Réseau de diffraction

Réglez le nombre de traits par millimètre, la longueur d’onde, le nombre de traits éclairés et la distance de l’écran. La page calcule tous les ordres, leur position et leur finesse. Si vous ajoutez une seconde longueur d’onde, elle indique le premier ordre qui sépare les deux raies.

Exemple résolu — Réseau de diffraction

Pas du réseau	3,333 µm
Pas en longueurs d’onde	6,266
Ordres de chaque côté du centre	6
Angle du premier ordre	9,18°
Premier ordre sur l’écran	161,7 mm
Même position, aux petits angles	159,6 mm
Sous-estimation aux petits angles	1,28%
Premier ordre, du maximum au premier minimum	0,01544°

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Réseau de diffraction

Un réseau de diffraction est une surface portant un grand nombre de traits parallèles, espacés d’une distance d, qui transmettent ou réfléchissent la lumière. Pour une lumière diffractée sous un angle θ, les trajets issus de deux traits voisins diffèrent de d sin θ. Les ondes émises par tous les traits arrivent donc en phase, et donnent un maximum lumineux, uniquement lorsque d sin θ = mλ, où l’entier m est appelé ordre. Partout ailleurs, les contributions des N traits s’annulent presque complètement; le premier minimum sombre voisin de chaque maximum n’est distant que d’environ λ/(N d cos θ). Deux longueurs d’onde forment des raies distinctes lorsque le pouvoir de résolution R = mN atteint au moins λ/Δλ.

Ce que signifie chaque symbole

d: la distance entre deux traits voisins, égale à 1 mm divisé par le nombre de traits par millimètre
λ: la longueur d’onde de la lumière dans l’air, à la sortie du réseau
m: l’ordre, qui est un entier; m = 0 correspond au faisceau direct, et seuls les ordres vérifiant mλ < d existent
N: le nombre de traits réellement couverts par le faisceau, et non le nombre total gravé sur le réseau
R: le pouvoir de résolution, mN : le plus petit écart de longueur d’onde que l’ordre permet de distinguer est λ/R

Suppose: Une lumière monochromatique arrive en incidence normale. La source et l’écran sont assez éloignés pour que chaque trait émette des ondes sous le même angle. Les traits sont suffisamment étroits pour diffuser leur lumière dans tout le demi-espace, de sorte que tous les ordres ont la même intensité. Les N traits éclairés reçoivent tous la même intensité. À incidence normale, un réseau par réflexion, comme un disque, suit la même formule qu’un réseau par transmission.
Ne tient plus quand: Les traits réels ont une largeur a. La lumière issue d’un seul trait forme elle-même une figure de diffraction par une fente, qui atténue les ordres élevés et supprime tout ordre tombant sur l’un de ses zéros : avec a = d/2, tous les ordres pairs disparaissent. Si la lumière arrive sous un angle θᵢ, la relation devient d(sin θᵢ + sin θ) = mλ. Des longueurs d’onde allant jusqu’à 2d peuvent alors être diffractées en incidence rasante; c’est pourquoi un disque Blu-ray incliné par rapport à la lumière présente tout de même des couleurs. Enfin, un faisceau de largeur finie éclaire davantage les traits centraux que ceux des bords, ce qui atténue les lobes secondaires sans déplacer les ordres.

Deux fentes ou six cents, le premier ordre reste à 9,18° 🖖

Sélectionnez Deux fentes, vert, puis 300 traits/mm, N = 600. Le pas reste identique, tout comme les angles : le premier ordre se trouve à 9,18° dans les deux cas, et le sixième à 73,26°. Seule la largeur change. Avec deux fentes, une frange brillante s’étend sur 4,607° entre son maximum et le premier minimum sombre; avec 600 fentes, elle ne s’étend plus que sur 0,01544°, soit 298,4 fois moins. Les angles dépendent uniquement de d sin θ = mλ, condition selon laquelle les trajets issus de deux traits voisins diffèrent d’un nombre entier de longueurs d’onde. N n’intervient pas dans cette équation. Il détermine la rapidité avec laquelle les ondes se déphasent dès que vous vous écartez de l’angle exact : avec 600 sources, un écart d’environ λ/(Nd cos θ) suffit à produire une extinction complète. Un réseau scolaire se comporte ainsi comme une double fente dont les franges brillantes auraient été affinées en raies. « Plus de traits par millimètre » et « plus de traits éclairés » désignent deux réglages distincts : le premier déplace les ordres, le second les rend seulement plus fins et plus lumineux.

La lumière rouge donne deux ordres sur un CD, un sur un DVD et aucun sur un disque Blu-ray 🖖

Un ordre n’existe que si mλ est inférieur à d; plus le réseau est fin, moins il comporte d’ordres. Sur les pistes d’un CD espacées de 1,6 µm, une lumière rouge de 650 nm en produit deux, à 23,97° et 54,34°. Le second n’est pas au double du premier, qui serait 47,94° : ce sont les sinus qui progressent par pas égaux, 0,4063 puis 0,8125, et non les angles. Sur un DVD, dont le pas vaut 0,740 µm, un seul ordre tient, à 61,45°. Les pistes d’un disque Blu-ray sont espacées de 0,32 µm, moins que toute longueur d’onde visible et même moins que les 405 nm du laser violet qui le lit. En incidence normale, la lumière ne peut donc former aucun ordre, ce que confirme le tableau ci-dessous. Le même calcul montre aussi les limites de la première formule généralement apprise. Pour une double fente, y = mλL/d convient lorsque les angles sont très petits; sur le CD, elle place le premier ordre à 406,3 mm du centre d’un écran distant de 1 m, tandis que la page mesure 444,6 mm. Aux angles d’un réseau, il faut utiliser y = L tan θ.

