Grille du produit en croix

Placez les quatre nombres dans un carré, tracez la croix et entourez celui que vous cherchez. Ce qui reste vous dit quoi multiplier et par quoi diviser.

Exemple résolu — Grille du produit en croix

Lu sur la grille	250 × 20 ÷ 100
Résultat	50

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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On ne retient pas lesquels multiplier : on regarde 🖖

C'est tout l'argument en faveur de cette méthode, et il n'est pas mathématique. Il y a ici quatre questions — trouver la partie, le tout, le pourcentage, la valeur nouvelle — et apprises comme des formules, ce sont quatre choses à ne pas confondre sous pression. Apprises comme ce carré, elles n'en font qu'une : entourez le nombre cherché ; les deux qui ne lui sont pas reliés par la croix se multiplient, et celui qui l'est divise. Cela ne change jamais, quel que soit le coin entouré. Un dessin qu'on peut refaire au dos d'un ticket de caisse vaut mieux qu'une formule qu'il faut se rappeler exactement, et c'est pourquoi ceux qui l'ont appris ainsi s'en servent encore des décennies plus tard.

Le carré, ce sont deux triangles semblables 🖖

Un bâton de 2 m projette une ombre de 3 m ; l’arbre à côté en projette 18. Même soleil, même angle, donc les deux triangles ont la même forme — et dans des triangles équiangles les côtés sont proportionnels, c’est Euclide, Éléments VI.4. Les quatre nombres dans le carré : l’arbre fait 2 × 18 ÷ 3 = 12 m, mesuré sans quitter le sol. C’est aussi la limite honnête de la méthode. Elle vaut exactement quand une grandeur est un multiple fixe d’une autre, car c’est alors que les deux triangles existent. Rien de tel ne se cache derrière le T² ∝ a³ de Kepler, et aucune disposition d’une grille 2×2 n’en tirera une période orbitale.

Pendant mille ans, l’arithmétique s’arrêtait là 🖖

Brahmagupta a consigné la règle en 628, et non sous forme d’équation : aucune inconnue n’y figure. Il nomme trois grandeurs, pramāṇa, phala et icchā, en observant que deux d’entre elles sont de même nature et la troisième non. C’est la contrainte que le carré impose en plaçant le semblable sous le semblable. La même formulation reste reconnaissable des siècles plus tard dans les sources arabes puis dans les livres d’abaque italiens — l’arithmétique marchande du Liber abaci de Fibonacci (1202) et des écoles de calcul qui l’ont suivi. Et elle est restée la fin du programme, pas son début : invité en décembre 1859 à décrire sa propre scolarité, Abraham Lincoln écrivit qu’il savait « lire, écrire et calculer jusqu’à la règle de trois ; mais c’était tout ».

La hausse nécessaire pour revenir n'est pas la baisse subie 🖖

Une baisse de 20 % n'est pas annulée par une hausse de 20 %, et la différence n'est pas une erreur d'arrondi : c'est une courbe qui monte et devient verticale. Pour une baisse de 50 %, il faut un gain de 100 % pour récupérer ; pour 80 % de baisse, il faut 400 % ; pour 90 % de baisse, 900 %. La perte évolue linéairement, mais l'effort de recouvrement s'envole vers l'infini.

Problèmes entièrement résolus

Ce que coûtent 7 pommes lorsque 3 coûtent 2,4 5 étapes
3 pommes coûtent 2,4. Calculez ce que coûtent 7 pommes — puis déterminez ce qu'il a fallu supposer pour le faire.
1. Les deux lignes du tableau décrivent le même taux, et c'est là toute l'affirmation faite. La ligne du haut est la paire fournie, 3 à côté de 2,4 ; la ligne du bas est la paire recherchée, 7 à côté de l'inconnue. Ainsi, la fraction 3/2,4 et la fraction 7/D sont le même nombre.
  
