Séquence des rendements

Les mêmes rendements, dans un ordre différent. Sans rien prélever, l'ordre ne peut rien changer. Prélevez un revenu et c'est lui qui décide de tout.

Exemple résolu — Séquence des rendements

Valeur finale, ordre réel	$4 414 533
Valeur finale, ordre inversé	$9 790 543
Rendement annuel moyen	10,31%
Croissance annuelle composée	9,67%

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Le rendement moyen n’est pas le taux auquel votre argent croît 🖖

La moyenne arithmétique d'une série de rendements n'est pas le taux auquel votre argent croît, avant même que vous n'ayez retiré un centime. Gagnez 50 % puis perdez 50 % : la moyenne vaut 0 %, mais un dollar ne pèse plus que 75 cents. Le taux composé est toujours inférieur ou égal à la moyenne arithmétique, et l'écart avoisine la moitié de la variance — sur la fenêtre de 1966 en 60/40, la moyenne est de 10,31 % contre 9,67 % en composé, soit un écart de 0,63 point là où la moitié de la variance vaut 0,69. Ce frein existe sans le moindre retrait, et c'est pourquoi le rendement moyen affiché dans une brochure est le mauvais chiffre pour bâtir un plan. Le risque de séquence est une seconde pénalité, plus lourde, qui vient s'ajouter à celle-là.

La même règle de retrait dure trente ans, ou six 🖖

Réglez l'année de départ sur 1982 et le retrait sur 12 % et le capital est toujours debout après 30 ans. Réglez l'année de départ sur 1929 sans rien changer d'autre et il a disparu en 1934. Même durée, même mélange 60/40, même indexation de 3 %, même règle ; la seule différence est de savoir quelles années sont arrivées en premier. Balayez chaque départ de 30 ans de l'historique et le plus grand retrait qui survit s'étend de 3,44% en 1929 à 12,10% en 1982 — un facteur de trois et demi. Le célèbre 4 % n'est pas une propriété des marchés. C'est le chiffre étalonné sur le pire départ que cet historique se trouve contenir, ce qui le rend faux pour tous les autres.

Survivre et aller bien sont deux questions différentes 🖖

Partez de 1928 et prélevez 4 % et le panneau indique que le capital a tenu toute la fenêtre — avec 240 302 $ restants sur un million. Le retrait a augmenté de 3 % par an pendant 29 ans d'ici là, le dernier valait donc 40 000 $ × 1,03²⁹ = 94 263 $ : deux ans et demi de dépenses, à la fin d'un plan qui vient de s'achever. Le retraité de 1982 soumis à la même règle termine avec 14 116 071 $. L'affichage qualifie ces deux cas de même résultat parce que la ruine est le seul échec qu'il puisse définir, et atterrir à deux ans de la ruine n'est pas le même résultat que de finir avec quatorze fois son capital de départ.

Problèmes entièrement résolus

1 000 000 $ dans un portefeuille 60/40 de 1966 à 1995 sans retraits 5 étapes
Montrer que l'ordre de 30 ans de rendements ne peut pas modifier le capital final, puis mesurer ce que coûte malgré tout la fluctuation au sein de ceux-ci. Il s'agit du cas Pas de retraits : 1 000 000 $ dans un portefeuille 60/40 de 1966 à 1995, sans aucun retrait, le panneau indiquant une moyenne arithmétique de 10,31 % pour ces années.
1. Chaque année multiplie le capital par 1 + r et ne lui fait rien d'autre. Répétez cela 30 fois, et la retraite tout entière devient un seul produit plutôt qu'un processus.
  
  $V_{n} = V_{0} k = 1 \prod n (1 + r_{k})$
2. La multiplication est commutative ; inverser la liste revient donc à écrire les 30 mêmes facteurs dans un ordre différent, ce qui ne peut modifier leur produit. Les deux courbes du graphique se croisent et se décroisent pour aboutir exactement au même point, et l'outil n'a d'autre choix.
  
  $k = 1 \prod n (1 + r_{k}) = k = 1 \prod n (1 + r_{n + 1 - k})$
3. Effectuez le produit des facteurs. Cette période multiplie le capital par près de 16.
  
