Calculateur d'indice de masse corporelle (IMC)

Déterminez ce que fait l'IMC à un corps qui change de taille sans changer de forme. Il s'agit de l'Adulte de référence : 175 cm et 70 kg.

1. Commençons par l'indice tel qu'il est défini. Le numérateur est une masse et le dénominateur est une surface, de sorte que l'IMC n'est pas un rapport de grandeurs de même nature — et ce décalage est précisément l'objet du reste du problème.

   $$\mathrm{BMI}=\frac{m}{h^2}=\frac{70}{1.75^2}=\frac{70}{3.0625}=22.857kg/{\mathrm{m}}^2$$

2. Agrandissons maintenant l'ensemble du corps : multiplions chaque longueur par s en maintenant la masse volumique constante. La masse suit le volume et gagne s³ tandis que le dénominateur ne gagne que s², de sorte qu'une puissance de s survit à la division.

   $$h\to sh,m\to s^{3}m⟹\mathrm{BMI}\to \frac{s^{3}m}{(sh{)}^2}=s\cdot \mathrm{BMI}$$

3. Un indice qui survit au changement d'échelle doit correspondre à l'exposant de la masse, et élever la taille au cube fait exactement cela. L'indice pondéral est alors identique pour chaque membre de la famille — pas approximativement, exactement.

   $$\mathrm{PI}=\frac{m}{h^3}=\frac{70}{5.359375}=13.061kg/{\mathrm{m}}^3,\mathrm{PI}\to \frac{s^{3}m}{(sh{)}^3}=\mathrm{PI}$$

4. Écrire l'IMC comme l'indice pondéral multiplié par la taille rend la dépendance envers la taille explicite, de sorte qu'aucune masse n'a besoin d'être recalculée pour chaque taille. Quatre unités et demie d'IMC séparent la version de 155 cm et celle de 190 cm d'un même corps, sans le moindre gramme de graisse supplémentaire.

   $$\mathrm{BMI}(h)=\mathrm{PI}\cdot h:h=1.55\Rightarrow 20.24,h=1.75\Rightarrow 22.857,h=1.90\Rightarrow 24.82$$

5. Les limites de catégorie sont des nombres fixes alors que l'indice ne l'est pas, de sorte que les tailles de franchissement s'obtiennent par une simple division.

   $$\mathrm{PI}\cdot h=25\Rightarrow h=\frac{25}{13.061}=1.914\mathrm{m};\mathrm{PI}\cdot h=18.5\Rightarrow h=1.416\mathrm{m}$$