  $\frac{3}{2.4} = \frac{7}{D}$
2. Les fractions sont peu pratiques à manipuler, il convient donc de les éliminer. Multipliez les deux membres à la fois par 2,4 et par D, et chaque dénominateur s'annule de son côté. Ce qui subsiste, c'est le produit en croix : les deux diagonales du tableau se multiplient pour donner la même chose.
  
  $\frac{3}{2.4} = \frac{7}{D} \times 2.4 D ⟹ 3 \times D = 2.4 \times 7$
3. Désormais, l'inconnue est libérée de sa fraction. Elle se retrouve multipliée par le nombre qui lui est diagonalement opposé, et les deux nombres dont elle a besoin sont ceux situés sur la diagonale qui ne la touche pas.
  
  $D = \frac{2.4 \times 7}{3}$
4. 2,4 × 7 = 16,8, et 16,8 ÷ 3 = 5,6.
  
  $D = \frac{16.8}{3} = 5.6$
5. Faites-le également une fois par la méthode longue, car cela montre ce qu'est réellement la règle du produit en croix. 2,4 ÷ 3 = 0,8 est le prix d'une pomme, et 7 × 0,8 = 5,6. Le produit en croix est simplement le taux unitaire avec la division reportée à la fin, c'est pourquoi il fonctionne également lorsque le taux unitaire est un nombre ingrat.
  
  $\frac{2.4}{3} = 0.8 ⟹ 7 \times 0.8 = 5.6$
Réponse

Le tableau affiche 5,6. L'arithmétique est la partie facile ; ce sur quoi elle repose ne l'est pas. Le produit en croix suppose que le coût soit un multiple fixe de la quantité — que le taux soit le même pour 3 que pour 7, et que 0 pomme coûte 0. Fixez le prix de ces mêmes pommes à 0,6 pour le sachet plus 0,6 par unité, et 3 pommes coûtent toujours exactement 2,4, de sorte que la donnée du problème semble inchangée ; pourtant, 7 pommes coûtent désormais 4,8 et le tableau donne un résultat trop élevé de 0,8. Une seule vérification permet de le déceler : doublez une quantité et vérifiez si l'autre côté double. Les frais fixes sont partout — des frais de livraison, un abonnement, un tarif minimum — et chacun d'eux invalide le tableau tout en laissant l'énoncé du problème totalement inchangé.

$c = 0.8 n ⟹ c (7) = 5.6; c = 0.6 + 0.6 n ⟹ c (3) = 2.4, c (7) = 4.8$
Une hausse de 20 % et une baisse de 20 % appliquées à 200 5 étapes
200 augmente de 20 %, puis diminue de 20 %. La hausse s'écrit 120 pour 100, de sorte qu'elle aboutit à 200 × 120 ÷ 100 = 240. Déterminez le résultat après la baisse, et expliquez pourquoi la réponse n'est pas 200.
1. La ligne du bas est la variation écrite sous forme de rapport par rapport à 100, et c'est là que la case est souvent mal remplie. Une baisse de 20 % s'écrit 80 pour 100, et non 20, car ce qui reste représente 80 % de la valeur initiale. Placez 20 dans cette case et le tableau renvoie 48, ce qui correspond au montant de la réduction et non au nouveau prix.
  
  $100 - 20 = 80 ⟹ \frac{A}{240} = \frac{80}{100}$
2. Avec 80 à sa place, le produit en croix s'effectue exactement comme pour les pommes : la nouvelle valeur multipliée par 100 est égale à 240 multiplié par 80.
  
  $A \times 100 = 240 \times 80 = 19200$
3. Divisez par 100 : 192, soit 8 de moins que le nombre de départ.
  
  $A = \frac{19200}{100} = 192, 200 - 192 = 8$
4. La raison en est que les deux pourcentages sont mesurés par rapport à des montants différents. La hausse a ajouté 40, soit 20 % de 200. La baisse a retiré 48, soit 20 % de 240. Pourcentages égaux, montants inégaux — et la soustraction devait nécessairement l'emporter, puisqu'elle portait sur le nombre le plus grand.
  
