Empilement cristallin : quelle est la compacité d'un métal ?

Choisissez un métal, ou saisissez une structure, un paramètre de maille et une masse molaire. La page détermine où les atomes se touchent, en déduit le rayon, puis calcule la fraction du cristal qu'ils occupent, le volume disponible pour chacun et la masse volumique qui en découle. Les atomes sont considérés comme des sphères dures. Deux des trois sections ci-dessous déconstruisent cette hypothèse.

Exemple résolu — Empilement cristallin : quelle est la compacité d'un métal ?

Atomes par maille	4
Plus proches voisins	12
Distance entre plus proches voisins	2,5562 Å
Rayon des sphères au contact	1,2781 Å
Volume de la maille	47,240 Å³
Compacité	74,05%
Volume propre à chaque atome	11,810 Å³
Masse volumique issue de la maille	8,935 g/cm³

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Empilement cristallin : quelle est la compacité d'un métal ?

Un cristal répète une même maille élémentaire. Le décompte de ses atomes tient compte du partage : un atome de sommet appartient à huit mailles, un atome de face à deux. La compacité correspond à la fraction de la maille occupée par les atomes, chaque atome étant une sphère qui touche juste ses plus proches voisins : φ = n · (4/3)πr³ / V, où le rayon r est la moitié de la distance entre plus proches voisins. Cette même maille livre la masse volumique, ρ = nM / (N_AV), puisqu'elle contient n atomes de masse connue.

Ce que signifie chaque symbole

a: le paramètre de maille : l'arête de la maille cubique, ou le côté de la base hexagonale, mesuré par diffraction des rayons X ou des neutrons
n: les atomes par maille, en comptant un atome de sommet pour ⅛ et un atome de face pour ½
r: le rayon des sphères au contact, soit la moitié de la plus courte distance entre deux centres d'atomes
φ: la compacité, la portion du volume de la maille située à l'intérieur des sphères

Suppose: Les atomes sont des sphères dures d'un seul rayon, au contact le long de la plus courte distance du réseau. Les paramètres de maille sont les valeurs à température ambiante de la compilation de Wyckoff de 1963, sauf pour le fer à 912 °C et le polonium à 283 K. Le cristal est parfait : aucun atome manquant, aucune impureté, un unique mélange isotopique, la masse atomique standard. Chaque masse volumique affichée par la page est la masse volumique théorique d'un tel cristal. Les pores et les lacunes d'un échantillon réel ne peuvent que la faire baisser.
Ne tient plus quand: Partout où l'atome ne se comporte pas comme une sphère dure. La page elle-même le montre par deux fois : le rayon du fer change de 2,52 % selon ses voisins, et le c/a du zinc indique que ses liaisons entre les couches diffèrent de celles au sein d'une couche. Pour les composés, dont les deux types d'ions possèdent deux rayons et s'empilent selon une règle différente. Enfin, à l'échelle de la partie par milliard, où les lacunes, les impuretés et le mélange isotopique doivent tous être mesurés, comme l'a accompli le projet Avogadro.

Les empilements cubique à faces centrées et hexagonal remplissent les mêmes 74,05 %, le maximum pour des sphères identiques 🖖

Disposez des sphères en une couche plane : chacune en touche six. La couche suivante vient se loger dans les creux. La troisième offre un choix : se placer directement au-dessus de la première, ABAB, ce qui donne l'empilement hexagonal compact, ou au-dessus des creux laissés libres par la deuxième, ABCABC, ce qui forme le cubique à faces centrées. Dans les deux cas, chaque sphère en touche douze, et celles-ci remplissent π/(3√2) = 74,05 % de l'espace. Cliquez sur Cuivre, puis passez la structure en hexagonale, que la page initialise au c/a idéal : vous retrouvez le même chiffre. Dès 1611, Kepler a deviné qu'aucun autre arrangement ne faisait mieux. La preuve de Thomas Hales, publiée en 2005, reposait en partie sur un ordinateur. Une version formelle, dont chaque étape a été vérifiée par une machine, a suivi en 2017. Le cubique centré paraît presque aussi serré, avec huit voisins et six autres seulement 15 % plus éloignés, mais ne remplit que 68,02 % de l'espace.

Le fer se densifie de 1 % lorsqu'il dépasse les 912 °C, alors que des sphères dures prévoiraient 8 % 🖖

Cliquez sur Fer sous 912 °C, puis sur Fer au-dessus de 912 °C. Le fer cubique centré présente un a = 2,9058 Å et attribue 12,268 Å³ à chaque atome. À la même température, le fer à faces centrées possède un a = 3,6487 Å et en donne 12,143. Cela représente 1,02 % d'espace en moins. Chauffer le fer au-delà de cette transition le rend donc plus dense, et un dilatomètre observe la barre raccourcir alors même que le four continue de monter en température. Des sphères de taille fixe auraient rétréci de 8,14 %, l'écart entre 68,02 % et 74,05 %. Ce n'est pas le cas, car l'atome n'a pas une seule taille fixe : tiré de chaque maille, le rayon du fer vaut 1,2583 Å dans la forme cubique centrée et 1,2900 Å dans la forme à faces centrées. Il est 2,52 % plus grand avec douze voisins qu'avec huit. Des mesures aux rayons X de 1955 indiquent le même saut, 1,04 %.

