Équations du premier degré

Touchez un terme pour l'éliminer des deux membres et observez l'équation se transformer. La bande inférieure indique les solutions de l'équation dans sa forme actuelle. Toute opération mathématique autorisée laissera ces solutions intactes.

Exemple résolu — Équations du premier degré

Solution	3
Vérifié avec l'original	13 ✓
Opérations effectuées	0
Solutions de l'équation actuelle	3

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Équations du premier degré388 mots

Toute équation linéaire à une inconnue, quelle que soit son écriture, peut être ramenée par des opérations autorisées à la forme unique ax = b, où a et b sont des nombres connus. Le comportement de l'équation dépend ensuite intégralement de ces deux valeurs.

Ce que signifie chaque symbole

a: le coefficient de l'inconnue une fois tous les termes en x rassemblés du même côté. C'est le nombre qui décide laquelle des trois issues ci-dessous vous concerne.
b: la constante, soit tout ce qui reste de l'autre côté. Elle n'a d'importance que lorsque a vaut 0.
x: l'inconnue. Elle figure à la première puissance et n'apparaît jamais à l'intérieur d'une fonction ; c'est ce que signifie « linéaire » ici.

D’où vient la formule

Regroupez : déplacez chaque terme contenant x d'un côté, et chaque terme sans x de l'autre. Les deux actions sont des additions, donc toujours réversibles.
Vous obtenez alors ax = b. Si a ≠ 0, divisez par ce nombre, et il existe exactement une solution, x = b/a.
Si a = 0, l'inconnue disparaît. Ce qui reste est une affirmation portant uniquement sur des nombres : fausse lorsque b ≠ 0, vraie lorsque b = 0. Le couple (a, b) suffit ainsi à définir dans laquelle des trois issues vous vous trouvez, avant même de commencer la moindre résolution.

Suppose: Que a et b sont exacts. Lorsqu'ils proviennent de mesures plutôt que de l'énoncé, un coefficient proche de zéro agit comme un avertissement et non comme une simple valeur : x = b/a implique une division par ce nombre, de sorte qu'une petite incertitude sur a devient une grande incertitude sur x. Vous retrouverez cette même difficulté à l'étape 5 avec deux inconnues, où le déterminant joue le rôle tenu ici par a.
Ne tient plus quand: Nulle part, et c'est là l'essentiel. Une inconnue n'admet aucun quatrième cas : une solution, aucune, ou toutes. Celle que vous obtenez se décide en observant a et b avant de résoudre quoi que ce soit. Cette exhaustivité incarne, pour le cas à une inconnue, la condition de rang qui gouverne tout système linéaire quel que soit son nombre d'inconnues, et les étapes 5 et 6 de ce parcours reprennent cette même trichotomie avec davantage de lettres.

Deux de ces quatre boutons font la même chose 🖖

Soustraire 7 aux deux membres revient à leur ajouter −7, et diviser par 2 consiste à multiplier par un demi. Le panneau propose quatre boutons car notre esprit fonctionne ainsi. Fondamentalement, il n'existe que deux opérations : ajouter une valeur, ou multiplier par une valeur. Celles-ci se comportent différemment. L'addition est toujours sans risque, quoi que vous ajoutiez. La multiplication est sûre pour tous les nombres sauf un, et cette exception n'est pas un simple détail technique. Appuyez sur × avec une valeur de 0 et observez ce qui arrive à une équation qui possédait une solution parfaite un instant plus tôt.

Multiplier par zéro est l'opération qui n'est pas réversible 🖖

Prenez x = 3 et multipliez les deux membres par 0. Vous obtenez 0 = 0, ce qui est exact. Ce constat reste vrai pour x = 5, x = −1 et tous les autres nombres. L'équation a donc totalement cessé de renseigner sur x. Toute autre manipulation peut être annulée. Ajoutez 7, soustrayez 7, et vous revenez à votre point de départ. Cette réversibilité est la véritable justification du précepte consistant à « faire la même chose des deux côtés ». La règle fondamentale n'est pas que les deux membres doivent correspondre. Elle exige que l'opération soit réversible, et la multiplication par zéro est l'unique opération arithmétique qui ne l'est pas.