  $V_{30} = 1 0^{6} \times 15.95399 = 15953990$
4. Le taux de croissance composé est l'unique taux qui reproduit ce produit ; il faut donc prendre la racine 30e. Ce n'est pas la moyenne des rendements et cela ne peut pas l'être : l'un est construit à partir d'un produit, l'autre à partir d'une somme.
  
  $g = (15.95399)^{1/30} - 1 = 0.0967 = 9.67%$
5. Imaginez maintenant un capital qui obtiendrait exactement les 10,31 % du panneau chaque année, avec la même moyenne et aucune variation. Calculez sa capitalisation sur ces mêmes 30 ans et soustrayez.
  
  $1 0^{6} \times (1.1031)^{30} = 18986571 ⟹ 18986571 - 15953990 = 3032581$
Réponse

15 953 990 $, quel que soit le sens de la séquence. Le capital à taux constant de 10,31 % atteint 18 986 571 $ au lieu de cela ; la variation des rendements coûte donc 3 032 581 $ sans qu'aucune valeur annuelle n'ait été modifiée — soit 19 % du montant final réel du portefeuille. C'est pourquoi 9,67 % est le chiffre honnête et 10,31 % ne l'est pas : une moyenne qu'on ne pouvait obtenir qu'en ne s'en écartant jamais n'a jamais été réalisable. La pénalité varie comme le carré de l'écart ; ainsi, un portefeuille deux fois plus instable autour de la même moyenne y perd environ 4 fois plus. L'ordre est gratuit ici. La volatilité ne l'a jamais été.

$\overset{r}{ˉ} - g = 10.31% - 9.67% = 0.64%$
Retrait de 4 % de 1 000 000 $ dans un portefeuille 60/40 de 1929 à 1958 6 étapes
Le même type de séquence, mais avec cette fois un retrait de 40 000 $ par an. La période affiche une croissance composée de 6,58 % et vous prélevez 4 %, ce qui semble laisser de la marge. Il s'agit du cas Prendre sa retraite en 1929 : 1 000 000 $ dans un portefeuille 60/40 de 1929 à 1958, avec un retrait la première année de 4 % du capital initial, augmentant de 3 % par an avec les prix.
1. Une règle de retrait fixe un montant en dollars, pas un pourcentage. 4 % du million initial représentent 40 000 $, et chaque année suivante prélève ces mêmes 40 000 $ capitalisés à 3 % par an. Le solde propre du capital n'intervient plus jamais dans le calcul du retrait.
  
  $V_{k} = V_{k - 1} (1 + r_{k}) - W_{k}, W_{k} = 40000 \times 1.0 3^{k - 1}$
2. L'année 1929 a affiché un rendement de -3,30 % sur ce portefeuille. Appliquez d'abord la croissance, puis soustrayez : le revenu de l'année est prélevé sur ce que le marché de l'année a laissé.
  
  $V_{1} = 1 0^{6} (1 - 0.0330) - 40000 = 927000$
3. Développez la relation de récurrence et elle se sépare en un terme de produit et un terme de somme. Le produit appartient à l'épargnant, intact. Dans la somme, chaque retrait n'est multiplié que par les années qui viennent après lui — un retrait de 1929 porte 29 facteurs ultérieurs, celui de 1958 n'en porte aucun. Inverser la séquence laisse le produit inchangé et reconstruit la somme à partir de zéro.
  
  $V_{n} = V_{0} k = 1 \prod n (1 + r_{k}) - k = 1 \sum n W_{k} j = k + 1 \prod n (1 + r_{j})$
4. Vous disposez déjà du produit sans toucher aux données. La croissance composée étant définie comme sa racine 30e, réappliquez cette puissance au chiffre du panneau pour le retrouver.
  
  $k = 1 \prod 30 (1 + r_{k}) = (1.0658)^{30} \approx 6.767$
5. Calculez la somme dans les deux sens. Facteurs identiques, retraits identiques ; seul a changé l'emplacement des facteurs associés à chaque retrait. Dans le sens chronologique, les retraits portent un poids combiné de 196,47. Dans le sens inverse, 82,09.
  
