Le Recensement du Parc

Définissez le nombre réel d'animaux présents, celui que le parc pense avoir relâché, et si la recherche s'arrête une fois ce chiffre atteint. Observez ensuite ce que vous disent les tailles des spécimens trouvés.

Exemple résolu — Le Recensement du Parc

La recherche indique	12
Ce que disent les tailles	-2,6 reproduction

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Une recherche limitée à l'effectif attendu ne trouve aucun excédent 🖖

Cliquez sur Le décompte qui masque. Il y a 40 animaux sur le terrain, mais le parc estime en avoir relâché 12. Le système a pour consigne de s'arrêter dès qu'il atteint cet effectif attendu. Le rapport affiche 12 sur 12. L'écran valide une prévision parfaite. Pourtant, 28 animaux échappent au recensement. Levez maintenant le plafond. Même parc, mêmes balayages : le système trouve cette fois 37. Ce premier chiffre rassurant était un simple artéfact informatique. La réalité biologique importait peu. L'exemple dépasse largement la fiction. Vous retrouvez cet aveuglement dans tout audit comptable qui s'arrête dès que le bilan s'équilibre. Une batterie de tests interrompue aux erreurs prévues partage la même vulnérabilité, tout comme n'importe quelle recherche conclue sitôt son objectif trouvé.

La distribution révèle la vérité, mais pas au premier coup d'œil 🖖

Malcolm lit la reproduction sur un graphique de la taille des animaux. Une libération contrôlée s'effectue par lots, ce qui regroupe les tailles. La reproduction libre, elle, étale les âges en continu. Il a raison. Pourtant, l'application naïve de son argument échoue. Lors de la conception de cet outil, le simple décompte des bosses sur l'histogramme a donné un résultat inverse pour des échantillons de taille réaliste. Le bruit inhérent à un échantillon continu de 48 individus le rendait plus irrégulier que trois véritables cohortes. Ce qui fonctionne, c'est de comparer directement les deux modèles, en pénalisant celui par cohortes pour les paramètres supplémentaires qu'il requiert. Basculez entre Libération par lots et Reproduction pour observer la valeur probante : +68,3 d'une part, −18,4 d'autre part, avec les 46 mêmes animaux. Le graphique vous convainc. Le rapport de vraisemblance pénalisé détient la vérité.

Un plafond ne fausse pas seulement le compte, il étouffe les preuves 🖖

Les animaux que vous mesurez sont ceux que vous avez capturés. Les deux échecs se cumulent donc. Dans la simulation plafonnée, il n'y a que 12 tailles à étudier et la preuve de reproduction s'établit à −2,6. Elle pointe dans la bonne direction, mais reste bien trop faible pour justifier une action. Levez le plafond : le même parc livre 37 animaux et −18,5, un résultat décisif. Détecter des cohortes reste facile quelle que soit la taille de l'échantillon, car les groupements sont évidents. Prouver l'absence de cohortes représente la démarche difficile et exige des effectifs. L'instruction d'arrêter de compter a donc supprimé d'un seul coup les preuves démographiques et les preuves de reproduction. Elle a laissé derrière elle un écran affichant une situation normale.

Problèmes entièrement résolus

Quarante animaux dans un parc qui en attend 12 7 étapes
Un parc attend 12 animaux. Quarante sont présents. Chaque balayage repère un animal donné avec une probabilité de 0,28 et la recherche effectue 8 balayages. Que révèle le compte, avec et sans plafond ?
1. Examinons la couverture. Un animal échappe à un balayage avec une probabilité de 0,72. Il échappe donc aux huit balayages avec une probabilité de 0,72 puissance huit.
  
  $(1 - 0.28)^{8} = 0.7 2^{8} = 0.0722$
2. La recherche détecte ainsi environ 93 % de ce qui s'y trouve. Avec 40 animaux présents, cela fait 37.
  
  $1 - 0.0722 = 0.928 \Rightarrow 40 \times 0.928 = 37$
3. Avec le plafond, la recherche s'arrête à 12. Elle n'atteint jamais 37 et signale exactement le nombre attendu.
  
  $min (37, 12) = 12$
4. Cet écart constitue la véritable découverte. 28 animaux sont présents sans être enregistrés, alors que le rapport affiche une correspondance parfaite. Le plafond n'a pas simplement limité le nombre. Il a supprimé le seul signal indiquant une anomalie.
  
  $40 - 12 = 28$
5. Passons au second instrument. Les tailles sont mesurées sur les animaux trouvés. Le plafond détermine donc aussi la taille de l'échantillon : 12 animaux avec le plafond, 37 sans.
  
  $n_{capped} = 12 n_{free} = 37$
6. Comparer un modèle à trois cohortes à une répartition continue des âges donne un rapport de log-vraisemblance de −2,6 sur les douze et de −18,5 sur les trente-sept. En dessous d'environ 5 en valeur absolue, un rapport de vraisemblance ne vous incite pas à agir.
  
  $lo g \frac{L _{cohorts}}{L _{continuous}} = - 2.6 vs - 18.5$
7. C'est ici que l'outil atteint ses limites, et que le roman voit juste sur un point bien réel. Les deux nombres indiquent une reproduction. Un seul est assez fort pour l'affirmer. Cette différence ne provient ni des animaux ni de la biologie, mais d'une simple consigne précisant quand arrêter de chercher.
  
