Bernoulli et l'effet Venturi

Rétrécissez une conduite et observez la vitesse augmenter et la pression chuter, jusqu'à ce que l'eau finisse par bouillir.

Exemple résolu — Bernoulli et l'effet Venturi

Rapport des vitesses	4,00×
Vitesse au col	8,00 m/s
Variation de pression	-29,95 kPa
Pression absolue au col	71,38 kPa
Nombre de Mach au col	0,005
Débit	3,93 L/s
Cavite sous ce diamètre	18,75 mm
Cavite au-delà de cette vitesse	3,64 m/s

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Bernoulli et l'effet Venturi

Deux affirmations au sujet d'une conduite, et tout ce que vous lirez sur cette page en est la conséquence. La continuité : ce qui entre doit sortir, donc A₁v₁ = A₂v₂. Un col plus étroit donne nécessairement une eau plus rapide. Bernoulli : le long d'une ligne de courant, la somme de la pression et de l'énergie cinétique par unité de volume reste fixe. Nous avons donc p + ½ρv² = constant, et l'eau accélérée se trouve obligatoirement à une pression inférieure. Aucune force ne la repousse vers cette basse pression. Son énergie a tout simplement déjà été convertie en vitesse.

Ce que signifie chaque symbole

A: la section transversale de la conduite
v: la vitesse du fluide qui la traverse
ρ: la masse volumique du fluide

Suppose: Écoulement incompressible, non visqueux et permanent le long d'une seule ligne de courant. La viscosité est ce qui importe le plus ici. Un Venturi réel ne récupère jamais la totalité de sa pression en aval. Cet écart correspond à la pression définitivement perdue par frottement. C'est précisément l'énergie que vous coûte le fonctionnement du débitmètre.

La vitesse varie selon le carré du rapport, la pression selon le carré de la vitesse 🖖

Réglez l'entrée sur 50 mm et le col sur 25 mm, avec de l'eau à 2 m/s. La ligne de la vitesse au col indique 8,00 m/s et la variation de pression affiche −29,95 kPa. L'équation de continuité explique la première de ces valeurs : un volume identique traversant un quart de la surface doit circuler quatre fois plus vite. La ligne du rapport des vitesses indique 4,00×, soit le carré de 50/25. L'équation de Bernoulli se charge du reste. Son terme cinétique intègre v² : une vitesse multipliée par quatre engendre donc une pression dynamique seize fois supérieure.

Saisissez maintenant 10 dans la case du col. Rapport des vitesses 25,00×, vitesse au col 50,00 m/s, variation de pression −1245,75 kPa. L'entrée est désormais cinq fois plus large que le col, et non plus le double. La chute de pression s'avère 41,6 fois plus importante que la précédente. C'est dans le second panneau que cette réalité arithmétique devient visuelle. En maintenant l'entrée et le fluide constants, il balaie les différents diamètres du col en le rétrécissant vers la droite. La courbe reste presque plane pour les cols larges avant de chuter brutalement.

Quand l'arithmétique se poursuit mais que l'eau s'arrête 🖖

Ces −1245,75 kPa sont déduits d'une pression ambiante de 101,325 kPa, ce qui place le col à −1144,43 kPa en absolu. Aucun fluide, quel qu'il soit, ne peut exister à une pression absolue négative. L'eau capitule d'ailleurs bien au-dessus de zéro : à 20 °C, elle bout à 2339 Pa. La bande grisée au bas des deux panneaux correspond précisément à cette limite. Observez la courbe de pression la franchir et virer au rouge.

La ligne affiche tout de même le résultat, bien qu'annoté comme non physique, car ce nombre constitue la leçon de l'expérience. L'outil résout également la limite depuis l'autre rive. Avec une entrée de 50 mm, de l'eau à 2 m/s et une pression ambiante au niveau de la mer, la ligne Cavite sous ce diamètre affiche 18,75 mm. Rétrécissez au-delà de cette cote et le liquide se déchire au lieu de s'affiner. Saisissez 19 dans la case du col, puis 18, et vous verrez le verdict basculer de l'un à l'autre.

Dix mètres d'eau coûtent presque une atmosphère complète 🖖

Dix mètres de hauteur coûtent presque l'atmosphère entière, et ce coût s'applique indépendamment d'un quelconque rétrécissement. Réglez les deux diamètres sur 50 mm, puis faites glisser le curseur de hauteur, qui définit l'élévation du col par rapport à l'entrée, jusqu'à +10,0 m. La ligne de la variation de pression indique −97,92 kPa. Chaque fraction de cette baisse provient du terme ρgh : de l'eau à 998,2 kg/m³, g = 9,81 m/s², sur dix mètres. Face aux 101,325 kPa fournis par l'atmosphère, la simple élévation en a consommé 96,6 %, au travers d'une conduite pourtant parfaitement droite. La ligne de la pression absolue au col affiche 3,40 kPa, soit environ un kilopascal au-dessus de la limite de vapeur.

