Nombre d'or et spirale de Fibonacci

La récurrence de Fibonacci remplace sans cesse un rapport par 1 plus son inverse : F(n)/F(n-1) = 1 + F(n-2)/F(n-1). Une fois ce rapport stabilisé à x, il doit satisfaire x = 1 + 1/x, donc x² = x + 1, et la solution positive est phi. La spirale est une image géométrique de cette même autosimilarité : chaque carré plus grand contient le rectangle précédent plus un nouveau carré.

Regarde le diagramme en barres : les rapports de Fibonacci successifs tombent alternativement juste au-dessus et juste au-dessous de φ, et l'écart se réduit à chaque étape. Dès 21/13 = 1.615 tu es déjà à moins de 0.003 de φ, et quelques termes plus loin le rapport coïncide avec φ sur autant de décimales que l'affichage peut montrer. La convergence est rapide, et aucun écart isolé ne reste longtemps éloigné.

Écrit en fraction continue, φ = [1; 1, 1, 1, …] : rien que des uns, les plus petits coefficients possibles. Cela fait de φ le nombre le plus difficile à approcher par une fraction, et ses meilleures approximations sont justement les rapports de Fibonacci que trace cet outil. La nature en profite : des graines espacées de 360°/φ² ≈ 137.5° ne s'alignent jamais en laissant des trous, ce qui donne aux tournesols et aux pommes de pin leur empilement dense et régulier.