Météo sur une grille

Une prévision est un champ sur une grille que l'on fait avancer au rythme d'une horloge. Opposez ces deux éléments, et un modèle dont la physique est parfaitement correcte vous renverra des nombres qu'aucune atmosphère ne pourrait contenir.

Exemple résolu — Météo sur une grille

Pas de la grille	1,000 km
Nombre de Courant	1,000
Distance parcourue par le vent en un pas	1,000 km
L'exécution va-t-elle tenir ?	oui
Le champ dépasse 10 fois son pic initial	il ne le fait jamais
Hauteur conservée par la forme	100,0 %
Erreur par rapport à la solution exacte	5,4 × 10⁻²²
Plus grande valeur observée	1,000

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Météo sur une grille

Un modèle de prévision représente l'atmosphère par des nombres sur une grille et les fait avancer par pas de temps. La chose la plus simple qu'il fasse est l'advection : le vent déplace un motif, ∂u/∂t + c ∂u/∂x = 0. Cette page résout cette équation sur un anneau de 160 km de circonférence. Le choix est important. L'advection possède une solution exacte : après un temps t, le champ n'est rien d'autre que le champ initial décalé de c·t. Chaque erreur signalée ici est donc mesurée par rapport à la vérité et non par rapport à une exécution plus fine. Le nombre de Courant ν = c·Δt/Δx représente le nombre de mailles franchies par le vent en un pas. La condition CFL ν ≤ 1 est la règle que les schémas explicites présentés ici respectent ou enfreignent. Courant, Friedrichs et Lewy l'ont publiée en 1928, dix-huit ans avant que quiconque n'exécute une prévision numérique.

Ce que signifie chaque symbole

c: la vitesse du vent, en m/s. Elle est constante ici. Dans un vrai modèle, elle fait partie de la solution et non d'un paramétrage
Δx: l'espacement de la grille, c'est-à-dire 160 km divisés par le nombre de mailles
Δt: le pas de temps, en secondes
ν: le nombre de Courant, c·Δt/Δx. Tout sur cette page dépend de sa position par rapport à 1
N: les mailles sur l'anneau, de 10 à 400

Suppose: Une équation, une dimension, une seule vitesse de vent, et un anneau sans bords. La solution exacte étant connue, l'erreur rapportée est uniquement celle du schéma. Le modèle suppose également un schéma explicite, où chaque nouvelle valeur est construite exclusivement à partir des anciennes. C'est sur cette hypothèse que repose véritablement la condition CFL. C'est aussi à celle-ci qu'un modèle réel échappe en partie.
Ne tient plus quand: Sur la majeure partie de ce que traite un centre de prévision. Un modèle réel véhicule plusieurs vitesses d'onde en même temps. La plus rapide est le son, à environ 340 m/s. Respecter la condition CFL pour des ondes sonores que personne ne cherche à prévoir imposerait un pas de temps trente fois plus petit que ce dont la météorologie a besoin. C'est pourquoi les modèles opérationnels sont semi-implicites et traitent ces ondes séparément. Le vent n'est pas non plus constant. La valeur de ν doit donc tenir bon face au vent le plus rapide de toute la grille, et non face à une moyenne. Un modèle à aire limitée a des frontières, et la façon de les gérer constitue un sujet de recherche à part entière. Un schéma implicite échappe totalement à la limite CFL, au prix de la résolution d'un système d'équations à chaque pas de temps plutôt que du simple balayage d'un tableau.

L'horloge est réglée par la grille, non par l'équation 🖖

Cliquez sur Exactement sur la limite, puis sur Grille plus fine, même horloge. Le vent, le pas de temps et l'équation restent identiques ; les mailles passent de 1 km à 667 m et rien d'autre ne change. La première simulation est exacte. La deuxième dépasse dix fois son pic initial au pas 44 pour atteindre 1,8 × 10³⁰. La troisième ligne du tableau vous montre que le vent parcourt 1,000 km en 1 pas de 100 s. Tant qu'une maille possède au moins cette largeur, l'air entrant provient d'un point situé entre elle-même et sa voisine en amont. La nouvelle valeur résulte donc d'une combinaison des deux, ce qui résume toute l'action du schéma décentré amont. Rétrécissez la maille en deçà de cette limite, et l'air entrant proviendra de plus loin que la voisine sollicitée par le schéma. Le poids affecté à la valeur propre de la maille, 1 − ν, devient négatif. Or, un poids négatif ne produit aucune moyenne. Il amplifie. L'inéquation ν = c·Δt/Δx ≤ 1 traduit exactement cette réalité en symboles. Affiner une grille perfectionne la physique mais met l'arithmétique en péril, un danger dont les équations ne disent absolument mot.

