Loi de Malus et polariseurs croisés

Réglez l'axe de chaque filtre et regardez ce qu'il reste du faisceau. L'ajout d'un filtre coûte généralement de la lumière. Parfois, il permet d'en récupérer.

Exemple résolu — Loi de Malus et polariseurs croisés

Après le filtre 1 (0,0°)	50,000%
Après le filtre 2 (45,0°)	25,000%
À travers l'empilement	12,500%
Sans le filtre 2	0%
Meilleur angle du filtre 2	45,0°
Lecture à cet angle	12,500%
Meilleur avec 3 filtres sur 90,0°	12,500%

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Loi de Malus et polariseurs croisés

La loi de Malus indique ce qu'un filtre polarisant laisse passer d'une lumière déjà polarisée : I = I₀cos²θ, où θ est l'angle entre le plan de la lumière et l'axe de transmission du filtre. La lumière non polarisée constitue l'autre cas de figure, et elle ne possède aucun θ. Elle arrive avec toutes les directions représentées à parts égales. Le premier filtre qu'elle rencontre en prélève donc exactement la moitié et transmet un faisceau polarisé selon son propre axe. Par conséquent, chaque filtre après le premier relève du cas de Malus, puisque celui qui le précède s'est chargé de la polarisation.

Ce que signifie chaque symbole

I₀: l'intensité arrivant sur le filtre, et non l'intensité initiale
θ: l'angle entre le plan de la lumière et l'axe du filtre. Seule cette différence compte, c'est pourquoi faire tourner l'ensemble de l'empilement d'un bloc ne modifie aucune lecture sur la page
φ: le plan d'un faisceau déjà polarisé, lorsqu'il y en a un. La lumière naturelle n'a pas de φ, c'est pourquoi son premier filtre coûte une moitié nette au lieu d'un cosinus
cos²θ: la fraction survivante : une moitié à 45°, un quart à 60°, rien à 90°

Suppose: Des filtres idéaux, transmettant parfaitement le long de l'axe et bloquant parfaitement perpendiculairement à celui-ci. Une vraie feuille ne fait ni l'un ni l'autre, et Polaroid a nommé son matériau d'après cet écart : une feuille HN-38 laisse passer 38 % de la lumière naturelle là où les calculs ici indiquent 50 %. Les douze points manquants sont absorbés plutôt que polarisés.
Ne tient plus quand: Sur un haut empilement de feuilles réelles, ce qui nous amène à l'affirmation la plus surprenante de cette page. Chaque filtre réel multiplie sa propre absorption avec son cos². L'ascension vers 50 % s'inverse donc après quelques feuilles pour ensuite s'effondrer. Quatre-vingt-onze filtres idéaux affichent 48,648 % ; un empilement de quatre-vingt-onze filtres réels est opaque.

Deux filtres bloquent tout. Trois laissent passer un huitième. 🖖

Réglez le premier axe sur 0° et le deuxième sur 90°. cos²(90°) vaut exactement zéro, le compteur affiche 0 %, et aucune manipulation de la lampe ne modifiera cette valeur.

Glissez maintenant un troisième filtre entre les deux, à 45°. La valeur passe à 12,500 %.

Ce nouveau filtre absorbe la lumière comme les deux autres. Mais il a aussi pour effet de la réorienter. La lumière franchit alors deux intervalles de 45° au lieu d'un seul de 90°, et cos²(45°) vaut un demi. La moitié de la moitié de la moitié laissée par le premier filtre donne un huitième.

La ligne Sans le filtre 2 se trouve juste sous À travers l'empilement. Les deux nombres restent ainsi à l'écran pendant que vous faites pivoter l'axe central.

Dix filtres sont plus lumineux que trois, et 50 % est la limite 🖖

Maintenez le premier axe à 0° et le dernier à 90°, puis comblez l'espace avec des filtres uniformément espacés. Deux donnent 0 %. Trois donnent 12,500 %. Quatre, 21,094 %. Cinq, 26,540 %. Dix, 37,957 %. Quatre-vingt-onze d'entre eux, séparés d'un degré, donnent 48,648 %.

Chaque filtre de cet alignement absorbe de la lumière, et chaque ajout fait pourtant monter la mesure, car une grande rotation coûte plus cher que la même rotation effectuée par petites étapes.

Cette ascension possède un plafond qu'elle n'atteint jamais. La lumière naturelle perd très exactement sa moitié au passage du premier filtre rencontré, quel que soit l'angle de celui-ci, et rien en aval ne pourra restituer cette moitié.

Le tiers central de la rotation coûte deux fois plus que les extrémités 🖖

Basculez la source sur Polarisée et laissez un seul filtre dans le faisceau. À 0°, la lecture est de 100,000 %. Tournez-le à 30° et il reste 75,000 %. Tournez-le à 60° et il reste 25,000 %. Tournez-le à 90° et il ne reste rien.

Trois rotations égales de 30°, et celle du milieu coûte le double de chacune de ses voisines. La fonction cos²θ est plate là où le cosinus approche 1, et sa pente est maximale à 45°.

Quiconque a déjà manipulé un filtre polarisant sur un appareil photo connaît cette sensation. Le début de la rotation modifie à peine le ciel, puis le milieu change tout.

