Traceur de Rayons à Lentille Mince

Ajustez la distance focale et la distance de l'objet pour voir comment une lentille mince forme des images réelles ou virtuelles.

Exemple résolu — Traceur de Rayons à Lentille Mince

Distance image	166.7 mm
Grandissement	-0.67×
Hauteur de l'image	26.7 mm

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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L'objet et l'image peuvent échanger leurs places 🖖

L'équation des lentilles minces 1/v = 1/f − 1/u est symétrique en u et v, et cet outil le montre. Chargez le préréglage convergent — f = 100 mm, objet à 250 mm — et la distance image affiche 166,7 mm avec −0,67×. Saisissez maintenant 166,7 dans le champ de la distance objet : l'image passe à 250 mm avec −1,50×. Le produit des deux grandissements vaut exactement 1. Toute lentille possède donc deux positions de l'objet qui donnent une image nette sur le même écran, l'une agrandissante et l'autre réductrice, et la distance qui les sépare fournit f sans jamais avoir à localiser le centre de la lentille : c'est la méthode classique de déplacement de Bessel.

Deux rayons suffisent 🖖

Une lentille mince dévie tous les rayons issus d'un point de l'objet pour qu'ils convergent de nouveau en un même point image, il suffit donc d'en suivre deux faciles. Le rayon parallèle quitte le sommet à l'horizontale puis passe par le foyer ; le rayon central traverse le centre optique sans être dévié. Là où les deux se croisent se trouve l'image. S'ils ne se rejoignent qu'en les prolongeant vers l'arrière, l'image est virtuelle — le cas de la loupe.

L'image qui file par l'infini 🖖

Rapprochez l'objet du foyer et regardez la distance image v filer vers +∞, disparaître, puis réapparaître à gauche en −∞ : une image virtuelle. Rien ne se téléporte ; la relation de conjugaison 1/v = 1/f − 1/u est une transformation de Möbius (homographique), et ces transformations traitent l'infini comme un point ordinaire. En franchissant u = f, l'image passe simplement en douceur par ce point à l'infini et bascule de réelle à virtuelle.

Problèmes entièrement résolus

Un objet de 40 mm à 250 mm devant une lentille convergente 5 étapes
Un objet de 40 mm se trouve à 250 mm devant une lentille convergente de distance focale 100 mm. Déterminez l'image — sa position, sa taille, son orientation — puis trouvez la seule chose que cette lentille ne peut pas faire.
1. Une seule équation régit toute la page. Exprimez la distance image avant d'injecter la moindre valeur numérique, afin de ne faire l'arithmétique qu'une seule fois.
  
  $\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}} ⟹ \frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d _{o}}$
2. Effectuez la substitution. Les deux inverses partagent un dénominateur de 250, ce qui constitue la totalité du calcul ; l'outil affiche cette valeur.
  
  $\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{100} - \frac{1}{250} = \frac{2.5 - 1}{250} = \frac{1.5}{250} ⟹ d_{i} = 166.7 mm$
3. Le grandissement est le rapport des deux distances, négatif car une image réelle est renversée. L'objet se trouvant au-delà de 2f, l'image devait être plus petite — c'est le principe du projecteur fonctionnant à l'envers.
  
  $m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{166.7}{250} = - 0.67, h^{'} = m h = - 0.67 \times 40 = - 26.7 mm$
4. La forme de Newton de cette même loi mesure les deux distances à partir des foyers plutôt qu'à partir de la lentille. Leur produit vaut exactement f², quelle que soit la position de l'objet, ce qui constitue une affirmation plus forte que ce que la forme avec les inverses semble pouvoir exprimer.
  
  $x = d_{o} - f = 150, x^{'} = d_{i} - f = 66.7, x x^{'} = 150 \times 66.7 = 10000 = f^{2}$
5. Demandez-vous maintenant quelle est la distance minimale possible entre l'objet et l'image. Minimiser leur séparation donne une disposition symétrique, et la réponse ne dépend de rien d'autre que de la lentille.
  
  $D = d_{o} + d_{i}, \frac{d D}{d d _{o}} = 0 \Rightarrow d_{o} = d_{i} = 2 f \Rightarrow D_{m i n} = 4 f = 400 mm (here 416.7)$
Réponse

L'image se forme à 166,7 mm derrière la lentille, renversée, d'une hauteur de 26,7 mm. La dernière ligne est la plus utile. L'objet et l'image sont ici séparés de 416,7 mm, et aucun réglage de la distance objet ne les rapproche jamais à moins de 4f = 400 mm : à mesure que l'on pousse l'objet vers le foyer, l'image s'éloigne plus vite que l'objet ne s'approche. Un projecteur qui doit projeter une image réelle sur un écran possède donc une distance de projection minimale stricte, fixée par sa seule distance focale — c'est pourquoi une pièce courte exige une lentille à courte focale, et non une lentille plus ingénieuse.