Franchir la ligne ne casse pas une prévision. Cela décide de sa casse. 🖖

Le deuxième panneau balaie le nombre de Courant et compte les pas jusqu'à ce que le champ soit multiplié par dix. À 1,05, cela prend 330 pas. À 1,2, cela en prend 93. À 2,0, il en faut 19. Juste au-delà de la ligne, à 1,01, l'opération prend 1 588 pas. C'est plus de pas que la somme des trois premières exécutions prédéfinies. Rien ne semble anormal lors de ces premiers pas, car la croissance est exponentielle. Et une croissance exponentielle reste invisible jusqu'au moment où elle ne l'est plus. Un prévisionniste qui lirait le résultat aurait déjà dépensé le temps de calcul. Le nombre de Courant se lit à partir de trois nombres avant même que l'exécution ne commence. C'est d'ailleurs ainsi qu'un centre opérationnel le lit.

Le réglage le plus précis se situe au bord de la rupture 🖖

Exactement à ν = 1, le schéma décentré amont n'est pas seulement précis, il est exact. L'erreur face à la solution réelle s'élève à 5,4 × 10⁻²² et la perturbation conserve 100,0 % de sa hauteur. Un nombre de Courant de 1 transforme en effet chaque pas en un décalage net de 1 maille, et l'advection n'a jamais été autre chose qu'un décalage. Toute valeur inférieure étale cette perturbation sur des mailles voisines que le vent n'avait pas encore atteintes. Au cours des mêmes 11,11 heures simulées sur la même grille de 1 km, ν = 0,99 en conserve 94,3 %, ν = 0,90 en conserve 66,7 %, ν = 0,50 en conserve 37,1 % et ν = 0,25 en conserve 31,0 %. S'éloigner de la limite par sécurité constitue la méthode la plus expéditive pour dissiper une perturbation météorologique. Le remède évident se révèle alors pire que le mal. Cliquez sur Le meilleur schéma et observez une méthode, dont l'erreur de troncature est d'un ordre de grandeur inférieure à celle du schéma amont, exploser au pas 39 à la moitié de la limite de Courant.

Problème entièrement résolu

Le modèle à 4 km prend 40 minutes. Que coûte celui à 500 m ? 7 étapes
Un modèle de prévision à 4 km couvre son domaine en 40 minutes de temps de calcul, et on vous demande ce que coûterait la même prévision à 500 m. Calculez-le avant de poursuivre votre lecture, et notez lequel des trois facteurs vous n'attendiez pas. Appuyez sur Exactement à la limite pour placer l'outil sur la ligne de 1 km du tableau.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Commencez par les mailles. Diviser l'espacement par deux double le nombre de mailles sur chaque côté. Un domaine de prévision possède deux dimensions horizontales, donc une division par deux correspond à quatre fois plus de mailles : 4 km donne 40 × 40 là où 2 km donne 80 × 80.
  
  $N_{2 km}^{2} / N_{4 km}^{2} = \frac{8 0 ^{2}}{4 0 ^{2}} = 4$
2. Voici maintenant le facteur qui surprend. Le pas de temps ne vous appartient pas. La condition CFL le lie à l'espacement. Diviser Δx par deux divise donc également par deux le Δt maximal autorisé. Avec un vent à 10 m/s et ν = 0,9, une grille de 4 km permet 360 s, et une grille de 2 km permet 180 s. Les pas nécessaires pour une journée simulée passent de 240 à 480.
  