Le curseur s'arrête à 10 m et l'eau plafonne à 10,11 m, point où le terme ρgh achève d'engloutir ce qu'il reste. Une pompe aspirante ne soulève rien du tout. Elle abaisse la pression au-dessus de l'eau et laisse l'atmosphère pousser la colonne vers le haut. La pression la plus basse qu'elle puisse atteindre correspond aux 2339 Pa vus plus haut. À ce stade, l'eau se met à bouillir au lieu de monter davantage. Le budget total se limite donc à dix mètres. La qualité de la pompe n'y changera rien.

Problème entièrement résolu

Lire le débit sur un tube de Venturi, et le débit qu'il ne pourra jamais afficher 8 étapes
Une conduite d'eau principale de 50 mm est équipée d'un tube de Venturi avec un col de 25 mm. Cliquez sur Venturi classique pour paramétrer le système. Le manomètre différentiel entre les deux prises de pression indique 29,95 kPa. Quel est le débit actuel, et quel est le débit maximal que cet instrument pourra jamais mesurer ?

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Tout volume d'eau franchissant l'entrée chaque seconde traverse également le col. Pour maintenir ce débit constant, la vitesse augmente là où la section diminue. La surface évoluant selon le carré du diamètre, réduire l'alésage de moitié ne double pas la vitesse mais la quadruple. La ligne Rapport des vitesses affiche 4,00× et la Vitesse au col indique 8,00 m/s.
  
  $\frac{A _{1}}{A _{2}} = (\frac{d _{1}}{d _{2}})^{2} = (\frac{50}{25})^{2} = 4.00 v_{2} = v_{1} (\frac{d _{1}}{d _{2}})^{2} = 2 \times 4.00 = 8.00 m s^{- 1}$
2. L'équation de Bernoulli finance cette vitesse en puisant dans la pression. La conduite étant horizontale, les deux termes ρgh s'annulent pour ne laisser que les composantes cinétiques. Celles-ci intégrant v², multiplier la vitesse par quatre coûte seize fois la pression dynamique d'entrée. L'une de ces parts était d'ailleurs déjà consommée : la chute vaut donc quinze fois ½ρv₁², ce terme valant ici 1996,4 Pa. La Variation de pression affiche −29,95 kPa.
  
  $Δ p = \frac{1}{2} ρ (v_{1}^{2} - v_{2}^{2}) = \frac{1}{2} (998.2) (2^{2} - 8^{2}) = - 29, 946 Pa$
3. Soustrayez cette valeur de la pression atmosphérique relevée à la prise d'entrée. Le col se situe alors à 71,38 kPa absolus. Il y a de la marge. L'eau à 20 °C bout à 2339 Pa, ce qui laisse 69 kPa de réserve inexploitée. La ligne Nombre de Mach au col indique 0,005. L'autre hypothèse fondatrice de l'équation de Bernoulli signale ainsi qu'elle n'est pas non plus mise en défaut.
  
  $p_{2} = p_{amb} + Δ p \Rightarrow 101.325 - 29.946 = 71.379 kPa M = \frac{v _{2}}{c} = \frac{8.00}{1481} = 0.005$
4. Pourtant, un tube de Venturi ne fonctionne pas ainsi. Un tel instrument ne possède aucun curseur de vitesse. Il comporte deux prises et un manomètre différentiel. Le débit représente l'inconnue qu'il est censé révéler. Reprenez donc la même équation dans l'autre sens : Δp est connu, v₁ est recherché. Réinjectez les 29,95 kPa du manomètre. La vitesse d'entrée ressort à 2,000 m/s, soit exactement sa valeur initiale.
  
  $Δ p = - \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} [(\frac{d _{1}}{d _{2}})^{4} - 1] \Rightarrow v_{1} = \frac{2 ∣ Δ p ∣}{ρ [ ( d _{1} / d _{2} ) ^{4} - 1 ]} = \frac{2 ( 29 , 950 )}{( 998.2 ) ( 15 )} = 4.0005 = 2.000 m s^{- 1}$
5. Multipliez par la surface d'entrée, soit π(0,050)²/4 = 1,9635×10⁻³ m². Les 3,93 L/s de la ligne Débit s'obtiennent ainsi à partir d'une lecture de pression et non d'une vitesse. La fiche technique d'un débitmètre condense ces deux étapes en une seule équation, utilisant β pour le rapport des diamètres d₂/d₁, qui vaut ici 0,5. Cette équation constitue la raison d'être de l'appareil. C'est d'ailleurs la seule formule de cette page que l'outil n'évalue jamais directement.
  