Une équation sans solution apporte aussi une information 🖖

Cliquez sur Aucun x ne convient. Soustrayez 2x des deux membres de 2x + 5 = 2x + 9. Les x disparaissent pour laisser 5 = 9. Aucune erreur n'a été commise. L'équation est simplement fausse et aucune valeur de x ne la vérifiera. Cliquez sur Tout x convient pour observer le même phénomène avec une conclusion différente. On obtient 5 = 5, ce qui est toujours vrai. Ces deux cas se présentent lorsque les termes en x s'annulent. Ce sont alors les constantes qui dictent le résultat final. Ainsi, « résoudre l'équation » possède trois issues possibles, et non une seule. Un outil qui se contenterait d'afficher un nombre occulterait les deux tiers des situations.

Problèmes entièrement résolus

Taxis facturant 4 plus 3 par mile et 10 plus 1 7 étapes
Un taxi facture 4 de prise en charge et 3 par mile. Un autre demande 10 au départ et 1 par mile. À quelle distance coûtent-ils le même prix, et que fait l'algèbre si vous vous trompez légèrement dans l'énoncé ?
1. Écrivez les deux tarifs comme des expressions de la même inconnue. L'inconnue doit représenter la même grandeur dans les deux cas. C'est ici que la plupart des problèmes concrets échouent, avant même toute démarche algébrique.
  
  $4 + 3 x 10 + 1 x$
2. Poser leur égalité constitue toute l'étape de modélisation. La suite n'est que mécanique.
  
  $4 + 3 x = 10 + x$
3. Regroupez les termes en x. Soustraire x des deux côtés est une opération licite et réversible, les solutions restent donc intactes.
  
  $4 + 2 x = 10$
4. Rassemblez les constantes, puis divisez par ce qu'il reste devant x. Trois miles, et les deux tarifs s'élèvent à 13.
  
  $2 x = 6 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow 4 + 9 = 13 = 10 + 3$
5. Faites maintenant exprès de vous tromper. Supposons que la deuxième entreprise facture elle aussi 3 par mile. Les termes en x s'annulent et il vous reste 4 = 10, ce qui est faux. Il n'existe donc aucune distance à laquelle ils s'accordent, car l'un est tout simplement toujours plus cher de 6.
  
  $4 + 3 x = 10 + 3 x \Rightarrow 4 = 10 \Rightarrow \emptyset$
6. Et si cette deuxième compagnie facturait 3 par mile avec la même prise en charge de 4, cette même annulation laisserait 4 = 4. C'est vrai pour toute distance. Les deux tarifs sont le même tarif écrit deux fois.
  
  $4 + 3 x = 4 + 3 x \Rightarrow 4 = 4 \Rightarrow x \in R$
7. C'est ici que l'algèbre s'arrête et que votre jugement intervient. Ces trois résultats sont des réponses correctes à un problème bien posé, et l'outil vous les affichera fidèlement. Ce qu'il ne peut pas vous dire, c'est qu'une solution négative signifie que le croisement s'est produit avant le trajet. Ou que vous ne pouvez peut-être pas acheter une fraction de mile. L'équation ne sait pas ce que représente x.
  
  $x = - 2 \Rightarrow x \in / [0, \infty)$
Réponse

Trois miles, pour un tarif de 13 chacun. Modifiez un coefficient et la même algèbre renverra plutôt « aucune distance » ou « toutes les distances ». Ce sont bien des réponses, et non des échecs.
x des deux côtés : 5x − 2 = 3x + 8 5 étapes
Résolvez 5x − 2 = 3x + 8. Il y a un x de chaque côté. Rien n'est lisible tant qu'ils ne sont pas regroupés au même endroit.
1. Rassemblez d'abord les termes en x. Retirer 3x à droite oblige à retirer 3x à gauche. L'équation affirme toujours la même chose au sujet de x.
  
