Constructions à la règle et au compas

Deux outils, et rien d'autre : une règle non graduée qui trace une droite passant par deux points, et un compas qui trace un cercle centré sur un point et passant par un autre. Parcourez les constructions classiques étape par étape, testez quels polygones réguliers et quelles trisections sont possibles, ou construisez vous-même quelque chose. Le tableau sous le dessin calcule les longueurs et détaille l'algèbre.

Exemple résolu — Constructions à la règle et au compas

Opérations au compas	2
Opérations à la règle	1
Total des opérations	3
Rayon des deux cercles	1,0000
Distance MA	0,5000
Distance MB	0,5000
Angle entre les droites	90,0000°
Plus grand écart à l'exact	0

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Constructions à la règle et au compas

Une construction utilise deux opérations : tracer la droite passant par deux points déjà construits, et tracer le cercle centré sur un point construit et passant par un autre. Là où les droites et les cercles se croisent, de nouveaux points sont construits. Une longueur est constructible lorsqu'une suite finie de ces étapes permet de l'obtenir. À partir d'une longueur unité, les longueurs constructibles sont exactement celles atteintes par les quatre opérations arithmétiques et les racines carrées ; ainsi, un nombre nécessitant une racine cubique, ou toute autre chose, ne peut pas être construit.

Ce que signifie chaque symbole

n: le nombre de côtés d'un polygone régulier
φ(n): l'indicatrice d'Euler, le nombre d'entiers de 1 à n qui n'ont aucun facteur commun avec n en dehors de 1
F_k: un nombre premier de Fermat, 2^(2^k) + 1. Seuls 3, 5, 17, 257 et 65537 sont connus
cos θ: la longueur qui construit un angle θ. Construire l'angle et construire ce nombre constituent le même problème
deg: le degré de cos(360°/n) sur les rationnels, φ(n) ÷ 2. Le polygone à n côtés peut être construit exactement lorsque ce degré est une puissance de 2

Gauss a construit le polygone à 17 côtés à 18 ans, et personne ne construira jamais celui à 7 côtés 🖖

Cliquez sur Polygone à 17 côtés et regardez-le se construire : 41 cercles et 30 droites dans cette construction, et les dix-sept sommets sont espacés régulièrement à quinze décimales près. Carl Friedrich Gauss a découvert en 1796, à dix-huit ans, que cette construction était possible, et aurait demandé qu'elle figure sur sa pierre tombale. Il a démontré qu'un polygone régulier à n côtés peut être construit lorsque n est une puissance de 2 multipliée par un produit de nombres premiers de Fermat distincts (les seuls connus sont 3, 5, 17, 257 et 65537), et Pierre Wantzel a prouvé en 1837 qu'aucun autre n ne fonctionne. Cliquez sur Pourquoi pas à 7 côtés. Sept est un nombre premier, mais pas un nombre premier de Fermat, et le tableau dépliant liste tous les n de 3 à 100 : seuls 24 d'entre eux peuvent être construits. Le polygone à 9 côtés échoue également, car 3 y apparaît deux fois.

Vous pouvez trisecter 90° en cinq mouvements, mais 60° jamais 🖖

Cliquez sur Trisecter 90° : 30° est un angle du triangle équilatéral, et cinq opérations divisent l'angle droit en trois. Cliquez maintenant sur Trisecter 60°. Un tiers de cet angle vaut 20°, et cos 20° est une racine de l'équation cubique 8c³ − 6c − 1 = 0. Un compas et une règle ne peuvent produire que des longueurs obtenues par les quatre opérations arithmétiques et des racines carrées, et une équation cubique à coefficients rationnels sans racine rationnelle ne possède aucune racine accessible par des racines carrées. Le tableau vérifie les huit candidats rationnels et aucun ne fonctionne. Wantzel a publié cette preuve dans le même article de 1837, clôturant ainsi un problème que les Grecs avaient laissé ouvert pendant deux mille ans. Parmi les angles de cette page, qui sont des multiples entiers de 3°, un angle peut être trisecté exactement lorsqu'il est un multiple de 9°.

Un compas qui oublie son écartement ne perd rien 🖖

Le troisième postulat d'Euclide vous permet de tracer un cercle uniquement centré sur un point et passant par un autre ; un compas qui, comme on le dit aujourd'hui, se referme au moment où il est soulevé, de sorte qu'il ne peut pas reporter une distance d'un endroit à un autre. Cela semble être une limite paralysante, mais sa deuxième proposition démontre le contraire : n'importe quelle longueur peut de toute façon être copiée, avec quelques cercles et droites supplémentaires. Ouvrez Report d'un angle et basculez entre le compas rigide et le compas pliant. Dans cet enregistrement, le rigide nécessite 3 cercles et 1 droite, et le pliant 11 cercles et 5 droites, pour accomplir exactement la même tâche. Tout ce qu'un compas peut construire, l'autre le peut aussi. Celui qui oublie rend seulement chaque construction plus longue.

Problème entièrement résolu

D'où vient cos 72° dans le pentagone 5 étapes
Un pentagone régulier est inscrit dans un cercle de rayon 1 par la construction sur cette page : prenez le milieu M du rayon OH₂, tracez le cercle centré en M et passant par A, le sommet du cercle, et laissez-le couper le diamètre en N. Trouvez la longueur ON, cos 72°, et le côté du pentagone. Cliquez sur Pentagone régulier pour vérifier.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. M est le milieu d'un rayon, donc :
  
  $O M = \frac{1}{2}$
2. A est au sommet du cercle, à un angle droit de H₂, le théorème de Pythagore donne donc MA :
  
  $M A = 1^{2} + (\frac{1}{2})^{2} = \frac{5}{2} = 1.1180$
3. N se trouve sur le cercle centré en M et passant par A, donc MN = MA, et N est de l'autre côté de O :
  
  $O N = M N - O M = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 0.6180$
4. ON est le côté du décagone régulier, et sa moitié est le cosinus de l'angle au centre du pentagone :
  
  $cos 7 2^{\circ} = \frac{O N}{2} = \frac{5 - 1}{4} = 0.3090$
5. Le côté du pentagone AN est l'hypoténuse du triangle rectangle OAN :
  
  $A N = 1^{2} + O N^{2} = 1 + 0.3820 = 1.1756 = 2 sin 3 6^{\circ}$
Réponse

ON = 0,6180, cos 72° = 0,3090 = (√5 − 1) ÷ 4, et le côté du pentagone est 1,1756, ce qui correspond à 2 sin 36°. Chaque étape n'a utilisé qu'un cercle, une droite et une racine carrée, ce qui est l'unique raison pour laquelle le pentagone peut être construit : son cosinus nécessite √5 et rien de pire.

$cos 7 2^{\circ} = \frac{5 - 1}{4} = 0.3090, A N = 1.1756$

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.