Nombres relatifs

Choisissez deux nombres et une opération, puis regardez les déplacements se former sur la droite. Rien ici n'est une règle à admettre sans preuve.

Exemple résolu — Nombres relatifs

Symétries par rapport à zéro	0
Distance qui les sépare	8
Ordre, puis son opposé	5 > -3 → -5 < 3
est le même mouvement que	5 + 3

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Nombres relatifs348 mots

Un nombre négatif est l'opposé d'un nombre positif : −a est l'unique valeur qui, ajoutée à a, donne 0. Cette seule phrase, combinée aux règles habituelles de l'arithmétique, engendre toutes les autres propriétés des nombres négatifs. En voici la démonstration.

Ce que signifie chaque symbole

a: Un nombre quelconque, positif ou négatif. La définition s'applique sans distinction. C'est pourquoi −(−3) = 3 n'exige aucune règle supplémentaire.
−a: L'opposé de a. Ce n'est pas simplement « a avec un signe moins devant ». C'est la réponse à la question : que devez-vous ajouter à a pour obtenir zéro ?
0: L'élément neutre de l'addition. C'est le pivot de tout l'argumentaire. Il s'agit du seul nombre qui laisse tous les autres inchangés lors d'une addition.

D’où vient la formule

Admettons que la distributivité, a(b + c) = ab + ac, s'applique aussi bien aux nombres négatifs qu'aux positifs. L'hypothèse repose entièrement là-dessus. Il s'agit d'un choix. Vous exigez ici que l'extension de la droite numérique respecte les règles auxquelles obéissent déjà les nombres positifs.
Appliquez cette propriété à (−1)(1 + (−1)). L'intérieur des parenthèses vaut 0. Or, tout nombre multiplié par 0 donne 0. L'expression globale vaut donc 0.
Développez maintenant la même expression autrement : (−1)(1) + (−1)(−1), ce qui donne −1 + (−1)(−1).
Les deux approches doivent aboutir au même résultat. On obtient donc −1 + (−1)(−1) = 0. Il n'existe qu'un seul nombre qui, ajouté à −1, donne 0, et c'est +1. Personne n'a décidé cela. C'est l'unique valeur permettant de conserver la distributivité.

Suppose: Que l'arithmétique des nombres négatifs doit obéir à la même distributivité que celle des positifs. Renoncez à ce principe, et vous êtes libre de poser que (−1)(−1) = −1. Mais dans ce cas, (−3)((−3) + 1) vaut (−3)(−2) = −6, tandis que (−3)(−3) + (−3)(1) vaut −9 + (−3) = −12. Les deux manières de lire une même expression ne concordent plus. C'est le prix à payer. Voilà pourquoi la règle des signes n'est pas une simple convention.

La soustraction n'est pas une opération distincte 🖖

Tapez 5 − (−3). L'outil réécrit l'opération sous la forme 5 + (3) avant le moindre mouvement. C'est la définition même de la soustraction : a − b équivaut à a + (−b), quels que soient a et b. Les nombres négatifs n'en font nullement un cas particulier. Lorsque b est négatif, seule la direction de la flèche s'inverse. La flèche en elle-même ne change pas. L'expression « deux moins font un plus » s'impose donc naturellement quand on pose la soustraction pour constater que l'opposé de −3 est 3. Modifiez le second nombre à votre guise, en positif comme en négatif. L'expression reformulée au-dessus de la droite numérique ne cesse jamais d'être vraie.

Multiplier par un négatif retourne la droite 🖖

Saisissez (−3) × (−4) et observez trois mouvements distincts : un étirement jusqu'à 12, un retournement autour de zéro vers −12, puis un second retournement pour revenir sur 12. Chaque facteur négatif produit très exactement un retournement, dont l'affichage tient le compte pour vous. Deux retournements ramènent tout point de la droite à sa position de départ, d'où l'obtention d'un résultat positif. Ceci indique aussi ce qu'est un nombre négatif : une direction. La multiplication par −1 ne rétrécit rien du tout. Elle retourne l'axe entier. Appuyez maintenant sur ÷ en gardant ces deux nombres. Le compteur de retournements ne bouge pas. Diviser par −4 revient à multiplier par −¼, et ce −¼ porte le même et unique signe négatif. La règle des signes enseignée à deux reprises n'est en fait qu'une seule règle.

