La loi de Bragg et la diffraction des rayons X

Un cristal ne réfléchit pas les rayons X sur une plage continue d'angles. Il les réfléchit selon une poignée d'angles très précis et nulle part ailleurs, et ces angles constituent la mesure des espaces entre ses atomes.

Exemple résolu — La loi de Bragg et la diffraction des rayons X

Espacement des plans (111)	0,20871 nm
Angle de Bragg θ	21,677°
Position du détecteur, 2θ	43,354°
Trajet supplémentaire de l'onde	0,15418 nm
Ordres pour cet espacement	2
Réflexions du cristal entier	8

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — La loi de Bragg et la diffraction des rayons X

La loi de Bragg, nλ = 2d sin θ, est la condition pour qu'un cristal réfléchisse une onde. Les ondes qui rebondissent sur des plans d'atomes successifs parcourent des trajets qui diffèrent de 2d sin θ ; là où cette différence correspond à un nombre entier de longueurs d'onde, elles s'additionnent, et partout ailleurs, les contributions des millions de plans inférieurs arrivent avec toutes les phases possibles et s'annulent. L'angle constitue la mesure — d s'en déduit, ainsi que d'une longueur d'onde qui est connue.

Ce que signifie chaque symbole

λ: la longueur d'onde de l'onde incidente, connue car la source est une cible métallique spécifique
d: la distance perpendiculaire entre les plans d'atomes successifs, l'élément mesuré
θ: l'angle entre le faisceau incident et les PLANS, non la normale à ceux-ci ; le détecteur est placé à 2θ
n: l'ordre de réflexion ; sin θ ≤ 1 le limite à ⌊2d/λ⌋

Suppose: Que le cristal est parfait et infini, et que seule la géométrie décide de l'apparition d'un faisceau. Un vrai cristal s'étend sur quelques milliers de mailles, ce qui élargit chaque pic d'une pointe fine à une raie d'une largeur mesurable — et cette largeur est elle-même utilisée pour mesurer la taille de la cristallite.
Ne tient plus quand: Sur l'intensité. Cette page calcule l'EMPLACEMENT des pics à partir des seuls espacements et du centrage, et ne dit rien de la force de chacun. Cela dépend de quels atomes se trouvent où et avec quelle force chacun diffuse, et c'est tout le sujet du facteur de structure. La réflexion (111) du sel gemme en est un bon exemple : la géométrie la permet et la page la montre, mais le sodium et le chlore diffusent différemment et s'annulent en partie, de sorte que dans un diagramme réel, elle est faible plutôt qu'absente.

Lire une distance de 0,2 nanomètre sur un cadran 🖖

Les plans d'atomes dans le cuivre sont espacés de 0,20871 nm. Cela représente environ la largeur d'un atome, et aucun microscope de 1913 ni d'aujourd'hui ne permet de la résoudre directement.

Ce que vous pouvez faire, c'est projeter des rayons X sur le cristal et tourner le détecteur jusqu'à ce qu'un faisceau apparaisse. Pour le cuivre, il apparaît à 2θ = 43,354°. Les ondes qui se réfléchissent sur des plans successifs parcourent des distances différentes, le trajet supplémentaire est 2d sin θ, et un faisceau ne survit que là où ce trajet supplémentaire correspond à un nombre entier de longueurs d'onde. Ainsi, l'angle et la longueur d'onde vous donnent d, et la longueur d'onde est connue car la source est une cible en cuivre, comme cela a toujours été le cas.

Chaque structure protéique, chaque minéral et la forme de l'ADN ont été mesurés de cette manière. La quantité dans la réponse est une distance que personne n'a jamais vue.

Une onde ne peut mesurer un écart beaucoup plus petit qu'elle-même 🖖

Le sinus d'un angle est plafonné : sin θ ≤ 1, d'où nλ ≤ 2d. Une famille de plans espacés de d présente donc très exactement ⌊2d/λ⌋ ordres. Ce n'est pas une approximation, il n'y en a ni plus ni moins.

Le rayonnement du cuivre à 0,154184 nm face aux plans du cuivre espacés de 0,20871 nm donne 2. Le molybdène à 0,071073 nm en donne 5, et tout le diagramme se resserre vers les petits angles. Cliquez maintenant sur Avec de la lumière verte : 500 nm face à ce même cristal donne ⌊0,00083⌋. C'est-à-dire zéro, ce qui laisse le panneau de diffraction vide.

C'est l'unique raison pour laquelle la cristallographie aux rayons X utilise des rayons X. Ce n'est ni pour leur pouvoir pénétrant ni pour leur niveau d'énergie. C'est tout simplement parce que leur longueur d'onde correspond précisément à la taille de l'objet mesuré. Rien de plus long ne ferait l'affaire.

Le réseau est identifié par les réflexions manquantes 🖖

La géométrie affirme que chaque ensemble de plans (h k l) possède un espacement a/√(h²+k²+l²) et devrait se réfléchir quelque part. Ce n'est pas le cas.

Cliquez sur Une réflexion annulée. Les plans (100) du fer sont distants de 0,28665 nm et un faisceau devrait apparaître à 2θ = 31,203°. Le diagramme ne présente aucun pic à cet endroit. Le fer est centré, il y a donc un atome au milieu de chaque maille, et pour (100), cet atome se trouve exactement à mi-chemin entre les plans — sa réflexion arrive avec une demi-longueur d'onde de décalage et annule très exactement celle provenant des coins.