  $240 - 200 = 40 = 0.20 \times 200, 240 - 192 = 48 = 0.20 \times 240$
5. Sous forme de facteurs multiplicatifs, cela tient en une ligne, et cette ligne explique davantage que le tableau. 1,2 × 0,8 = 0,96, et comme l'ordre des facteurs n'importe pas dans une multiplication, baisser d'abord puis augmenter ensuite aboutit également à 192.
  
  $\frac{120}{100} \times \frac{80}{100} = 1.2 \times 0.8 = 0.96, 200 \times 0.96 = 192$
Réponse

Le tableau affiche 192. Derrière cela se trouve un résultat d'algèbre qui vaut la peine d'être mémorisé : (1 + p)(1 − p) = 1 − p², de sorte qu'une hausse et une baisse d'égal pourcentage vous laissent toujours avec un déficit de p² par rapport à la valeur initiale, quel que soit l'ordre dans lequel elles interviennent. Ici, p = 0,2, la perte est de 0,04 × 200 = 8, ce qui est suffisamment petit pour ressembler à un arrondi. Pour p = 0,5, le même aller-retour coûte 25 % du total. La baisse qui annule véritablement une hausse de 20 % n'est pas du tout de 20 % — annuler signifie diviser par 1,2, et 1 ÷ 1,2 = 0,8333, soit une baisse de 16,67 %. Il s'agit du même tableau avec l'inconnue déplacée dans la case initiale : 240 × 100 ÷ 120 = 200.

$(1 + p) (1 - p) = 1 - p^{2}; \frac{1}{1.2} = 0.8333 ⟹ - 16.67%$

Parcours

Un nombre pour plusieurs : statistiques résumées

Mène à Moyenne pondérée l'asymétrie des variations d'un pourcentage : une baisse de 50 % exige une hausse de +100 % pour récupérer.

Références (5)

Why the square works: Euclid, Elements, Book VI, Proposition 4 — "In equiangular triangles the sides about the equal angles are proportional." David E. Joyce's edition, Clark University.
Brahmagupta and the transmission: Jens Høyrup, "Sanskrit-Prakrit Interaction in Elementary Mathematics as Reflected in Arabic and Italian Formulations of the Rule of Three — And Something More on the Rule Elsewhere", in Selected Essays on Pre- and Early Modern Mathematical Practice. Springer, 2019, pp. 131–156.
The date of the Brāhmasphuṭasiddhānta: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, "Brahmagupta", MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.
Merchant arithmetic in Latin Europe: Laurence Sigler (trans.), Fibonacci's Liber Abaci: Leonardo Pisano's Book of Calculation. Springer, 2002. ISBN 978-0-387-40737-1.
The Lincoln quotation: Abraham Lincoln, autobiography written for Jesse W. Fell, 20 December 1859 — "I could read, write, and cipher to the Rule of Three; but that was all."

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-11

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Exemples de problèmes

7 pommes - 3 pommes coûtent 2,4 — combien coûtent 7 ? Entourez D et la grille vous donne 7 × 2,4 ÷ 3 = 5,6.
20% de 250 - 20% de 250. Entourez A et lisez : 250 × 20 ÷ 100 = 50. Le 100 dans le coin est le tout dont 20 est une part.
Une hausse de 20% - 200 augmente de 20%. La variation devient 120 contre 100, et A vaut 200 × 120 ÷ 100 = 240.
À rebours - Un prix vaut 240 après une hausse de 20% — combien valait-il avant ? Entourez B : 240 × 100 ÷ 120 = 200. Retirer 20% de 240 donne 192, qui répond à une autre question.
Puis −20% - Faites maintenant baisser ces 240 de 20% : 240 × 80 ÷ 100 = 192. Une hausse de 20% suivie d'une baisse de 20% vous laisse à 192, et non de retour aux 200 du départ.
Récupération d'une baisse de 50 % - Un prix de 200 baisse de 50 % à 100. Revenir à 200 nécessite une hausse de 100 % (+100,0 %), pas 50 % — le double du pourcentage perdu.