La Tache d'Arago

Cliquez sur Écran d'Arago de 2 mm. L'optique géométrique trace un cercle noir, le fantôme en pointillés. L'ombre calculée est sombre, à moins d'un cinquième du faisceau libre partout depuis la tache jusqu'aux neuf dixièmes de la distance vers le bord, et pourtant, au centre précis, elle indique 1,000 : aussi lumineuse que si le disque n'était pas là. Poisson a découvert ce résultat dans les intégrales du mémoire de Fresnel pour le prix de l'Académie de 1818 et l'a présenté comme une objection. Le rapport d'Arago, lu le 15 mars 1819, affirme que « l'observation a parfaitement confirmé le calcul », et Fresnel attribue à Arago le fait de l'avoir observée derrière un écran de 2 millimètres de diamètre. L'encart montre pourquoi cela se produit. Vu depuis le centre de l'écran, le plan du disque se divise en zones de Fresnel, des anneaux dont les bords se trouvent à √(nλz), la lumière de chacun arrivant avec une demi-onde de retard sur le précédent. Le disque bloque les 3,160 premières, et tout ce qui se trouve à l'extérieur s'additionne pour donner une lumière exactement aussi brillante que le faisceau libre, quelles que soient la taille ou la distance du disque, tant que la lumière se courbe sous de petits angles : le tableau ci-dessous parcourt des rayons de 0,5 à 5 mm à 5 cm et à 1 m, et l'intégrale numérique donne 1,0000 à chaque fois. Fresnel a ajouté que le résultat ne dépend pas de la longueur d'onde, la tache doit donc être blanche en lumière blanche. Cliquez sur Le même en lumière blanche : sa couleur diffère de celle du faisceau libre de Δu′v′ = 0,0000. Un trou se comporte différemment, comme Poisson l'a également remarqué : cliquez sur Cas de Poisson : un trou, qui est noir en son centre en lumière rouge et bleu en lumière blanche.

Cliquez sur Éclairé par le Soleil. Chaque point d'une source projette son propre motif, décalé latéralement de z fois son angle, et la page les additionne tous. Avec une source de la taille du Soleil, d'un rayon de 4,65 mrad, le centre chute de 1,000 à 0,018. La tache est une petite image de la source, d'environ 0,383 λz/a de rayon pour un point unique, et une source dont le rayon angulaire approche 0,383 λ/a l'efface : derrière le disque de 2 mm, la tache ne conserve la moitié de son intensité que si le rayon de la source reste inférieur à 0,169 mrad, soit un trou d'épingle de 0,34 mm de large à un mètre, 27 fois plus petit que le Soleil. Maraldi, en 1723, a laissé entrer la lumière du soleil dans une pièce sombre par un petit trou et a suspendu une balle d'une ligne de diamètre, soit environ 2,3 mm, à 25 pieds de là, soit environ 8 m. Il a observé « au milieu une aire circulaire fort claire » dans son ombre, plus grande derrière des balles plus petites, comme l'indique 0,383 λz/a. Il a expliqué cela par la lumière contournant la balle. Le bord compte autant que la source. La lumière provenant du bord atteint le centre avec une phase πr²/λz, donc un bord irrégulier la brouille. L'ampleur du phénomène dépend de la répartition des erreurs ; pour des erreurs dispersées selon une courbe en cloche avec un écart-type σ, la tache diminue selon exp(−(2πaσ/λz)²), et pour l'écran d'Arago à un demi-mètre, elle est réduite de moitié à σ = 42 µm. Derrière un disque de 60 µm de diamètre, avec une rugosité d'environ 300 nm, un faisceau de molécules de deutérium a produit une tache d'environ un centième du faisceau libre.

Cliquez sur Réseau, foyer rouge. À elle seule, une zone de Fresnel envoie au centre deux fois l'amplitude du faisceau libre, et les zones voisines arrivent en opposition de phase, ce qui explique pourquoi le plan libre entier ne donne que la moitié de l'amplitude de la première zone seule. Bloquez les zones paires, et les impaires arrivent toutes en phase : dix zones ouvertes donnent (2 × 10)² = 400 fois le faisceau libre, et l'intégrale donne 399,999 à 0,3949 m. Les bords r_n = r₁√n sont gravés dans le réseau, ils ne correspondent donc exactement aux zones de Fresnel qu'à la distance f = r₁²/λ, qui est inversement proportionnelle à la longueur d'onde : 0,3846 m pour une lumière rouge de 650 nm et 0,5556 m pour une bleue de 450 nm, soit 1,44 fois plus loin. Une lentille en verre fait l'inverse et concentre le bleu plus près que le rouge. Le panneau inférieur présente des pics tout aussi hauts à f/3, f/5 et f/7, où chaque anneau ouvert contient trois, cinq ou sept zones de Fresnel et où les impaires dépassent toujours les paires en nombre. Réglez λ sur 450 sans déplacer l'écran, et le centre chute à 0,127. Le réseau de Fresnel est généralement attribué à J. L. Soret (1875) ; l'ouvrage Physical Optics de R. W. Wood reproduit l'entrée du carnet de Rayleigh du 11 avril 1871 qui en décrit un.