L'opposé inverse l'ordre, et c'est tout le secret des inégalités 🖖

Lisez la ligne de l'inégalité : −5 < −3. Prenez l'opposé de chaque terme pour obtenir 5 > 3. La relation s'est inversée. C'est inévitable, car prendre l'opposé correspond au retournement décrit plus haut. Retourner la droite intervertit la gauche et la droite. Toute paire de nombres distincts subit le même effet. Testez-en deux de votre choix. C'est ce mécanisme qui force une inégalité à changer de sens lorsque ses deux membres sont multipliés par une valeur négative. Beaucoup découvrent cette propriété des années plus tard comme une exception inexpliquée. C'est pourtant la même symétrie, appliquée à une comparaison plutôt qu'à un point.

Problèmes entièrement résolus

La hausse de température d'un congélateur se réchauffant de −18 °C à −4 °C 7 étapes
La température d'un congélateur est de −18 °C. Elle remonte à −4 °C. De combien de degrés a-t-elle augmenté, et quelles sont les deux façons de se tromper ?
1. La plupart des gens trouvent 14. Ils ont raison. Il est donc intéressant de voir à quoi ressemblent les fausses pistes. Écrivez la variation comme une soustraction ordinaire : la nouvelle valeur moins l'ancienne.
  
  $(- 4) - (- 18)$
2. Soustraire −18 signifie ajouter son opposé. Le calcul est donc −4 + 18.
  
  $(- 4) + 18 = 14$
3. Quatorze degrés. La fausse piste habituelle mène à 22. Elle vient de l'addition des valeurs absolues, comme s'il s'agissait de deux distances à partir de zéro : 18 + 4. La droite rend cette erreur difficile à faire. Vous voyez clairement que −18 et −4 sont du même côté du zéro.
  
  $18 + 4 = 22$
4. L'autre erreur courante est −22. Elle survient quand on lit les deux signes comme des instructions d'aller vers la gauche. C'est confondre le signe du nombre avec l'opération. Il est important de les séparer explicitement.
  
  $- (18 + 4) = - 22$
5. Passons à la même question dans l'autre sens. Refroidir de −4 pour revenir à −18 représente une variation de −14. La distance, elle, reste de 14. La distance et la variation sont des grandeurs différentes. Une seule des deux porte un signe.
  
  $(- 18) - (- 4) = - 14, ∣ - 18 - (- 4) ∣ = 14$
6. Cela a son importance dès qu'on multiplie les nombres. Doubler une variation de température de −14 donne −28. C'est un seul retournement, et la température chute davantage. La réduire de moitié donne −7. C'est toujours un seul retournement : le signe négatif appartient à la variation, pas au multiplicateur.
  
  $2 \times (- 14) = - 28$
7. C'est ici que l'outil ne suffit plus. −18 °C doublés ne font pas −36 °C au sens physique. Le zéro Celsius est une convention et non une absence de chaleur. Multiplier une température par un nombre n'a aucun sens. Multiplier une variation de température est parfaitement correct. L'arithmétique ne vous dira pas laquelle des deux vous manipulez.
  
  $2 \times (- 18^{\circ} C) \neq = - 36^{\circ} C$
Réponse

Une hausse de 14 °C. Par écrit, −4 − (−18) = −4 + 18 = 14. Chaque étape reproduit le mouvement tracé par l'outil. Les deux erreurs habituelles, 22 et −22, viennent de la même confusion : celle entre le signe du nombre et le sens de l'opération.
De −3 à 5, et les deux nombres situés à 8 6 étapes
Un plongeur est à 3 m sous la surface, une mouette à 5 m au-dessus. Calculez la distance qui les sépare, puis décidez si cette distance seule suffirait à remettre la mouette en place.
1. Le réflexe dont il faut d'abord se défaire est de soustraire les grandeurs. Cinq et trois, donc deux.
  