Problème entièrement résolu

Le filtre qui laisse passer la lumière en se mettant en travers 6 étapes
Une lumière naturelle d'intensité I₀ rencontre un filtre dont l'axe est à 0°, puis un second à 90°. Un troisième filtre est glissé entre eux avec son axe à 30°. Quelle fraction de I₀ sort de l'empilement, où ce troisième filtre devrait-il se trouver pour un résultat optimal, et qu'apporte ce meilleur réglage ?

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Le premier filtre est le seul à ne pas obéir à la loi de Malus. La lumière naturelle ne possède aucun plan unique à partir duquel mesurer un angle, il n'y a donc pas de θ à insérer dans cos²θ. Elle arrive sous la forme d'un mélange homogène de toutes les directions, et le filtre transmet la moyenne, soit exactement une moitié. Avec cet empilement, la ligne Après le filtre 1 (0,0°) indique 50,000 %, et orienter ce premier filtre comme bon vous semble maintiendra cette valeur à 50,000 %.
  
  $unpolarised light: \frac{I _{1}}{I _{0}} = \frac{1}{2} at every angle$
2. Tout ce qui se trouve en aval relève du cas de Malus, car le premier filtre a polarisé le faisceau selon son propre axe. Le deuxième filtre de cet empilement est celui à 30°. L'écart est donc de 30° et le facteur vaut cos²(30°) = 0,75. La moitié de la lumière, puis les trois quarts de celle-ci : 37,500 %, et c'est ce qu'indique la ligne Après le filtre 2 (30,0°).
  
  $\frac{I _{2}}{I _{0}} = \frac{1}{2} cos^{2} (3 0^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 0.75 = 0.375$
3. Le dernier filtre se trouve à 90°, soit 60° plus loin que 30°. cos²(60°) = 0,25, et le quart de 37,500 % donne 9,375 %. Voilà la réponse à la première question. La ligne À travers l'empilement présente la chaîne entière ayant produit ce résultat : ½ · cos²(30°) · cos²(60°).
  
  $\frac{I _{3}}{I _{0}} = \frac{1}{2} cos^{2} (3 0^{\circ}) cos^{2} (6 0^{\circ}) = 0.375 \cdot 0.25 = 0.09375$
4. Retirez maintenant le filtre central, une étape qui mérite d'être effectuée lentement. Le faisceau rencontre alors 0° et 90° sans rien entre les deux. Un seul écart de 90°, et cos²(90°) vaut zéro. La ligne Sans le filtre 2 affiche 0 %. Une feuille de plastique absorbant, plongée dans un faisceau qui était déjà éteint, a fait passer la lecture de zéro à 9,375 %.
  
  $filter 2 removed: \frac{1}{2} cos^{2} (9 0^{\circ}) = 0$
5. Alors, où est-elle la plus efficace ? La somme des deux écarts doit valoir 90°, et ce que l'on cherche à maximiser est cos²(δ)·cos²(90° − δ). Les écarts égaux l'emportent : ½ · ½ · ½ = 12,500 % à 45°, contre 9,375 % à 30°. La ligne Meilleur angle du filtre 2 indique 45,0° et la ligne Lecture à cet angle affiche 12,500 %.
  
  $δ max \frac{1}{2} cos^{2} (δ) cos^{2} (9 0^{\circ} - δ) \Rightarrow δ = 4 5^{\circ}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 0.125$
6. Les écarts égaux continuent de l'emporter, quel que soit le nombre de filtres. La raison en est que la fonction ln cos est concave ; une rotation totale fixe coûte donc moins cher si elle est divisée de manière égale. Cliquez sur Ajouter un filtre pour en insérer un quatrième et sur Répartir uniformément pour les placer : 21,094 %. Dix filtres répartis sur ce même quart de tour atteignent 37,957 %.
  
  $\frac{I _{n}}{I _{0}}_{even} = \frac{1}{2} cos^{2 (n - 1)} (\frac{9 0 ^{\circ}}{n - 1}) : n = 4 \to 0.21094, n = 10 \to 0.37957$
Réponse

9,375 % à 30°, et 12,500 % à 45°, ce qui représente le maximum que trois filtres puissent accomplir sur un quart de tour. La valeur à retenir n'est cependant aucune de ces deux-là. C'est le néant qui réapparaît au moment où le filtre central est retiré. Ce filtre absorbe la lumière comme les deux autres, et l'empilement s'avère plus lumineux avec lui que sans lui, car son rôle consiste à faire pivoter la lumière pour poser une question plus simple au dernier filtre.

$\frac{1}{2} cos^{2} (3 0^{\circ}) cos^{2} (6 0^{\circ}) = 9.375% against \frac{1}{2} cos^{4} (4 5^{\circ}) = 12.5%$

Références (3)

The paper the law is named after, written by an army engineer who noticed it in the windows of the Luxembourg Palace: É. L. Malus, "Sur une propriété de la lumière réfléchie." Mémoires de physique et de chimie de la Société d'Arcueil 2, 1809, pp. 145–158.
Where the 38% comes from — the man who invented sheet polarisers, on how well they really work: E. H. Land, "Some Aspects of the Development of Sheet Polarizers." Journal of the Optical Society of America 41(12), 1951, pp. 957–963. DOI 10.1364/JOSA.41.000957
The textbook treatment of ideal polarisers and the stacked-filter result: E. Hecht, Optics, 5th edition, Pearson, 2017, chapter 8 (Polarization).

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.