  $5 x - 2 = 3 x + 8 - 3 x$
2. Le membre de gauche est désormais 2x − 2. Ajoutez 2 des deux côtés pour isoler le terme en x.
  
  $2 x - 2 = 8 + 2$
3. Deux x valent 10, donc un seul x vaut 5.
  
  $2 x = 10 \div 2 ⟹ x = 5$
4. Vérifiez ce résultat dans l'équation de départ, et non dans celle d'arrivée. Les deux membres valent 23, la valeur x = 5 satisfait donc l'équation initiale.
  
  $5 (5) - 2 = 23, 3 (5) + 8 = 23$
5. Il n'était pas obligatoire de regrouper à gauche. Retranchez plutôt 5x des deux côtés. Vous obtenez −2 = −2x + 8, ce qui donne un aspect différent mais mène au même x = 5. Vous pouvez regrouper du côté que vous préférez. La réponse finale reste unique.
  
  $5 x - 2 = 3 x + 8 - 5 x ⟹ - 2 = - 2 x + 8 ⟹ 2 x = 10$
Réponse

x = 5, et les deux membres valent 23. Regrouper les termes en x de l'autre côté n'est qu'un chemin d'apparence différente vers le même nombre.
Quand la réponse est négative : 4x + 9 = x − 6 5 étapes
Résolvez 4x + 9 = x − 6. Il n'y a rien d'inhabituel ici jusqu'à la dernière ligne, où le résultat tombe en dessous de zéro.
1. Soustrayez x des deux côtés pour rassembler les termes en x à gauche.
  
  $4 x + 9 = x - 6 - x$
2. Retranchez 9 des deux côtés pour éliminer la constante.
  
  $3 x + 9 = - 6 - 9$
3. Trois x valent −15, donc un seul x vaut −5. Un signe moins dans la réponse ne signifie pas qu'une erreur a été commise.
  
  $3 x = - 15 \div 3 ⟹ x = - 5$
4. Vérifiez dans l'équation d'origine. Le membre de gauche donne −20 + 9 = −11, et celui de droite −5 − 6 = −11. Ils correspondent, donc −5 est bien la solution.
  
  $4 (- 5) + 9 = - 20 + 9 = - 11, (- 5) - 6 = - 11$
5. La pertinence de la réponse −5 dépend de la nature de x. S'il s'agit d'une température, c'est un banal mardi d'hiver. S'il s'agit d'un nombre de billets, cela n'a aucun sens. L'équation ne fait pas la distinction et ne vous avertira pas.
  
  $x = - 5 \Rightarrow 5 tickets short of none$
Réponse

x = −5, avec les deux membres égaux à −11. Une solution négative répond à l'équation. Savoir si elle répond au problème initial relève de votre propre jugement.
Quand la réponse n'est pas un nombre entier : 6x + 1 = 2x + 4 5 étapes
Résolvez 6x + 1 = 2x + 4. Appliquez les trois mêmes étapes que précédemment. Cette fois, elles n'aboutissent pas à un nombre entier.
1. Retranchez 2x des deux côtés.
  
  $6 x + 1 = 2 x + 4 - 2 x$
2. Retranchez 1 des deux côtés.
  
  $4 x + 1 = 4 - 1$
3. Quatre x font 3. Un seul x équivaut donc à 3 divisé par 4, ce qui donne exactement 0,75.
  
  $4 x = 3 \div 4 ⟹ x = \frac{3}{4} = 0.75$
4. Vérifiez dans l'équation de départ : 6 × 0,75 + 1 = 5,5, et 2 × 0,75 + 4 = 5,5.
  
  $6 (0.75) + 1 = 5.5, 2 (0.75) + 4 = 5.5$
5. Trois quarts correspond à un nombre décimal exact. Ce n'est pas le cas de deux tiers. Résolvez 3x + 1 = 3 et la réponse est 2⁄3, qu'aucun développement décimal ne termine jamais. La fraction est la véritable réponse, et 0,6667 n'en est qu'une valeur arrondie.
  
