Systèmes d'équations

Modifiez un coefficient quelconque et observez les deux droites bouger. La solution correspond à leur point d'intersection, et le déterminant ci-dessous vous indique, avant toute résolution, s'il existe un seul et unique croisement.

Exemple résolu — Systèmes d'équations

Solution	2
Déterminant	-3
Angle entre les droites	71,565°
Sensibilité de la solution	1,41 par unité de a₁

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Systèmes d'équations267 mots

Deux équations linéaires à deux inconnues décrivent deux droites, et les résoudre consiste à trouver leur point d'intersection. La précision avec laquelle ce point est déterminé est une question indépendante de son existence, et elle possède son propre nombre.

Ce que signifie chaque symbole

Δ: le déterminant a₁b₂ − a₂b₁. Zéro indique des droites parallèles ; une valeur non nulle signifie exactement une intersection.
κ: le nombre de conditionnement. Il mesure de combien la réponse peut se déplacer pour une fluctuation donnée des coefficients, et contrairement à Δ, il ne change pas si vous multipliez une équation par dix.

Suppose: Que les coefficients sont exacts. Lorsqu'ils proviennent de mesures, le point d'intersection hérite de leur incertitude et la multiplie.
Ne tient plus quand: Le déterminant vous indique si une réponse existe. Il ne vous dit pas à quel point vous pouvez lui faire confiance, et il en est incapable, car multiplier une équation par 10 multiplie Δ par 10 sans rien changer à la géométrie. Le nombre de conditionnement accomplit ce que Δ ne peut pas faire. Pour le préréglage Presque parallèles de cette page, il vaut 312, et sa signification équivaut à un blanc-seing : une erreur relative de 0,1 % n'importe où dans les quatre coefficients peut se traduire par environ 31 % d'erreur sur le point d'intersection. C'est une limite que personne n'accepterait pour un pont, et elle est invisible dans le déterminant, dans l'algèbre et dans la réponse elle-même. L'étape suivante retrouve cette même quantité avec davantage de lignes, où elle décide s'il vaut seulement la peine d'effectuer les calculs.

Un seul nombre détermine s'il existe un point d'intersection unique 🖖

Avant toute résolution, calculez a₁b₂ − a₂b₁. S'il n'est pas nul, les droites se coupent exactement une fois et il n'y a qu'une seule solution. S'il vaut zéro, elles sont parallèles. Seules les constantes permettent alors de déterminer si cela signifie aucune solution ou bien tous les points de la droite. Essayez les trois préréglages et observez le déterminant : −3, puis 0, et encore 0 avec un verdict différent. C'est ce même déterminant qui régit les outils matriciels présentés plus loin sur le site. Il s'agit de la même question visant à vérifier si deux directions sont véritablement distinctes, posée ici dans le cas le plus élémentaire qui soit.

Un petit déterminant n'est pas un petit problème 🖖

Cliquez sur Presque parallèles. Le déterminant est de −0,02. Il existe donc une intersection, et l'algèbre la trouve sans se plaindre : (−146, 300). Observez maintenant l'indicateur de sensibilité. Modifier a₁ de 0,01 déplace cette intersection d'environ 108, ce qui donne un taux de 10 767 par unité. L'arithmétique n'est pas en cause. Le problème est que la solution dépend des coefficients bien plus que ces derniers ne le méritent. S'ils proviennent de mesures, la réponse ne signifie presque plus rien. Deux droites qui se coupent sous un angle très faible ont un point d'intersection parfaitement défini et parfaitement inutile. Aucune étape de la résolution ne le laisse deviner. Seul le déterminant en est capable.