  $∣Λ∣ < 5 \Rightarrow \emptyset$
Réponse

12 avec le plafond, 37 sans, pour une population de 40. Le compte plafonné signale un accord parfait tout en dissimulant 28 animaux. Les douze qu'il renvoie fixent la preuve de reproduction à −2,6 au lieu de −18,5. Une seule instruction, deux instruments aveuglés.
Quarante-six animaux comptés, et le nombre que le parc veut vraiment 6 étapes
Cliquez sur Aucune reproduction. Cinquante animaux sont présents, la recherche effectue huit balayages et en rapporte 46. Faites tourner l'outil à l'envers : retrouvez la population à partir du compte, puis décidez si le parc doit balayer plus souvent ou mieux mesurer sa recherche.
1. La couverture d'abord, car tout le reste en dépend. Un balayage repère un animal donné avec une probabilité de 0,28 et le manque avec 0,72 ; huit balayages indépendants le manquent avec 0,72 puissance huit. Quel que soit l'effectif présent, la recherche en trouve 92,78 %.
  
  $c = 1 - (1 - p)^{k} = 1 - 0.7 2^{8} = 1 - 0.0722 = 0.9278$
2. C'est de là que vient le 46 de la carte, et il vaut la peine de voir l'outil travailler dans le sens où personne ne dispose jamais des données : on lui a donné la vérité et demandé le compte.
  
  $⌊ 50 \times 0.9278 ⌋ = 46$
3. Une enquête réelle se tient de l'autre côté de cette équation. Le carnet porte 46 et c'est l'effectif du parc que l'on cherche, il faut donc diviser au lieu de multiplier. Arrondi à l'animal près, 50.
  
  $\hat{N} = \frac{n}{c} = \frac{46}{0.9278} = 49.58 \Rightarrow 50$
4. Cette réponse s'appuie sur un taux de détection que le parc a estimé, et la question est de savoir de tout son poids ou à peine. Dérivez le logarithme : l'erreur relative de l'estimation vaut ce multiple de l'erreur relative sur p.
  
  $\frac{d ln N ^}{d ln p} = \frac{k p ( 1 - p ) ^{k - 1}}{1 - ( 1 - p ) ^{k}}$
5. À un seul balayage, ce multiple vaut exactement 1. Chaque pour cent d'erreur sur p est un pour cent d'erreur sur la population, ni plus ni moins. À huit balayages, il tombe à 0,242, et la même méprise coûte quatre fois moins.
  
  $k = 1 : \frac{p}{p} = 1; k = 2 : 0.837; k = 8 : \frac{8 \times 0.28 \times 0.7 2 ^{7}}{0.9278} = 0.242$
6. Vérifiez-le sur le module plutôt que de faire confiance à la dérivée. Laissez le vrai taux de détection varier de 0,20 à 0,40 pendant que le parc continue de supposer 0,28 : après huit balayages, l'estimation oscille entre 55 et 47, et une recherche à deux balayages, qui trouve 24 animaux et non 46, oscille entre 67 et 38.
  
  $p = 0.20 \to 0.40 : \hat{N}_{k = 8} = 55.3 \to 46.8, \hat{N}_{k = 2} = 66.7 \to 37.5$
Réponse

Cinquante animaux, à partir de 46 trouvés et de rien d'autre, et c'est le protocole à huit balayages qui rend ce nombre citable. Balayer plusieurs fois fait deux choses à la fois : cela pousse la couverture vers 1 et ramène vers 0 le poids du taux de détection. Un balayage unique transmet intégralement chaque erreur sur p ; huit balayages en absorbent les trois quarts.

La réponse à la question du parc est donc de balayer encore, pas de calibrer. Bien mesurer une probabilité de détection coûte cher sur le terrain, puisqu'il faut des animaux déjà connus, et le rendement est celui du dessus : plus vous avez effectué de balayages, moins la mesure vaut. Cela dit aussi à quoi sert vraiment le curseur Balayages de recherche. Il ressemble à une commande pour trouver davantage d'animaux, et au-delà d'une dizaine de balayages il a cessé de le faire, la couverture atteignant déjà 96 %. Ce qu'il fait encore : rendre la réponse robuste au seul nombre que personne dans le parc ne peut vérifier.

$k \to \infty lim \frac{k p ( 1 - p ) ^{k - 1}}{1 - ( 1 - p ) ^{k}} = 0, k = 1 \Rightarrow 1$

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-25

Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues. Politique éditoriale · Corrections

Toutes les leçons : Biologie & Chimie →

Exemples de problèmes

Aucune reproduction - Cinquante animaux, relâchés en trois lots, aucune reproduction. La recherche en trouve 46 et les tailles se concentrent en trois amas distincts : la preuve d'un lâcher contrôlé s'élève à +68,3, ce qui ne laisse aucun doute.
Le décompte qui masque - Quarante animaux sont présents et le parc en attend 12. La recherche s'arrête à 12 et signale une correspondance parfaite. Les 28 autres passent inaperçus. Pire encore : avec seulement ces 12 individus à mesurer, la preuve de reproduction ressort à −2,6. C'est insuffisant pour conclure.
Même parc, sans plafond - Le même parc sans son plafond. Désormais 37 animaux apparaissent, soit 25 de plus que prévu, et ces 37 portent la preuve de reproduction à −18,5. Le parc n'a pas changé. Seule l'instruction d'arrêter de compter a disparu.