  $∣5∣ - ∣ - 3∣ = 5 - 3 = 2$
2. Passons à la soustraction elle-même. La variation vaut −8, c'est la fiche du résultat, et la distance en est la valeur absolue, 8.
  
  $(- 3) - 5 = (- 3) + (- 5) = - 8, (- 3) - 5 = 8$
3. Huit, parce que le trajet franchit le zéro : les deux profondeurs s'ajoutent au lieu de se compenser. Chaque fois que les nombres se trouvent de part et d'autre du zéro, la distance est la somme de leurs valeurs absolues.
  
  $x < 0 < y ⟹ ∣ x - y ∣ = ∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 3 + 5 = 8$
4. Du même côté, elles se retranchent. Un congélateur qui se réchauffe de −18 à −4 parcourt 14, soit 18 − 4. Une seule règle à deux visages, et ce qui décide du visage que vous obtenez, c'est de savoir si le zéro se trouve entre les deux nombres.
  
  $x, y < 0 ⟹ ∣ x - y ∣ = ∣ x ∣ - ∣ y ∣ : - 18 - (- 4) = 18 - 4 = 14$
5. Lisez maintenant la fiche de la distance à l'envers. Elle indique 8, et 8 est tout ce qu'elle indique. Deux nombres se tiennent à 8 de −3, et l'équation qui les trouve a deux solutions, parce que prendre la valeur absolue a jeté un signe.
  
  $x - (- 3) = 8 ⟹ x + 3 = \pm 8 ⟹ x = 5, - 11$
6. Les deux réponses encadrent toujours le point depuis lequel on a mesuré : leur moyenne est exactement ce point. Toute paire de nombres a une distance, et toute distance a deux nombres derrière elle.
  
  $\frac{5 + ( - 11 )}{2} = - 3$
Réponse

8 m. Le plongeur et la mouette sont de part et d'autre du zéro, leurs profondeurs s'ajoutent donc au lieu de se compenser. Lisez ce même 8 à l'envers et il ne désigne pas la mouette : −11 se tient exactement aussi loin de −3 que 5, et la fiche de la distance ne peut pas les distinguer, puisque le signe en est sorti quand on a pris la valeur absolue.

$∣ x - a ∣ = d ⟹ x = a \pm d (d > 0)$

Parcours

Trouver x, à partir du signe moins

Mène à Équations du premier degré le fait que soustraire revient à ajouter l'opposé.

Références (1)

A Fields Medallist on why the rule that looks like a convention is not one, and why it took so long to accept: D. Mumford, "What's so Baffling About Negative Numbers? — a Cross-Cultural Comparison." In Studies in the History of Indian Mathematics, Hindustan Book Agency, 2010, pp. 113–143.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-25

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Exemples de problèmes

5 − (−3) - Soustraire −3 fait avancer de 3 vers la droite pour aboutir à 8. Il n'y a là aucune règle miraculeuse. Soustraire une valeur exige d'ajouter son opposé, et l'opposé de −3 est 3.
(−3) × (−4) - Deux nombres négatifs provoquent deux basculements. On étire la droite jusqu'à 12. Elle pivote sur −12, puis revient sur 12. Une double symétrie replace chaque point à sa position de départ. C'est l'essence même du fameux « moins par moins fait plus ».
Franchir le zéro - La distance de −3 à 5 vaut 8, et non 2. Soustraire les valeurs absolues constitue l'erreur la plus répandue avec les nombres relatifs. La droite numérique rend cette erreur difficile à commettre.
Inversion de l'ordre - −5 est inférieur à −3. Pourtant, 5 est supérieur à 3. Le passage à l'opposé inverse l'ordre. Voilà exactement pourquoi une inégalité change de sens lorsqu'on multiplie ses deux membres par un nombre négatif.