L'élimination se résume à une règle appliquée deux fois 🖖

Les étapes détaillées sous le graphique n'ont rien d'inédit. Multiplier toute une équation par un nombre conserve l'ensemble des solutions, puisqu'il suffit de diviser pour revenir en arrière. Soustraire une équation d'une autre préserve aussi chaque solution. Tout couple de valeurs satisfaisant les deux équations satisfera naturellement leur différence. La méthode tient tout entière dans ces deux principes. L'astuce qui donne l'impression d'une vraie technique consiste à bien choisir les multiplicateurs pour qu'une inconnue s'annule. Mais ce choix relève de l'arithmétique plutôt que de l'intuition. En multipliant la première ligne par b₂ et la seconde par b₁, les termes en y deviennent identiques par construction. Répéter ces deux mouvements avec trois inconnues donne l'élimination de Gauss. Avec n inconnues, c'est le procédé exact qu'utilisent encore aujourd'hui tous les solveurs linéaires au monde.

Problèmes entièrement résolus

Deux cafés et un gâteau coûtant 8 quand le café coûte 1 de plus 7 étapes
Deux cafés et un gâteau coûtent 8. Un café moins un gâteau vaut 1 (le café coûte 1 de plus que le gâteau). Quel est le prix de chacun, et dans quelle mesure feriez-vous confiance à la réponse si les prix avaient été lus sur un reçu flou ?
1. Traduisez ces deux faits avec les mêmes deux inconnues. Poser correctement ces deux équations constitue la modélisation ; tout le reste est mécanique.
  
  $2 x + y = 8, x - y = 1$
2. Vérifiez le déterminant avant de résoudre. Il n'est pas égal à zéro, il y a donc exactement une solution et elle vaut la peine d'être cherchée.
  
  $D = (2) (- 1) - (1) (1) = - 3 \neq = 0$
3. Éliminez y. Multipliez la deuxième équation par 1 et additionnez, ou bien multipliez la première par −1 et soustrayez. Les termes en y sont conçus pour s'annuler.
  
  $(2 x + y) + (x - y) = 8 + 1 \Rightarrow 3 x = 9$
4. Trois pour le café. Remplacez dans l'une des équations pour obtenir le gâteau, et utilisez l'AUTRE équation pour vérifier. En effet, remplacer dans celle que vous venez d'utiliser ne prouve rien.
  
  $x = 3 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow 2 (3) + 2 = 8 ✓$
5. Revenons au reçu. Supposons que la deuxième équation ait été mal tapée et que le coefficient du gâteau passe de −1 à 0,49. Le déterminant chute de −3 à −0,02.
  
  $D = (2) (0.49) - (1) (1) = - 0.02$
6. La réponse est toujours unique, et elle s'est déplacée vers (−146, 300) : un café coûtant −146. L'algèbre ne s'en est jamais plainte. Elle n'en avait aucun moyen.
  
  $(x, y) = (- 146, 300)$
7. C'est là que l'on quitte le domaine de l'algèbre. Un prix négatif, c'est l'arithmétique qui vous dit que le modèle est erroné, et non le café. L'outil vous l'affichera volontiers, le déterminant vous aura discrètement prévenu avant, et rien dans la méthode ne sait que les prix ne peuvent pas être négatifs.
  
  $x < 0 \Rightarrow x \in / [0, \infty)$
Réponse

Café 3, gâteau 2. Le déterminant est de −3, d'où un seul croisement, et les deux équations d'origine sont vérifiées. Décalez un coefficient pour rendre les droites presque parallèles, et la même méthode renvoie −146 sans broncher. C'est pourquoi il est utile de lire le déterminant avant la réponse, et non après.
Deux droites parallèles, et à quel point elles frôlent une solution 6 étapes
2x + y = 8 et 4x + 2y = 10. Le déterminant vaut 0, ce qui ne dit pas lequel des deux verdicts à déterminant nul s'applique. Trouvez lequel c'est, puis décidez à quel point ce système frôle la résolubilité.
1. Le déterminant est nul, il n'y a donc pas de croisement unique. Il ne peut rien dire de plus : parallèles et distinctes, ou la même droite écrite deux fois, les deux donnent zéro.
  
  $D = (2) (2) - (4) (1) = 0$
2. Éliminez tout de même et la réponse arrive. Multipliez la première équation par 2 pour l'accorder à la seconde, soustrayez, et ce qui reste ne contient plus d'inconnue. Les étapes sous le graphique l'impriment sous la forme 0x + 0y = 6, et 0 n'est pas 6.
  