  $S = k = 1 \sum 30 1.0 3^{k - 1} j = k + 1 \prod 30 (1 + r_{j}) ⟹ S_{\to} = 196.47, S_{\leftarrow} = 82.09$
6. La somme est proportionnelle au retrait de la première année ; poser la valeur finale égale à zéro et résoudre pour trouver ce retrait est une simple réorganisation algébrique, non une recherche. Cela donne le retrait initial maximal auquel chaque ordre peut survivre.
  
  $W_{1}^{*} = \frac{1 0 ^{6} \times 6.767}{196.47} = 34444 (3.44%), \frac{1 0 ^{6} \times 6.767}{82.09} = 82438 (8.24%)$
Réponse

Dans le sens chronologique, le capital est épuisé en 1950 ; en sens inverse, ces mêmes 30 ans s'achèvent à 3 484 161 $. Le retrait initial d'équilibre est de 34 444 $ dans un sens et de 82 438 $ dans l'autre — soit 3,44 % contre 8,24 %, un facteur de 2,39 issu d'un simple réarrangement. Ce rapport est la grandeur dont dépend réellement un plan de retraite, et aucun des deux pourcentages globaux ne peut le fournir : la moyenne de 7,63 % comme la croissance composée de 6,58 % sont toutes deux construites pour faire abstraction de l'ordre. Cela écarte également l'intuition sur laquelle s'ouvrait ce problème. Prélever 4 % sur un capital qui croît à 6,58 % ne laisse pas une marge de 2,58 points, car 4 % n'est un pourcentage qu'une seule fois. Après cela, il s'agit de 40 000 $ indexés sur l'inflation. Dès la cinquième année, ce retrait a atteint 45 020 $, et le capital dans le sens chronologique dont il provient est de 459 742 $, tandis que le capital en sens inverse au même moment s'élève à 1 298 083 $ — la même règle prélevant 9,79 % dans un ordre et 3,47 % dans l'autre.

$\frac{8.24%}{3.44%} = 2.39$

Parcours

Le risque, mesuré

Mène à Rééquilibrage

Références (4)

The withdrawal-rate question this tool is a demonstration of, tested against historical sequences rather than averages: P. L. Cooley, C. M. Hubbard and D. T. Walz, "Comparative Analysis of Retirement Portfolio Success Rates." Financial Services Review 12(2), 115–128, 2003.
Sequence-of-returns risk named and measured, which is the effect the two paths on this page differ by: A. Soni, "The Role of Annuities in Managing Sequence of Returns Risk Approaching and in Retirement." The Journal of Retirement 11(4), 26–39, 2023.
Ruin as the quantity of interest rather than a final balance — the reason this tool reports the year the pot is exhausted: D. Daraei and K. Sendova, "Determining Safe Withdrawal Rates for Post-Retirement via a Ruin-Theory Approach." Risks 12(4), 70, 2024.
And the standing objection to any single historical path, including the ones drawn here: M. E. Drew and A. Walk, "Just How Safe are ‘Safe Withdrawal Rates’ in Retirement?" Financial Planning Research Journal 1(1), 22–32, 2015.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-19

Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues. Politique éditoriale · Corrections

Toutes les leçons : Statistiques & Finance →

Exemples de problèmes

Retraite en 1929 - Une retraite de 30 ans commencée au sommet de 1929, avec un premier retrait de 4 % du capital de départ, relevé ensuite de 3 % par an, sur un portefeuille 60/40.
Retraite en 1966 - Le départ de 1966, dont les vrais dégâts sont venus de l'inflation : le même portefeuille 60/40 et la même règle de retrait, sur une fenêtre dont les pertes arrivent tôt.
Retraite en 2000 - Une fenêtre de 25 ans à partir de 2000, qui s'ouvre sur 3 années de pertes consécutives avant le moindre redressement.
Sans retraits - La même fenêtre de 1966 avec le retrait mis à 0, où les deux ordres doivent finir à la valeur identique.