Laboratoire de Moyenne Pondérée

Douze personnes à 45 000 obtiennent une augmentation de 6 %. Quarante-huit personnes à 72 000 en obtiennent 2 %. Quelle a été l'augmentation moyenne ? Il existe deux réponses défendables et une seule erronée, et c'est généralement la fausse que l'on cite.

1. Il est tentant de simplement faire la moyenne des deux taux. Cela donne à un service de douze personnes le même poids qu'à un service de quarante-huit, ce qui est précisément l'erreur que l'outil ci-dessus cherche à démontrer. Notez-le tout de même, car ce chiffre de 4 % est celui qui finira dans l'annonce officielle.

   $$\frac{6\%+2\%}{2}=4.00\%$$

2. Pondérez plutôt par les effectifs, et chaque personne ne compte plus qu'une fois. C'est la réponse honnête à la question « qu'a obtenu l'employé moyen », et l'on tombe déjà à plus d'un point en dessous du chiffre annoncé.

   $$\frac{12(6\%)+48(2\%)}{12+48}=\frac{72+96}{60}=2.80\%$$

3. Cependant, l'argent ne se distribue pas par tête. Le deuxième service est quatre fois plus grand et chacun de ses membres gagne davantage, de sorte qu'il capte 86 % de la masse salariale. Calculez ce que chaque groupe coûte réellement avant l'augmentation.

   $$12\times 45,000=540,00048\times 72,000=3,456,000$$

4. Pondérez par la masse salariale et vous obtenez le chiffre tel que le budget le ressent : le pourcentage d'augmentation réelle de la facture des salaires. Ce résultat est encore plus bas, car la hausse la plus généreuse s'est appliquée à la plus petite part.

   $$\frac{540,000(6\%)+3,456,000(2\%)}{3,996,000}=\frac{32,400+69,120}{3,996,000}=2.54\%$$

5. Les deux réponses sont justes. Elles répondent à des questions différentes, et celle qu'il vous faut dépend de ce que vous êtes en train de compter : des personnes ou de l'argent. La trésorerie reste identique dans les deux cas, et elle se moque bien de la moyenne que l'on décide de citer.

   $$32,400+69,120=101,520$$

6. Passons maintenant à ce que l'outil ne peut pas vous montrer. Les moyennes pondérées ci-dessus supposent toutes que ce sont les mêmes personnes qui sont présentes avant et après. Prenez vingt employés : dix à 30 000 et dix à 60 000, soit une moyenne de 45 000.

   $$10\times 30,000+10\times 60,000=900,000\Rightarrow \bar{x}=45,000$$

7. Licenciez les dix moins bien payés, et réduisez de 10 % le salaire de tous ceux qui restent. La moyenne passe à 54 000. Elle a bondi d'un cinquième alors même que chaque personne encore employée a perdu un dixième de son salaire, et que dix autres ont tout perdu. Aucune erreur de pondération n'a été commise ; c'est l'ensemble de référence lui-même qui a changé sous la moyenne. Voilà pourquoi l'affirmation « le salaire moyen a augmenté » doit toujours être lue en gardant à l'esprit qui était encore comptabilisé.

   $$10\times (60,000\times 0.9)=540,000\Rightarrow \bar{x}=54,000(+20\%)$$