  $3 x + 1 = 3 ⟹ x = \frac{2}{3} = 0.6667 \dots$
Réponse

x = 0,75, soit trois quarts, avec les deux membres égaux à 5,5. Les fractions sont des réponses tout à fait normales. Lorsqu'une fraction n'a pas d'écriture décimale exacte, elle seule constitue la réponse juste.
Parenthèses, deux méthodes : 3(x + 4) = 24 4 étapes
Résolvez 3(x + 4) = 24. Deux chemins valides existent, et ils ne demandent pas le même effort.
1. L'expression indique trois fois le contenu de la parenthèse (x + 4). Divisez d'abord les deux côtés par 3 pour faire disparaître cette parenthèse. Vous obtenez x + 4 = 8, d'où x = 4.
  
  $3 (x + 4) = 24 \div 3 ⟹ x + 4 = 8 ⟹ x = 4$
2. Vous pouvez aussi développer en premier. Trois fois (x + 4) donne 3x + 12. Soustrayez ensuite 12 des deux côtés puis divisez par 3. Vous retrouvez le même x = 4.
  
  $3 (x + 4) = 3 x + 12 = 24 - 12 ⟹ 3 x = 12 ⟹ x = 4$
3. Vérifiez dans l'équation d'origine : 3 × 4 + 12 = 24. L'outil accepte les équations sous la forme ax + b = cx + d, il attend donc la ligne développée.
  
  $3 (4) + 12 = 24$
4. La première méthode n'était plus rapide que parce que 24 est exactement divisible par 3. Remplacez le 24 par un 25, et le même parcours vous livre x + 4 = 25⁄3. C'est toujours juste, mais c'est désormais l'approche la plus laborieuse.
  
  $3 (x + 4) = 25 ⟹ x + 4 = \frac{25}{3} ⟹ x = \frac{13}{3}$
Réponse

x = 4 par les deux chemins. Les deux sont valides, choisissez donc en observant les nombres plutôt qu'en appliquant une règle aveugle.
Deux forfaits téléphoniques qui ne coûtent jamais la même chose 4 étapes
Le forfait A coûte £8 par mois plus £2 par gigaoctet. Le forfait B s'élève à £12 par mois plus £2 par gigaoctet. À combien de gigaoctets coûtent-ils la même chose ?
1. Écrivez chaque prix en désignant par x les gigaoctets consommés, puis posez l'égalité. C'est exactement ce que signifie « coûtent la même chose ».
  
  $A : 2 x + 8 B : 2 x + 12$
2. Les deux membres comportent 2x. Retranchez donc 2x de chaque côté.
  
  $2 x + 8 = 2 x + 12 - 2 x$
3. La variable x a disparu et il reste 8 = 12, ce qui est faux. Aucune valeur de x ne peut rendre cette affirmation vraie. Les deux forfaits ne coûtent donc jamais le même prix.
  
  $8 = 12 — false, for every x$
4. La véritable réponse est celle sur laquelle l'équation a buté. Le forfait B coûte £4 de plus que le A, quelle que soit la valeur de x. Les tarifs ne se croisent pas car ils augmentent au même rythme, et leur écart de £4 reste figé.
  
  $(2 x + 12) - (2 x + 8) = 4 at every x$
Réponse

Aucun x ne fonctionne. Des tarifs au gigaoctet identiques couplés à des frais fixes différents impliquent un écart constant. Ici, il est de £4 pour n'importe quelle consommation.
La même offre, écrite deux fois 4 étapes
Une boutique facture 2(x + 3). Une autre demande 2x + 6. Laquelle est la moins chère, et pour quel nombre de livres ?
1. Développez la première expression. Deux fois (x + 3) donne 2x + 6, ce qui correspond exactement au tarif de l'autre boutique.
  