  $Δ t \leq \frac{ν Δ x}{c} : \frac{0 . 9 \cdot 4000}{10} = 360 s ⟶ \frac{0 . 9 \cdot 2000}{10} = 180 s$
3. Multipliez-les. Quatre fois les mailles et deux fois les pas font huit fois plus de travail pour une division par deux de l'espacement : 384 000 mises à jour de mailles par jour à 4 km contre 3 072 000 à 2 km. La dernière colonne du tableau indique 8,00 sur chaque ligne, ce qui représente bien le facteur et non une simple estimation.
  
  $Δ x 8 km 4 km 2 km 1 km 500 m cells 2 0^{2} 4 0^{2} 8 0^{2} 16 0^{2} 32 0^{2} Δ t_{m a x} 720 s 360 s 180 s 90 s 45 s steps/day 120240480960 1, 920 updates/day 48, 000 384, 000 3, 072, 000 24, 576, 000 196, 608, 000 \times 8888 4 (cells) \cdot 2 (steps) = 8 per halving$
4. De 4 km à 500 m, il y a trois divisions par deux. Le facteur est donc 8³ = 512. Le tableau confirme cela de bout en bout : 384 000 mises à jour par jour à 4 km, et 196 608 000 à 500 m.
  
  $8^{3} = 512$
5. Les 40 minutes deviennent 40 × 512 = 20 480 minutes, soit quinze jours, pour une seule journée de météo. Cela explique pourquoi une grille de prévision a cette taille plutôt que d'être aussi fine qu'on le souhaiterait. Lorsqu'un centre achète deux fois plus de résolution, il achète en réalité une machine huit fois plus puissante.
  
  $40 min \cdot 512 = 20, 480 min = 14.2 days$
6. L'estimation est honnête quant à sa propre nature. Elle suppose que le travail par mise à jour de maille ne change pas. C'est à peu près vrai pour un terme d'advection, et cela devient de plus en plus généreux à mesure que la physique s'enrichit. Elle suppose également que ν reste à 0,9, ce qu'aucun modèle réel ne peut promettre. La valeur de ν doit tenir face au vent le plus rapide de la grille, et un courant-jet ne consulte pas le modélisateur.
7. Ce que la page ne dit pas : un centre confronté à cette arithmétique ne se contente pas d'en payer le prix. Une partie de ce facteur est récupérée grâce à un schéma semi-implicite. Ce dernier échappe à la condition CFL pour les ondes rapides au prix de la résolution d'un système à chaque pas. Une autre partie est économisée en concentrant la résolution uniquement là où elle est nécessaire, grâce à une grille imbriquée ou à résolution variable. Ces deux solutions existent, mais aucune n'est gratuite. Cette page ne calcule ni l'une ni l'autre.
Réponse

512 fois le travail, donc environ quinze jours pour un seul jour de prévision. Quatre fois les mailles et deux fois les pas de temps pour chaque division par deux de l'espacement. Avec trois divisions par deux, on obtient 8³ = 512. Le facteur auquel personne ne s'attend est le troisième : la condition de Courant consomme votre pas de temps à votre place.

$8^{3} = 51240 min \cdot 512 \approx 14 days$

Parcours

Comment s'élabore une prévision météorologique

Références (4)

The condition itself, published in 1928 — eighteen years before anyone integrated a forecast, and about hyperbolic equations rather than about weather: R. Courant, K. Friedrichs and H. Lewy, "Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik." Mathematische Annalen 100(1), 1928, pp. 32-74. DOI 10.1007/BF01448839
The first numerical forecast that worked, and the paper that had to choose a grid and a time step to make it work: J. G. Charney, R. Fjørtoft and J. von Neumann, "Numerical Integration of the Barotropic Vorticity Equation." Tellus 2(4), 1950, pp. 237-254. DOI 10.3402/tellusa.v2i4.8607
Richardson's 1922 attempt, which is where the subject starts and where the arithmetic first bit — his six-hour forecast of pressure change came out 145 hPa, against a real change of almost nothing: L. F. Richardson, Weather Prediction by Numerical Process. Cambridge University Press, 1922.
Where the stability analysis of these two schemes is done properly, including why a second-order centred difference is unconditionally unstable for pure advection: D. R. Durran, Numerical Methods for Fluid Dynamics: With Applications to Geophysics, 2nd edition. Springer, 2010.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.