Le doublet du sodium se sépare au deuxième ordre, mais pas au premier 🖖

Les deux raies jaunes du sodium se trouvent à 588,9950 et 589,5924 nm, soit un écart de 0,5974 nm. Selon le critère de Rayleigh, deux raies sont résolues lorsque le maximum de l’une atteint ou dépasse le premier zéro de l’autre. Pour un réseau, cela donne un pouvoir de résolution R = mN. Le doublet exige 986,4. Sélectionnez Doublet du sodium : le réseau compte 600 traits/mm et 500 d’entre eux sont éclairés. Au premier ordre, R vaut 500; les deux maxima sont espacés de 0,02196°, tandis que chaque raie s’étend sur 0,04328° jusqu’à son premier zéro. Vous voyez donc une seule raie floue. Au deuxième ordre du même réseau, R vaut 1 000. Les maxima sont espacés de 0,05809° et chaque raie s’étend sur 0,05722° : les deux sont tout juste distinctes. Le pas du réseau n’intervient pas dans R. Avec les mêmes 500 traits éclairés, un réseau plus fin écarte davantage les deux raies à un ordre donné, mais élargit chaque maximum dans la même proportion; il n’améliore donc pas la résolution. Pour séparer le doublet au premier ordre, il faut éclairer 987 traits, quel que soit le réseau.

Problème entièrement résolu

Quels ordres de la lumière blanche se recouvrent ? 5 étapes
Une lumière blanche, de 400 à 700 nm, arrive en incidence normale sur un réseau de 300 traits par millimètre. À quels angles commence et se termine le spectre de chaque ordre ? Lesquels se recouvrent, et un réseau plus fin permettrait-il de les séparer ? Sélectionnez 300 traits/mm, N = 600 pour vérifier la première étape.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Le pas du réseau vaut 1 mm divisé par 300, ce que la page affiche :
  
  $d = \frac{1 mm}{300} = 3.333 μ m = 3333.3 nm$
2. Le spectre du premier ordre commence à l’angle pour lequel le violet vérifie d sin θ = λ et se termine à celui du rouge :
  
  $m = 1 : arcsin \frac{400}{3333 . 3} = 6.8 9^{\circ} \dots arcsin \frac{700}{3333 . 3} = 12.1 2^{\circ}$
3. Le deuxième ordre s’étend de 13,89° à 24,83°; un intervalle net le sépare donc du premier :
  
  $m = 2 : arcsin \frac{800}{3333 . 3} = 13.8 9^{\circ} \dots arcsin \frac{1400}{3333 . 3} = 24.8 3^{\circ}, 12.1 2^{\circ} < 13.8 9^{\circ}$
4. Le troisième ordre commence à 21,10°, avant la fin du deuxième. À l’endroit où arrive son violet, le deuxième ordre présente la lumière orange de 600 nm, puisque 3 × 400 = 2 × 600 :
  
  $m = 3 : arcsin \frac{1200}{3333 . 3} = 21.1 0^{\circ} < 24.8 3^{\circ}, 3 \times 400 nm = 2 \times 600 nm$
5. Les ordres m et m + 1 se recouvrent lorsque m fois l’extrémité rouge dépasse m + 1 fois l’extrémité violette. Le pas d disparaît du calcul :
  
  $m \times 700 > (m + 1) \times 400 ⟺ 300 m > 400 ⟺ m > \frac{4}{3}$
Réponse

Le premier ordre s’étend de 6,89° à 12,12° et reste isolé. À partir du deuxième, chaque spectre empiète sur le suivant : l’extrémité rouge du deuxième se trouve à 24,83°, tandis que le troisième commence à 21,10°. Aucun réseau ne peut les séparer, car la condition m·700 > (m + 1)·400 ne contient pas d. Un réseau plus fin écarte davantage les ordres et en laisse subsister moins; le deuxième n’échappe au recouvrement que lorsque le réseau devient assez fin pour supprimer le troisième. Si le premier ordre reste net, c’est parce que le domaine visible couvre moins d’une octave : 700/400 = 1,75. Lorsqu’un spectromètre travaille à un ordre supérieur, un filtre placé devant le réseau bloque la lumière des ordres voisins; on l’appelle filtre de tri d’ordre.

$\frac{700}{400} = 1.75 < 2 \Rightarrow m = 1 ✓; m \geq 2 : m \times 700 > (m + 1) \times 400 \forall d$

Références (3)

The resolving power of a grating, R = mN with N the number of lines illuminated, from the Rayleigh criterion applied to the diffraction maxima, and the sodium doublet as the standard benchmark: R. Nave, "Resolvance of Grating." HyperPhysics, Department of Physics and Astronomy, Georgia State University.
The two yellow lines of neutral sodium, the D lines, at 5889.950 and 5895.924 Å in air, which the sodium preset uses: J. E. Sansonetti and W. C. Martin, "Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data", NIST Standard Reference Database 108, table of Strong Lines of Sodium (Na). National Institute of Standards and Technology.
The DVD standard, which fixes the track pitch at 0.74 µm, the spacing that makes a DVD a grating with room for only one order of red light: Ecma International, Standard ECMA-267, "120 mm DVD - Read-Only Disk", 3rd edition, April 2001.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.