Les familles qui deviennent silencieuses ne dépendent que de la position des atomes supplémentaires. Le réseau cubique simple montre tout ; le réseau centré ne montre que h+k+l pair ; le réseau à faces centrées uniquement h, k et l tous pairs ou tous impairs. Vous pouvez ainsi distinguer un réseau d'un autre sans résoudre le moindre atome, en notant simplement les angles où rien ne s'est produit.

Problème entièrement résolu

Un diagramme de poudre et le cristal qui l'a produit 6 étapes
Un métal cubique inconnu est réduit en poudre et placé dans un diffractomètre fonctionnant avec le rayonnement Kα du cuivre, λ = 0,154184 nm. Les faisceaux sortent à 2θ = 44,710°, 65,079°, 82,412° et 99,048°, et nulle part ailleurs sous 100°. Trouvez le type de réseau et la taille de sa maille élémentaire.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Divisez chaque angle par deux pour obtenir θ, car 2θ est la position du détecteur et θ est l'angle dans la loi de Bragg : 22,355°, 32,540°, 41,206° et 49,524°.
  
  $θ = \frac{1}{2} (2 θ) : 22.35 5^{\circ}, 32.54 0^{\circ}, 41.20 6^{\circ}, 49.52 4^{\circ}$
2. La loi de Bragg avec n = 1 stipule que sin θ = λ/2d, et pour un cristal cubique d = a/√(h²+k²+l²). En les combinant, on obtient sin²θ = (λ²/4a²)(h²+k²+l²). Tout ce qui se trouve entre parenthèses est identique pour les quatre pics, de sorte que les quatre valeurs de sin²θ sont dans le même rapport que les quatre valeurs de h²+k²+l² — qui sont des nombres entiers.
  
  $sin θ = \frac{λ}{2 d}, d = \frac{a}{h ^{2} + k ^{2} + l ^{2}} ⟹ sin^{2} θ = \frac{λ ^{2}}{4 a ^{2}} (h^{2} + k^{2} + l^{2})$
3. Les quatre valeurs de sin²θ sont 0,144659, 0,289318, 0,433976 et 0,578635. Divisez chacune par la première : 1,0000, 2,0000, 3,0000, 4,0000. Ainsi h²+k²+l² prend les valeurs 1 : 2 : 3 : 4 sur les pics, ou un multiple commun de celles-ci.
  
  $sin^{2} θ = 0.144659, 0.289318, 0.433976, 0.578635 ⟹ 1 : 2 : 3 : 4$
4. Utilisez maintenant les silences. Un réseau cubique simple autorise tous les (h k l), ses sommes seraient donc 1, 2, 3, 4, 5, 6 — et un pic au rapport 5 existerait. Il n'y en a aucun. Un réseau à faces centrées n'autorise que les valeurs toutes paires ou toutes impaires, donnant les sommes 3, 4, 8, 11 et les rapports 1 : 1,333 : 2,667 : 3,667, ce qui ne correspond pas aux mesures. Un réseau centré n'autorise que h+k+l pair, donnant les sommes 2, 4, 6, 8 — soit les rapports 1 : 2 : 3 : 4, exactement le diagramme observé. Le métal est cubique centré, et le premier pic est (110).
  
  $P \to 1, 2, 3, 4, 5 \dots F \to 3, 4, 8, 11 (1 : 1.333 : 2.667) I \to 2, 4, 6, 8 (1 : 2 : 3 : 4)$
5. Le premier pic étant identifié comme (110), h²+k²+l² = 2, donc a = λ√2 / (2 sin θ₁) = 0,154184 × 1,41421 ÷ (2 × 0,380341) = 0,286650 nm.
  
  $a = \frac{λ 2}{2 sin θ _{1}} = \frac{0 . 154184 \cdot 1 . 41421}{2 \cdot 0 . 380341} = 0.286650 nm$
6. Vérifiez ce résultat avec l'outil plutôt qu'à la fin du manuel. Cliquez sur Fer, laissez la source sur Kα du cuivre, et la ligne Espacement affiche 0,20269 nm pour (110) avec le faisceau à 2θ = 44,710° — le premier angle mesuré. La ligne Réflexions indique 6, et le panneau du diagramme montre des pics exactement aux quatre angles de la question, ainsi que deux autres au-dessus de 100°.
  
  $d_{110} = \frac{a}{2} = 0.20269 nm, 2 θ = 44.71 0^{\circ}$
Réponse

Cubique centré avec a = 0,286650 nm, ce qui correspond au fer α. Ce qui a permis de conclure, ce ne sont pas les quatre angles en eux-mêmes mais leurs rapports, puis les absences : le pic qu'un réseau cubique simple aurait montré au rapport 5, et celui qu'un réseau à faces centrées aurait montré au rapport 1,333, manquent tous deux à l'appel. La structure a été lue à partir de ces absences.

$body-centred cubic, a = 0.286650 nm$

Références (3)

Father and son, the year they worked out that a crystal reflects X-rays only at particular angles and what those angles say: W. H. Bragg and W. L. Bragg, "The reflection of X-rays by crystals." Proceedings of the Royal Society of London A 88(605), 1913, pp. 428–438. DOI 10.1098/rspa.1913.0040
The paper the law is usually traced to, read to the Cambridge Philosophical Society at the age of 22: W. L. Bragg, "The Diffraction of Short Electromagnetic Waves by a Crystal." Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 17, 1913, pp. 43–57. Reprinted in X-ray and Neutron Diffraction, Pergamon, 1966, pp. 109–125.
The standard reference for powder patterns, systematic absences and reading a lattice off a set of angles: B. D. Cullity and S. R. Stock, Elements of X-Ray Diffraction, 3rd edition, Prentice Hall, 2001.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.