Le zinc est qualifié d'hexagonal compact, et pourtant il est moins dense que le fer 🖖

Les couches hexagonales ne sont compactes que si la hauteur de la maille équivaut à √(8/3) = 1,6330 fois sa largeur. Ainsi, les six voisins d'un atome situés dans la couche suivante sont aussi proches que les six de sa propre couche. Le magnésium s'en approche à 1,6235 et remplit 73,62 %. Cliquez sur Zinc : son c/a vaut 1,8563. Les couches s'éloignent. Les atomes de la couche suivante se situent à 2,9128 Å, contre 2,6648 Å au sein d'une même couche, soit 9,31 % plus loin. Avec des sphères qui se touchent dans la couche, le zinc remplit 65,14 %. C'est moins que les 68,02 % du fer cubique centré, une structure que personne ne qualifie de compacte. Le cadmium présente un comportement similaire à 64,12 %. Ce nom témoigne de l'ordre d'empilement, ABAB. La compacité de cet empilement est définie par c/a. La valeur du zinc montre que ses liaisons entre les couches ne sont pas identiques à ses liaisons internes, ce qu'une simple sphère ne peut exprimer.

Problème entièrement résolu

Compter le nombre d'Avogadro grâce à une sphère de silicium 4 étapes
En 2017, la Coordination Internationale Avogadro a présenté une sphère de 1 kg de silicium enrichi à 99,9985 % en silicium-28. Sa masse molaire atteignait 27,976942674 g/mol, son paramètre de maille 543,0996218 pm et sa masse volumique 2320,068748 kg/m³. Le silicium adopte la structure diamant. Combien trouve-t-on d'atomes dans une mole ?

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. La maille diamant contient huit atomes : huit sommets à ⅛, six faces à ½, et quatre à l'intérieur.
  
  $n = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} + 4 = 8$
2. Son volume vaut a³, avec a = 5,430996218×10⁻⁸ cm : on obtient 1,6019114×10⁻²² cm³.
  
  $a^{3} = (5.430996218 \times 1 0^{- 8} cm)^{3} = 1.6019114 \times 1 0^{- 22} c m^{3}$
3. Sa masse équivaut à la masse volumique multipliée par le volume, soit 2,320068748 g/cm³ × 1,6019114×10⁻²² cm³ = 3,7165447×10⁻²² g. Un atome pèse donc un huitième de ce résultat, 4,6456808×10⁻²³ g.
  
  $m_{cell} = ρ a^{3} = 2.320068748 \times 1.6019114 \times 1 0^{- 22} = 3.7165447 \times 1 0^{- 22} g m_{atom} = \frac{m _{cell}}{8} = 4.6456808 \times 1 0^{- 23} g$
4. Une mole de ces atomes pèse 27,976942674 g. Diviser par la masse d'un seul atome permet de les compter.
  
  $N_{A} = \frac{M}{m _{atom}} = \frac{8 M}{ρ a ^{3}} = \frac{27 . 976942674}{4 . 6456808 \times 1 0 ^{- 23}}$
Réponse

N_A = 6,022140516×10²³ par mole, le nombre même de l'article jusqu'aux dix chiffres qu'il donne pour cette sphère. La page exécute le même calcul dans le sens direct. Cliquez sur Silicium : les 5,4307 Å du silicium naturel, ses huit atomes et 28,085 g/mol donnent 2,329 g/cm³. Depuis 2019, la constante d'Avogadro est fixée par définition à 6,02214076×10²³. La mesure s'effectue aujourd'hui dans l'autre sens, d'un décompte d'atomes vers une masse. C'est l'une des deux méthodes les plus précises pour matérialiser le kilogramme.

$N_{A} = 6.022140516 \times 1 0^{23} mo l^{- 1}$

Références (3)

Every room-temperature lattice parameter on the page, entry by entry, from Wyckoff's compilation as the Crystallography Open Database transcribes it: R. W. G. Wyckoff, Crystal Structures, vol. 1, 2nd edition. Interscience, New York, 1963; entries 9008460-9008565 of the Crystallography Open Database (crystallography.net). Polonium: W. H. Beamer and C. R. Maxwell, J. Chem. Phys. 17, 1293 (1949), COD 1509138.
Iron's two lattice parameters at 912 °C, from neutron diffraction in the furnace: M. Onink, C. M. Brakman, F. D. Tichelaar, E. J. Mittemeijer, S. van der Zwaag, J. H. Root and N. B. Konyer, "The lattice parameters of austenite and ferrite in Fe-C alloys as functions of carbon concentration and temperature." Scripta Metallurgica et Materialia 29(8), 1993, pp. 1011-1016. DOI 10.1016/0956-716X(93)90169-S
The silicon-28 sphere of the worked problem, and the Avogadro constant it gave: G. Bartl, P. Becker, B. Beckhoff et al. (33 authors), "A new ²⁸Si single crystal: counting the atoms for the new kilogram definition." Metrologia 54(5), 2017, pp. 693-715. DOI 10.1088/1681-7575/aa7820

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.