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Le séisme de 475 ans n'est pas de la géologie
Les cartes de dimensionnement parasismique comportent deux nombres étranges : 475 ans et 2 475 ans. Ils évoquent la mémoire d'une faille. Il n'en est rien.
Le dimensionnement parasismique repose sur deux niveaux d'aléa : une probabilité de 10 % que la secousse de calcul soit dépassée en 50 ans, et — pour les structures qui ne doivent absolument pas défaillir — une probabilité de 2 % sur ces mêmes 50 ans. Exprimés sous forme de périodes de retour, ils deviennent le séisme de 475 ans et le séisme de 2 475 ans, et prennent sous cette forme l'apparence de la géologie, comme si quelqu'un avait compté les cicatrices dans une tranchée de faille et y avait décelé un rythme de 475 ans.
Personne n'a rien compté. Ces deux nombres sont le résultat d'une seule ligne d'arithmétique appliquée à une décision que les ingénieurs, et non les failles, ont dû prendre.
La formule
Si un événement a une probabilité 1/T de se produire au cours d'une année donnée, et que les années sont traitées comme des tirages indépendants, alors la probabilité d'en observer au moins un en n ans est
risque = 1 − (1 − 1/T)n
Inversons le problème pour poser la question de l'ingénieur. Pour un bâtiment conçu pour durer 50 ans, et une probabilité de défaillance que l'on accepte de tolérer sur cette durée de vie, pour quelle période de retour faut-il le dimensionner ?
T = 1 / (1 − (1 − risque)1/n)
Injectez 10 % et 50 ans dans la formule, et vous obtenez 475,1. Injectez 2 % et 50 ans, et vous obtenez 2 475,4.
Voilà toute l'origine de ces deux nombres célèbres. On a choisi une durée de vie de dimensionnement de cinquante ans. On a choisi d'accepter une chance sur dix de dépassement sur cette durée pour les bâtiments ordinaires, et une chance sur cinquante pour ceux qui ne doivent pas défaillir. La géologie n'intervient qu'ensuite, et elle répond à une tout autre question : sachant cette période de retour, quelle est l'intensité de la secousse du sol sur ce site particulier ? Le 475 relève de la norme. La secousse relève de la science.
La même formule, appliquée aux cours d'eau
L'expression qui cause le plus de dégâts ne figure pas sur un plan d'ingénierie. Elle se trouve sur un courrier d'assurance : la crue centennale (100 ans).
Elle désigne un débit qui a 1 % de chance d'être dépassé au cours d'une année donnée. Elle n'indique pas un calendrier, et le calcul ci-dessus montre ce qu'elle signifie réellement sur une durée qui intéresse concrètement une personne :
- Sur la durée d'un prêt immobilier de 30 ans : 26,03 %
- Sur 50 ans : 39,50 %
- Sur un siècle : 63,40 %
Lisons ce dernier chiffre à l'envers, car c'est ainsi qu'il prend tout son sens. La probabilité qu'une « crue centennale de 100 ans » n'arrive pas au cours d'un siècle est de 36,60 % — soit plus d'une chance sur trois. Le nom évoque un métronome. Les mathématiques décrivent un dé.
Le nombre le plus élégant du sujet
Évaluez n'importe quel aléa sur une durée égale à sa propre période de retour — un événement de 10 ans sur 10 ans, un événement de 500 ans sur 500 ans — et le résultat ne varie presque pas :
- T = 10 : 65,13 %
- T = 100 : 63,40 %
- T = 500 : 63,25 %
Le résultat converge vers 1 − 1/e = 63,21 %. Attendre une période de retour complète vous donne environ 63 % de chances d'occurrence, et jamais une certitude, quel que soit l'aléa choisi. Un curseur qui balaye deux ordres de grandeur sans faire varier le résultat est un spectacle bien rare.
Pourquoi cette mauvaise interprétation coûte cher
L'occurrence de deux « crues centennales de 100 ans » en une décennie est souvent présentée comme la preuve que les statistiques sont fausses. Elles ne prouvent rien du tout : sur un site donné, la probabilité de deux dépassements en dix ans est faible mais sans rien d'anormal, et parmi les milliers de stations de mesure d'un pays, un tel doublé se produit quelque part presque chaque année. C'est l'arithmétique des coïncidences, non une défaillance de l'hydrologie.
La véritable réserve est ailleurs, et elle mérite d'être énoncée clairement plutôt que de servir d'échappatoire rhétorique. La formule suppose que chaque année est un tirage indépendant issu d'une distribution invariable. Ces deux hypothèses sont des approximations. Les crues se regroupent — une décennie humide est une réalité physique — et une loi de distribution ajustée aux données du siècle dernier peut ne pas décrire le siècle à venir. Quand on dit que la crue centennale survient plus souvent, la version fondée de cette affirmation n'est pas que l'arithmétique est fausse ; c'est que les 1 % ont été estimés à partir d'un monde qui a évolué depuis.
Deux compressions, une même habitude
Il existe un air de famille avec l'autre nombre mal interprété dans le même domaine. Une échelle de magnitude compresse l'énergie de façon logarithmique, de sorte qu'une magnitude 7 équivaut à environ 31,6 fois une magnitude 6, et non à un septième de plus. Une période de retour compresse la probabilité, si bien que 475 correspond à un niveau de tolérance plutôt qu'à un délai d'attente.
Toutes deux sont des compressions présentées à un lecteur habitué jusqu'alors à des échelles exclusivement linéaires. L'échelle de magnitude semble au moins suffisamment inhabituelle pour inciter au questionnement. « Une fois tous les cent ans » ressemble au langage courant, et c'est précisément pour cela que l'expression passe inaperçue.