  $4 x + 2 y = 16, 4 x + 2 y = 10 ⟹ 0 x + 0 y = 6$
3. Les rapports disent la même chose sans le moindre calcul. Les deux premiers membres sont dans le rapport 1 : 2 et les deux constantes ne le sont pas, donc les droites partagent une direction et diffèrent par leur position.
  
  $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{1}{2} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}} = \frac{8}{10}$
4. De combien sont-elles écartées ? Divisez la seconde équation par 2 et les deux droites portent le même premier membre, si bien que l'écart est une différence de constantes divisée par la longueur du couple de coefficients.
  
  $2 x + y = 8, 2 x + y = 5 : d = \frac{∣8 - 5∣}{2 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{3}{5} = 1.342$
5. Ce qui soulève la question devant laquelle l'outil s'arrête. Si aucun point ne satisfait les deux, lequel en approche le plus ? Minimisez ensemble les deux résidus au carré. En écrivant u pour 2x + y, le second résidu vaut le double du premier pour tout u, il compte donc quatre fois plus lourd, et le minimum tombe en u = 5,6 plutôt qu'à mi-chemin en 6,5.
  
  $u = 2 x + y : u min (u - 8)^{2} + 4 (u - 5)^{2} ⟹ 10 u = 56 ⟹ u = 5.6$
6. C'est un avertissement sur les moindres carrés plutôt que sur ces deux droites. La réponse s'est déplacée parce que la seconde équation était écrite avec de plus grands nombres, non parce qu'elle constitue un meilleur témoignage. Normalisez chaque équation pour que son couple de coefficients ait une longueur de 1, et le point le plus proche se place exactement à mi-chemin, à 0,671 de chaque droite.
  
  $\frac{2 x + y}{5} = \frac{8}{5}, \frac{5}{5} ⟹ u = 6.5, \frac{1}{2} (1.342) = 0.671$
Réponse

Aucune solution, et les deux droites sont écartées de 1,342. Le déterminant dit que le croisement a disparu ; les constantes disent de laquelle des deux façons il a disparu. Le point qui approche le plus les deux dépend de la façon dont les équations se trouvent écrites : telles quelles, les moindres carrés tombent sur 2x + y = 5,6, et ce n'est qu'après normalisation des deux qu'ils se fixent à mi-chemin, en 6,5.

$d = \frac{∣ c _{1} - c _{2} ∣}{a ^{2} + b ^{2}} = \frac{3}{5} = 1.342$

Parcours

Trouver x, à partir du signe moins

Mène à Trois équations ou plus l'élimination, ainsi que le déterminant qui indique d'emblée si deux droites se coupent en un seul point, jamais, ou partout.

Références (1)

The paper that named the quantity, and worked out what it costs you: A. M. Turing, "Rounding-off Errors in Matrix Processes." The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics 1:1 (1948), 287–308.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-26

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Exemples de problèmes

Intersection unique - 2x + y = 8 et x − y = 1 se croisent en (3, 2). Le déterminant vaut −3, une valeur bien éloignée de zéro. Modifier un coefficient de 0,01 déplace l'intersection d'environ 1,4 par unité.
Parallèles (aucune sol.) - La deuxième équation est le double de la première, à l'exception de la constante. Le déterminant est 0, les droites ne se rencontrent jamais, et aucune manipulation algébrique ne trouvera un point qui n'existe pas.
La même droite deux fois - Maintenant, la constante est également doublée, la deuxième équation n'apporte donc rien de plus que la première. Même déterminant, mêmes droites parallèles, conclusion opposée : chaque point de la droite est une solution.
Presque parallèles - Un déterminant de −0,02 au lieu de 0. Il existe toujours un seul point de croisement, en (−146, 300). Modifier a₁ de 0,01 le déplace d'environ 108, soit un taux de 10 767 par unité. La réponse est mathématiquement correcte, mais totalement inutile.