Simulateur de Projectile avec Traînée et Vent

Comparez la trajectoire idéale et celle influencée par la traînée.

Exemple résolu — Simulateur de Projectile avec Traînée et Vent

Portée réelle	28.0 m
Hauteur max réelle	9.5 m

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Simulateur de Projectile avec Traînée et Vent

Ajoutez la résistance de l’air à un projectile et vous n’obtenez pas une parabole corrigée : vous perdez la formule. La traînée quadratique est une force −(k/m)·|v_rel|·v_rel, dirigée contre le mouvement dans l’air et croissant comme le carré de la vitesse. Elle lie l’équation horizontale et l’équation verticale l’une à l’autre, et le couple ainsi formé n’a pas de solution élémentaire. Cette page intègre le vol par pas de 10 millisecondes parce qu’il n’y a plus rien à évaluer.

Ce que signifie chaque symbole

θ: l’angle de tir. Sans traînée, sa meilleure valeur est 45° pour toute vitesse initiale et toute masse — une constante du problème. Avec la traînée, il n’est rien de tout cela, et c’est le sujet de cette leçon.
k/m: le coefficient de traînée divisé par la masse. C’est la seule combinaison qui apparaisse dans les équations : jamais k seul, jamais m seul. Deux des six champs de saisie sont deux poignées sur un même nombre.
v_rel: la vitesse relative à l’air, v − w. La traînée agit sur elle et jamais sur la vitesse par rapport au sol : c’est pourquoi vent de face et vent arrière ne sont pas symétriques.
R: la portée. La page en imprime deux — R_ideal issue de la parabole en forme close et R_actual issue de l’intégration — et l’écart entre elles est ce que l’air a prélevé.

D’où vient la formule

Commençons sans air, là où les deux axes ne se parlent jamais. La vitesse horizontale est constante, la position verticale est une parabole en temps, et l’élimination du temps laisse R = v₀² sin(2θ)/g. On maximise : sin(2θ) est maximal pour 2θ = 90°. Remarquez ce qui a disparu — ni v₀ ni la masse ne figurent dans cette condition, si bien que 45° est le meilleur angle pour tout tir qui ait jamais eu lieu. Voilà pourquoi on le retient comme un fait plutôt que comme un résultat.
Ajoutons maintenant la traînée et regardons les axes cesser d’être indépendants. La force vaut −(k/m)·|v_rel|·v_rel, et |v_rel| vaut √(v_x² + v_y²) : elle contient les deux composantes. L’équation horizontale dépend donc de la vitesse de montée, et l’équation verticale de la vitesse d’éloignement. Le couple est non linéaire et refuse de se séparer ; aucune formule élémentaire pour R n’y survit. La courbe pleine du graphique a été intégrée, non évaluée, et la page l’écrit honnêtement comme une somme.
Lisez le calcul et une chose saute aux yeux : k et m n’apparaissent jamais que sous la forme k/m. Une balle lourde est une balle légère dans un air plus rare. Prenez k = 0.03 avec m = 3 et vous obtenez, au dernier chiffre près, la trajectoire de k = 0.01 avec m = 1 — le préréglage « balle lourde » est le cas à faible traînée sous un autre nom, et le champ de masse ne peut rien dire que le champ de traînée ne dise déjà.
Et voilà que l’optimum se déplace. Monter raide achète toujours du temps de vol, mais sous traînée le temps de vol se paie en vitesse, et c’est la vitesse qui vous porte en avant : le meilleur angle bascule donc vers le plat. Et comme un projectile plus rapide accumule davantage de traînée en chemin, cet angle dépend désormais de la vitesse initiale, ce qui n’était jamais le cas. Essayez, à la traînée par défaut de cette page : à 25 m/s, 45° ne coûte presque rien, 28.0 m contre les 28.5 m que l’on trouve à la main vers 38° ; à 90 m/s cela coûte cher, puisque 45° donne 65.4 m et environ 30° donne 70.8 m.

Comment lire ce que vous voyez

Deux courbes, et deux nombres qui répondent à des questions différentes. La courbe en pointillés est le même tir l’air retiré — non pas une approximation de la courbe pleine, mais la solution d’un autre problème — de sorte que l’espace entre elles est directement ce que la traînée a coûté. R_ideal est imprimée comme une formule où vos nombres sont substitués, parce qu’une formule existe ; R_actual est imprimée comme Σ v_x Δt, parce qu’il n’en existe aucune. Mettez la traînée à zéro : les deux décrivent la même physique — et la page affiche pourtant 63.7 m contre 63.5 m. Ce cinquième de mètre n’est pas de l’air. C’est l’erreur propre de l’intégrateur, et il vaut mieux la connaître avant de lire un écart comme de la physique.

Suppose: Un air au repos hormis un vent horizontal régulier soufflant à la même vitesse à toute hauteur, une densité uniforme sur toute la montée, et un coefficient de traînée qui ne varie pas avec la vitesse. Un point matériel : ni portance, ni rotation, ni effet Magnus — une balle de golf coupée et un obus qui dérive sont tous deux hors de ce que ce modèle peut dire.
Ne tient plus quand: L’intégration ne dépasse pas 5000 pas de 10 ms — cinquante secondes de vol — et rien sur la page ne le signale. Les réglages ordinaires en sont très loin : le cas par défaut retombe en moins de trois secondes. Mais coupez la traînée et tirez fort et raide, v₀ = 300 m/s à 85° : la trajectoire s’arrête tout simplement en plein air, le projectile étant encore à 2.68 km du sol, et la portée imprimée en dessous est l’endroit où il se trouvait à cet instant, non celui où il retombe. La traînée dissimule cette limite plus qu’elle ne la provoque — le même tir avec k = 0.03 est au sol en neuf secondes.

pourquoi la traînée brise la symétrie de la parabole 🖖

La résistance de l'air détruit l'élégante symétrie de la parabole idéale d'un projectile. La force de traînée est proportionnelle à v², donc doubler la vitesse quadruple la traînée. À la vitesse limite, la traînée égale la gravité et l'accélération verticale s'annule. Les tables de tir réelles tiennent compte de la traînée, de l'effet gyroscopique, de la densité de l'air et du vent — la formule idéale n'est qu'une première approximation.

