escalier entre parallèles et cliquez sur Une autre énigme jusqu'à ce que la question porte sur ∠A0A1A2.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. La réponse ne dépend de rien de tout cela. L'angle ∠A0A1A2 mesure 30° dans cette figure et mesurerait 30° quelles que soient les données fournies. En effet, la figure a été construite avant que la question ne soit posée.
  
  $∠ A_{0} A_{1} A_{2} = 3 0^{\circ}$
2. Voici l'approche la plus simple. Si l'énoncé vous donne les deux angles situés de part et d'autre de celui-ci en A1, la recherche complète se résume à une soustraction sur une ligne droite. Les trois angles en A1 situés sous la parallèle inférieure totalisent 180°, et deux d'entre eux sont connus.
  
  $from ∠ N A_{1} A_{0} = 3 0^{\circ} and ∠ A_{2} A_{1} M = 12 0^{\circ} : 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$
3. Passons maintenant à l'approche complexe pour trouver ce même angle. L'énoncé vous fournit un angle en A0, un en A2 et un en A3, et absolument rien en A1. Il faut déplacer chacun d'eux le long du parcours pour atteindre A1. Cela demande huit étapes, dont trois traversent l'espace compris entre les parallèles.
  
  $from ∠ A_{1} A_{0} R, ∠ A_{3} A_{2} A_{1}, ∠ A_{2} A_{3} M : eight steps, three of them across the parallels$
4. Aucun de ces chemins n'est plus astucieux que l'autre. Ils ne diffèrent que par les angles que le problème a choisi de marquer. Cette figure offre 32 choix différents pour une même cible, le parcours le plus court prenant une étape et le plus long huit.
  
  $what the question handed you both angles at A_{1} one angle at each of A_{0}, A_{2}, A_{3} steps 18$
5. Cet écart n'est pas inhabituel. Sur les huit figures présentées ici, 63,0 % des angles peuvent être atteints par des cheminements qui diffèrent de deux étapes ou plus, et 32,8 % par trois ou plus.
  
  $32 ways in, 1 \leq steps \leq 8$
Réponse

La longueur d'une chasse aux angles dépend de la question, et non de la personne qui la résout. Il est utile de le savoir pour une raison pratique. Lorsqu'une chasse s'allonge, la bonne réaction consiste à chercher d'abord si un autre angle de la figure est plus facile à atteindre, et non à supposer que vous avez manqué un raccourci. C'est également pour cela que deux solutions correctes de longueurs très différentes constituent la norme plutôt que l'indice d'une erreur. Cela explique enfin pourquoi un correcteur qui évalue la démarche, et non le résultat numérique, évalue en réalité la partie la plus difficile.

$same figure, same angle, same 3 0^{\circ}$

Références (3)

The angle sum, which is the rule every chain on this page leans on hardest: Euclid, Elements, Book I, Proposition 32. D. E. Joyce (ed.), Clark University.
Vertical angles, the rule that is the only bridge between the two halves of the crossing: Euclid, Elements, Book I, Proposition 15. D. E. Joyce (ed.), Clark University.
The equal base angles, which is where the chase stops and the algebra starts: Euclid, Elements, Book I, Proposition 5 (the pons asinorum). D. E. Joyce (ed.), Clark University.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.