$d_{i} = 166.7 mm, m = - 0.67, h^{'} = 26.7 mm$
La loupe, et la raison pour laquelle son manche indique 5× 7 étapes
Placez une lentille de 50 mm à 30 mm au-dessus d'un coléoptère de 40 mm. Où se trouve l'image, dans quel sens, et de quelle taille ? Expliquez ensuite pourquoi l'outil affiche 2,50× pour une loupe dont le manche est estampillé 5×.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. La méthode reste identique. Vous reprenez l'équation du problème 1 pour l'appliquer à une lentille plus courte. La seule différence est la position de l'objet, désormais situé en deçà de la distance focale et non plus bien au-delà.
  
  $\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d _{o}} = \frac{1}{50} - \frac{1}{30} = \frac{3 - 5}{150} = - \frac{1}{75} ⟹ d_{i} = - 75.0 mm$
2. La distance de l'image est négative, ce qui répond entièrement à la question de sa position. Un signe négatif signifie que les rayons émergent de la lentille en divergeant toujours : ils ne se rencontrent donc jamais et aucun écran ne pourra rien intercepter. Prolongés vers l'arrière, ils semblent provenir d'un point situé à 75 mm du même côté que le coléoptère, là où votre œil perçoit l'image.
3. Le grandissement conserve son signe. Un m positif signifie que l'image est droite, le coléoptère apparaît donc dans le bon sens avec une taille de 100 mm, et l'outil qualifie l'image de virtuelle et droite.
  
  $m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{- 75.0}{30} = + 2.50, h^{'} = m h = 2.50 \times 40 = 100.0 mm$
4. Résolvez l'équation de façon littérale plutôt que pour un réglage spécifique : le comportement de chaque loupe découle d'une seule fraction. En deçà de la distance focale d'une lentille convergente, le grandissement est positif et supérieur à un. Ceci est valable à toute distance. Aucune exception à retenir.
  
  $m = \frac{f}{f - d _{o}} ⟹ d_{o} < f \Rightarrow m > 1 and m > 0 always$
5. Il est instructif de vérifier les deux cas extrêmes avec vos mains. Plaquez la lentille contre le coléoptère et le grandissement tend vers 1, ce que fait une lentille posée à plat sur une page. Élevez-la vers le foyer et le grandissement s'envole, tandis que l'image s'éloigne à l'infini et que votre œil la perd. C'est pourquoi le préréglage « Objet au foyer » affiche ∞ plutôt qu'un nombre.
  
  $d_{o} \to f^{-} : m \to + \infty, d_{o} \to 0 : m \to 1$
6. D'où vient alors le 5× ? Pas de ce calcul. Ce qu'apporte une loupe, c'est une taille angulaire et non linéaire : la dimension apparente du coléoptère comparée à celle obtenue en le tenant à la distance la plus courte où un œil au repos peut faire la mise au point, fixée par convention à 250 mm. Placez l'objet au foyer, laissez les rayons émerger parallèles, et la comparaison devient un rapport de deux angles.
  
  $M = \frac{h / f}{h / D} = \frac{D}{f} = \frac{250}{50} = 5 \times (D = 250 mm)$
7. Ramenez plutôt l'image sur ce punctum proximum de 250 mm, et la même lentille vous donne 6×. Les deux conventions ont cours. Voilà pourquoi une loupe 5× chez un fabricant et une 6× chez un autre peuvent correspondre au même morceau de verre. L'outil indique le grandissement linéaire à la distance que vous avez effectivement choisie, soit la valeur que donnerait une règle posée sur l'image. Ce que perçoit votre œil dépend de l'endroit où vous la tenez : ramenez l'image à ce punctum proximum et les deux s'accordent.
  
  $M_{d_{i} = - D} = 1 + \frac{D}{f} = 1 + 5 = 6 \times$
Réponse

À 75 mm de la lentille, du même côté que le coléoptère, droite, d'une taille de 100 mm, et virtuelle. La valeur de 2,50× affichée par la page et le 5× gravé sur le manche mesurent deux choses différentes : l'une est le rapport de la hauteur de l'image sur celle de l'objet à la position où vous tenez la lentille, l'autre un rapport d'angles apparents selon une convention d'observation fixe.

$d_{i} = - 75.0 mm, m = + 2.50, h^{'} = 100.0 mm (virtual, upright)$

Parcours

Déviation de la lumière

Références (2)

The thin-lens conjugate relation and the two-position focal-length method: Eugene Hecht, Optics, 5th edition, ch. 5. Pearson, 2017. ISBN 978-0-13-397722-6.
Gaussian optics and conjugate planes, in full: M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 7th (expanded) edition, ch. 4. Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-64222-4.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.