C'est l'air qui compte, pas le sol 🖖

Un projectile ne subit la traînée que par sa vitesse par rapport à l'air, pas par rapport au sol. Le vent déplace toute la masse d'air, tandis que la traînée s'oppose toujours au mouvement relatif à cet air. Un vent de face augmente donc la vitesse effective par rapport à l'air et la traînée mord plus fort, alors qu'un vent arrière la réduit — le projectile vole ainsi plus loin que ne l'expliquerait la seule poussée du vent.

Pourquoi une balle de golf alvéolée vole plus loin 🖖

Le contre-intuitif : rendre une balle plus rugueuse peut réduire sa traînée. Les alvéoles d'une balle de golf forcent l'écoulement à former une fine couche limite turbulente qui adhère plus longtemps à la surface, réduisant le sillage de basse pression derrière elle. Une balle alvéolée vole environ deux fois plus loin qu'une balle lisse frappée à l'identique. La loi de traînée en v² de ce simulateur suppose un coefficient de traînée fixe et ne peut donc pas reproduire cette 'crise de traînée' où Cd chute brusquement quand la vitesse augmente.

Problème entièrement résolu

Pourquoi la réponse de 63,7 m de la formule dans le vide devient 28,0 m 5 étapes
25 m/s à 45°, coefficient de traînée 0,03. La formule dans le vide donne 63,7 m. Expliquez pourquoi la réponse est 28,0 m — et pourquoi la hauteur résiste bien mieux que la portée.
1. Commencez par la réponse que l'air va altérer. Les deux formules dans le vide sont exactes, tiennent en une ligne et constituent le seul socle analytique de ce problème.
  
  $R_{ideal} = \frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g} = \frac{2 5 ^{2} sin 9 0 ^{\circ}}{9.81} = 63.7 m, H_{ideal} = \frac{v _{0}^{2} sin ^{2} θ}{2 g} = 15.9 m$
2. Écrivez maintenant la véritable équation. Le terme de traînée est opposé au vecteur vitesse, de sorte que sa composante horizontale dépend de la vitesse verticale et inversement — les deux axes cessent d'être indépendants et la parabole cesse d'exister.
  
  $\ddot{r} = - g \hat{y} - k ∣ \dot{r} ∣ \dot{r} — the drag term couples x and y, so no closed form survives$
3. Lisez les deux pertes sur le panneau sous forme de fractions. Elles diffèrent, et cette différence est précisément ce qu'il convient d'expliquer.
  
  $R_{actual} = 28.0 m = 0.44 R_{ideal}, H_{actual} = 9.5 m = 0.60 H_{ideal}$
4. La vitesse limite est la vitesse à laquelle la traînée équilibre le poids, et sa comparaison avec la vitesse de lancement indique quelle force domine au départ.
  
  $v_{t} = \frac{g}{k} = \frac{9.81}{0.03} = 18.1 m/s < v_{0} = 25 m/s$
5. La longueur de traînée 1/k est la distance sur laquelle l'air dissipe une part substantielle de la vitesse. Comparez-la à la portée espérée.
  
  $ℓ = \frac{1}{k} = 33.3 m \approx R_{ideal} /2 ⟹ drag is not a correction here, it is the problem$
Réponse

Parce que la traînée a une longueur caractéristique de 33 m, tandis que le lancer aurait dû atteindre 64 m en portée pour seulement 16 m de hauteur. La portée ne conserve que 44 % de sa valeur dans le vide, et la hauteur maximale 60 %. Ces deux valeurs montrent que le régime n’est pas perturbatif. La vitesse limite √(g/k) vaut 18,1 m/s, moins que les 25 m/s du lancer : au départ, la balle est donc davantage freinée par l’air que par la pesanteur. De plus, 1/k = 33 m représente la moitié de la portée dans le vide, alors qu’une petite correction exigerait une valeur plusieurs fois supérieure. Enfin, aucune solution analytique n’est disponible : la traînée couple les deux axes, d’où l’intégration numérique effectuée dans le panneau plutôt qu’une simple substitution.

$drag keeps 44% of the range but 60% of the height$

Parcours

Lancer des objets

Références (2)

The lesson — why the coupled equations admit no elementary range formula, and how the optimum angle moves: G. W. Parker, "Projectile motion with air resistance quadratic in the speed." American Journal of Physics 45(7), 606–610, 1977.
Insight block 3 — why roughening a ball reduces its drag: P. W. Bearman and J. K. Harvey, "Golf Ball Aerodynamics." Aeronautical Quarterly 27(2), 112–122, 1976 — wind-tunnel measurements of dimpled against smooth spheres.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-05-27

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Exemples de problèmes

sans traînée - Traînée coupée, le vol s’achève à 63.5 m, la parabole idéale étant imprimée à côté à 63.7 m.
vent de face - Un vent de face ramène ce même tir à 14.2 m.
vent arrière - Le même vent dans le dos donne 41.2 m, près du triple du chiffre précédent.
boule lourde - Une masse triplée emporte la même balle jusqu’à 43.3 m.