  $2 (x + 3) = 2 x + 6$
2. Poser leur égalité puis retirer 2x des deux côtés laisse 6 = 6. C'est vrai, et ce l'est sans même connaître la valeur de x.
  
  $2 x + 6 = 2 x + 6 - 2 x ⟹ 6 = 6$
3. N'importe quel nombre fonctionne donc. Essayez avec 0, 1, 7 ou −100. Les deux membres s'accordent à chaque fois.
  
  $x = 0, 1, 7, - 100 all true$
4. Cela mérite d'être souligné : la différence entre ces deux prix n'est pas minime, elle est exactement de zéro pour tout x. Les deux boutiques ont simplement écrit le même prix de deux manières différentes.
  
  $2 (x + 3) - (2 x + 6) = 0 identically$
Réponse

Tout x fonctionne, aucune n'est donc jamais la moins chère. Quand les deux membres masquent une expression identique, « résoudre pour x » est la mauvaise question. La vraie question est : « ces offres sont-elles réellement différentes ? ».
Âges : l'algèbre est facile, la mise en équation ne l'est pas 5 étapes
Ben est trois fois plus âgé que Mia. Dans huit ans, il aura le double de son âge. Quel est leur âge actuel ?
1. Appelez x l'âge actuel de Mia. Celui de Ben est alors 3x. Dans huit ans, Mia aura x + 8 et Ben aura 3x + 8.
  
  $Mia = x, Ben = 3 x$
2. « Le double de son âge » signifie le double de l'âge qu'elle aura à ce moment-là, et non le double de son âge actuel. Cette seule nuance de lecture résume toute la difficulté du problème. Vous obtenez 3x + 8 = 2(x + 8), ce qui se développe en 3x + 8 = 2x + 16.
  
  $3 x + 8 = 2 (x + 8) = 2 x + 16$
3. Retranchez 2x des deux côtés puis 8, ce qui donne x = 8. Mia a 8 ans et Ben en a 24.
  
  $3 x + 8 = 2 x + 16 - 2 x ⟹ x + 8 = 16 ⟹ x = 8$
4. Vérifiez l'énoncé, pas seulement le calcul algébrique. Dans huit ans, Mia aura 16 ans et Ben en aura 32. Le nombre 32 est bien le double de 16.
  
  $Mia 8 \to 16, Ben 24 \to 32, 32 = 2 \times 16$
5. Lisez la phrase dans l'autre sens, en comprenant le double de son âge actuel. Vous obtenez alors 3x + 8 = 2x, d'où x = −8. L'algèbre obéit tout autant. La réponse désigne simplement une fille qui naîtra dans huit ans.
  
  $3 x + 8 = 2 x ⟹ x = - 8$
Réponse

Mia a 8 ans et Ben en a 24 ; dans huit ans, ils en auront 16 et 32. Trois manipulations algébriques suffisent. C'est pourtant une seule ligne de lecture qui donne tout son sens au résultat.

Parcours

Trouver x, à partir du signe moins

Mène à Inéquations la liste des manipulations permises.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-26

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Exemples de problèmes

x dans chaque membre - 3x + 4 = x + 10. Soustrayez x puis soustrayez 4. Divisez par 2 et l'on obtient x = 3. Vérifiez ensuite avec l'équation de départ : les deux membres valent 13.
Solution négative - 2x + 9 = 5x. La solution ici est x = 3. Modifiez la valeur de d pour la rendre négative et le calcul fonctionne parfaitement. Une solution négative reste une solution, ce n'est pas une erreur.
Tout x convient - 2x + 5 = 2x + 5. Les deux membres sont constitués de la même expression. N'importe quel x vérifie donc l'égalité. Il n'y a rien à résoudre et se demander « x = » n'est pas la bonne question.
Aucun x ne convient - 2x + 5 = 2x + 9. En soustrayant 2x, il reste 5 = 9. Aucune valeur de x ne sauvera cette égalité. L'équation n'est pas difficile. Elle est tout simplement fausse.