  $Q = v_{1} A_{1} = 2.000 \times 1.9635 \times 1 0^{- 3} = 3.927 \times 1 0^{- 3} m^{3} s^{- 1} Q = A_{2} \frac{2 ∣ Δ p ∣}{ρ ( 1 - β ^{4} )} β = \frac{d _{2}}{d _{1}} = 0.5$
6. Chaque instrument possède un plafond. Celui-ci est imposé par l'eau, et non par le manomètre. Rétrécissez le col. La pression y chute selon la puissance quatre du rapport des diamètres jusqu'à atteindre 2339 Pa. Le liquide se met alors à bouillir au lieu d'accélérer. Cherchez le col critique pour le débit actuel : l'expression entre crochets donne 50,582, sa racine quatrième vaut 2,6669, et la ligne Cavite sous ce diamètre affiche 18,75 mm. Le col de 25 mm du tube de Venturi est un tiers plus large que ce seuil.
  
  $d_{2}^{*} = d_{1} [1 + \frac{2 ( p _{amb} - p _{v} )}{ρ v _{1}^{2}}]^{- 1/4} = d_{1} (50.582)^{- 1/4} \frac{50}{2.6669} = 18.75 mm$
7. Observez cette même limite depuis l'autre rive, en maintenant le col à 25 mm. Le capital de pression que le fluide peut dépenser correspond à la pression ambiante moins la pression de vapeur, soit 98 986 Pa. Ce qui vient consommer ce capital, c'est le terme ρ[(d₁/d₂)⁴ − 1]. La ligne Cavite au-delà de cette vitesse affiche 3,64 m/s.
  
  $v_{1}^{m a x} = \frac{2 ( p _{amb} - p _{v} )}{ρ [ ( d _{1} / d _{2} ) ^{4} - 1 ]} = \frac{2 ( 98 , 986 )}{( 998.2 ) ( 15 )} = 13.222 = 3.636 m s^{- 1}$
8. Aucune ligne de l'outil ne convertit cette vitesse en débit. Faites-le vous-même. Une vitesse de 3,636 m/s dans un alésage de 50 mm correspond à 7,14×10⁻³ m³/s, soit 7,14 L/s. La pleine échelle du débitmètre représente 1,82 fois le débit actuellement lu. Le différentiel maximal qu'il pourra générer s'élève à 98,99 kPa : c'est la pression ambiante moins la pression de vapeur, sans rien de disponible au-delà. Poussez le système plus fort. Le col s'emplit de vapeur, le différentiel cesse de suivre le débit, et le manomètre ne fait plus que lire une poche en ébullition.
  
  $Q_{m a x} = v_{1}^{m a x} A_{1} = 3.636 \times 1.9635 \times 1 0^{- 3} = 7.14 \times 1 0^{- 3} m^{3} s^{- 1} \frac{7.14}{3.927} = 1.818$
Réponse

3,93 L/s actuellement, et 7,14 L/s au maximum. L'outil n'affiche ni l'un ni l'autre. La seconde valeur est pourtant celle qui dicte la conception du système.

Cliquez sur Léger rétrécissement pour ouvrir le col à 40 mm. La valeur Cavite au-delà de cette vitesse passe de 3,64 à 11,73 m/s, soit 23,0 L/s, tandis que la Variation de pression s'effondre de −29,95 kPa à −2,88 kPa. Ces deux valeurs proviennent du même terme, (d₁/d₂)⁴ − 1. Celui-ci figure au numérateur pour l'une, et sous une racine carrée au dénominateur pour l'autre. L'étendue de mesure ne grandit donc qu'à proportion de la racine carrée inverse du signal sacrifié : un différentiel dix fois moindre permet de mesurer un débit 3,2 fois supérieur. Choisir β consiste à arbitrer ce compromis. Un col suffisamment large pour ne jamais caviter exigera du manomètre qu'il parvienne à résoudre quelques centaines de pascals.

$Q_{m a x} = A_{1} \frac{2 ( p _{amb} - p _{v} )}{ρ [ ( d _{1} / d _{2} ) ^{4} - 1 ]}$

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.