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Problèmes mathématiques : de l'énoncé aux équations

Lisez l'énoncé, choisissez des lettres pour les inconnues et écrivez les équations qu'il décrit. La page vous indique si vos équations traduisent correctement l'énoncé et, dans le cas contraire, quelle partie de l'histoire est manquante, puis elle les résout étape par étape. De nouveaux nombres vous donnent un nouvel énoncé du même type.

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Leçon

La théorie — Problèmes mathématiques : de l'énoncé aux équations

Un problème écrit décrit des quantités à l'aide de phrases. Le traduire signifie choisir des inconnues, c'est-à-dire des lettres pour les quantités que l'énoncé ne donne pas, et écrire chaque fait énoncé sous la forme d'une équation. Lorsque toutes les équations sont linéaires, chaque inconnue n'apparaissant que multipliée par un nombre, le système est résolu par élimination : vous ajoutez des multiples d'une équation à une autre jusqu'à ce qu'il ne reste qu'une seule inconnue. Un système a une solution unique, aucune, ou une infinité de solutions. L'élimination détermine laquelle de ces trois situations se présente ; quant à savoir si l'énoncé autorise la réponse obtenue, par exemple s'il refuse un volume négatif ou un mois qui précède le début d'un forfait, c'est en vérifiant par rapport à l'énoncé lui-même que vous le saurez.

Ce que signifie chaque symbole

x, y, z
les inconnues. Ce que chacune représente est défini en premier, et un système n'est correct que pour les lettres avec lesquelles il a été écrit
a₁x + b₁y = c₁
une équation linéaire. Chaque fait de l'énoncé en devient une
0 = c
ce que laisse l'élimination lorsque c ≠ 0 : les faits se contredisent et il n'y a pas de réponse
0 = 0
ce que laisse l'élimination lorsqu'un fait en répète un autre. Il n'apporte rien de nouveau ; s'il reste moins d'équations que d'inconnues, il existe une infinité de réponses

Un bocal de pièces et un mélange sont un seul et même problème 🖖

Cliquez sur Un bocal de pièces et écrivez ses équations : x + y = 21 pour le nombre de pièces, 0,10x + 0,20y = 2,90 pour la valeur. Cliquez ensuite sur Deux concentrations : x + y = 45 pour le volume, 0,25x + 0,60y = 20,7 pour la quantité de substance. Deux énoncés qui n'ont rien en commun, et une seule forme d'équations : un total, et ce même total où chaque partie est pondérée par la valeur d'une de ses unités. Les billets à deux prix et l'argent investi à deux taux reprennent cette même forme. L'algèbre est identique à chaque fois. Ce que chaque énoncé vérifie, c'est votre capacité à repérer quel total est pondéré par quelle valeur.

Une solution correcte peut répondre à la mauvaise question 🖖

Cliquez sur Deux travailleurs. Le travail est terminé par 4 h d'un travailleur et 10 h de l'autre, ou par 6 h et 5 h. En prenant uniquement les heures comme inconnues, les équations ne sont pas linéaires : 4/A + 10/B = 1. Écrites sous forme de cadences, soit la part du travail que chacun effectue en une heure, cela donne : 4x + 10y = 1 et 6x + 5y = 1, ce qui donne x = 1/8 et y = 1/20. La question demande combien de temps chacun mettrait seul, et la réponse est l'inverse : 8 h et 20 h, et non 1/8 et 1/20. Cliquez sur Course-poursuite et attribuez au temps de Jonas la lettre prévue pour Léna. Le système se résout toujours, sans problème, et la page indique que vos équations correspondent à l'énoncé uniquement si x et y sont inversés, car la réponse attribue à chaque conducteur le temps de l'autre.

Certains systèmes n'ont pas de réponse, et la méthode par élimination en explique la raison 🖖

Cliquez sur Forfaits parallèles. La salle de sport A coûte 25 € à l'inscription et la salle B 55 €, et toutes deux demandent 19 € par mois. Procédez par élimination et tout ce qui comporte une inconnue s'annule, laissant 0 = −30 (ou 0 = 30, si la salle B est écrite en premier). L'écart de 30 € existe dès le premier jour et aucun nombre de mois ne permet de le combler. Cliquez sur Un forfait, deux versions. Le pack de la salle B est de 166 € pour 6 mois, ce qui correspond exactement aux 10 € de la salle A plus six mois à 26 €, et par la suite les deux facturent 26 €. Procédez par élimination et vous obtenez 0 = 0 : les deux équations se confondent sur une même droite. L'équation de la salle B ne décrit sa facture qu'à partir du 6e mois, c'est donc l'énoncé, et non la méthode par élimination, qui indique que chaque mois à partir du sixième constitue une réponse. Une contradiction ou un manque de faits indépendants sont les deux raisons pour lesquelles un système linéaire peut ne pas avoir de solution unique, et chacune s'explique clairement dans l'énoncé.

Problème entièrement résolu

  1. Le bocal de pièces, mis en équations et résolu 5 étapes

    Un bocal contient 21 pièces, toutes de 10 ou 20 centimes, d'une valeur totale de 2,90 €. Écrivez les équations et trouvez combien de pièces de chaque sorte il contient. Cliquez sur Un bocal de pièces et saisissez-les pour vérifier.

    Ouvrez ce problème dans l'outil

    1. Choisissez les inconnues et précisez ce que chacune représente :

    2. Un fait compte les pièces, l'autre compte leur valeur en euros :

    3. Multipliez la deuxième équation par 10 pour supprimer les décimales, puis soustrayez la première :

    4. Réinjectez y dans la première équation :

    5. Vérifiez par rapport à l'énoncé, et pas seulement par rapport aux équations :

    Réponse

    Il y a 13 pièces de dix centimes et 8 pièces de vingt centimes. La vérification de la dernière étape est celle qui compte : 21 pièces, d'une valeur de 2,90 €, ce qui correspond à ce que disait l'énoncé, et non une simple paire de nombres qui satisfait les équations écrites par quelqu'un.

· Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.