Vérification de la diversification du portefeuille

Saisissez les allocations et obtenez une lecture en langage clair de la concentration, de la corrélation et de la volatilité estimée.

Exemple résolu — Vérification de la diversification du portefeuille

Relation moyenne	0,27
Fluctuation annuelle estimée	7,85%
Mouvement quotidien typique	0,49%
Paris, en capital	1,92
Paris, en risque	1,21
Paris, en sources	1,14
Ratio de diversification	1,132

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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L'essentiel de votre risque est dans les termes croisés 🖖

Ouvrez le détail du calcul : l'outil classe les termes de wᵀΣw par taille, affiche les quatorze plus grands, puis place la somme de ces quatorze à côté de la variance complète — parce qu'il a fallu tronquer la liste. La raison de cette troncature est précisément l'arithmétique qui rend la diversification efficace. Avec n positions il y a n² termes, dont seulement n figurent sur la diagonale comme variances propres des actifs ; les n² − n autres sont des covariances. Les quatre tickers du préréglage « croissance tech » donnent 4 termes de variance contre 12 covariances ; les six d'« Europe équilibrée », 6 contre 30. Ajouter une position ajoute un seul terme diagonal et 2n termes croisés : ce que vous achetez surtout, c'est une exposition à la façon dont le nouvel arrivant bouge avec ce que vous détenez déjà.

La pondération qui divise le risque à parts égales est de 29 %, pas 50 % 🖖

Passez les données sur les classes d'actifs sur toutes les années et le tableau des risques affiche les deux répartitions côte à côte : un 60/40 détient 60 % du capital en actions et 92,7% de la variance. Saisissez 29 et 71 à la place — sur les deux lignes, puisque les pondérations sont normalisées par leur somme — et les parts indiquent 50,1 % et 49,9 %, avec une volatilité du portefeuille qui passe de 12,12 % à 8,02 %. C'est le premier mouvement de la parité du risque, et il n'est pas gratuit : le 29/71 capitalise à 6,56 % par an contre 8,34 % pour le 60/40, si bien qu'un tiers de volatilité en moins coûte environ un cinquième du rendement. Emprunter pour réutiliser l'effet de levier sur la poche obligataire est le second mouvement, et la raison pour laquelle la stratégie a besoin de levier.

Une part de risque supérieure à 100 % est la marque d'une couverture 🖖

Mêmes deux actifs, même 60/40, deux époques, deux réponses opposées. Réglez la période sur 2000–2012 et les actions et les obligations du Trésor à 10 ans ressortent corrélées à −0,80 : les actions portent 124,3% de la variance et les obligations −24,3%, et la fluctuation annuelle du portefeuille est de 8,84%. Passez à 2013–2025 et la corrélation est de +0,39, les parts sont de 80,2 % et 19,8 %, et la fluctuation est de 10,70 %. Sur l'ensemble des 98 ans, la corrélation affiche 0,02 et la fluctuation 12,12 % — la moyenne de deux régimes qui n'y ressemblaient en rien, et une couverture sur laquelle vous ne pouvez pas compter au cours de la décennie où vous en avez besoin.

Problème entièrement résolu

Variation annuelle de 60 % de SPY et 40 % d'AGG sur une fenêtre de 1 an 6 étapes
60 % de SPY et 40 % d'AGG, sur la fenêtre de 1 an de l'instantané. SPY varie de 0,7597 % lors d'une journée typique, AGG varie de 0,2591 %, et leur corrélation est de 0,2725. Calculez la variation annuelle du portefeuille — puis déterminez quelle part la corrélation a réellement éliminée.
1. Pondérez chaque volatilité quotidienne avant toute chose, car chaque terme ci-dessous est construit à partir de ces 2 produits et non à partir des volatilités brutes. La composante actions ressort à 4,4 fois la composante obligataire.
  
  $w_{1} σ_{1} = 0.60 \times 0.7597% = 0.45582%, w_{2} σ_{2} = 0.40 \times 0.2591% = 0.10364%$
2. La variance d'un portefeuille n'est pas une moyenne pondérée de variances. Avec 2 actifs, elle comprend 3 termes — un pour chaque actif pris isolément, plus un portant la corrélation — et ce terme croisé est le seul endroit où la diversification peut agir.
  
  $σ_{p}^{2} = (w_{1} σ_{1})^{2} + (w_{2} σ_{2})^{2} + 2 ρ (w_{1} σ_{1}) (w_{2} σ_{2})$
3. Effectuez la substitution et observez les ordres de grandeur avant de les additionner. Le terme associé à SPY est supérieur d'un ordre de grandeur à chacun des 2 autres.
  
  $= 2.0777 \times 1 0^{- 5} + 1.0741 \times 1 0^{- 6} + 2.5746 \times 1 0^{- 6} = 2.4426 \times 1 0^{- 5}$
4. Prenez la racine carrée et vous revenez à un pourcentage quotidien, ce que le panneau ci-dessus appelle la variation quotidienne typique.
  
  $σ_{p} = 2.4426 \times 1 0^{- 5} = 4.942 \times 1 0^{- 3} = 0.49%$
5. La variance quotidienne s'accumule proportionnellement au nombre de jours de cotation, la volatilité quotidienne varie donc selon sa racine carrée. La fenêtre est de 252 jours de cotation.
  
  $σ_{ann} = σ_{p} 252 = 0.4942% \times 15.8745 = 7.85%$
6. Chiffrez maintenant l'effet de la corrélation en la supprimant. Posez ρ = 1 et la variance devient un carré parfait, de sorte que les 2 volatilités pondérées s'additionnent tout simplement — le même portefeuille, sans que rien ne vienne compenser quoi que ce soit.
  
  $ρ = 1 : σ_{p} = w_{1} σ_{1} + w_{2} σ_{2} = 0.5595% ⟹ 8.88%$
Réponse

7,85 % par an, pour une variation quotidienne typique de 0,49 %. Une évolution en parfaite synchronie aurait donné 8,88 %, de sorte qu'une corrélation de 0,2725 valait 1,04 point de pourcentage — environ 12 % du risque, ce qui est peu pour l'effet auquel la diversification doit son nom. La décomposition en explique la raison : le terme de SPY représente à lui seul 2,0777×10⁻⁵ du total de 2,4426×10⁻⁵, soit 85 % de la variance, ce qui laisse 11 % dans le terme croisé et 4 % dans AGG. La corrélation n'agit jamais que sur ces 11 %. Ramenée à 0, la variation ne descend qu'à 7,42 % ; déplacez plutôt 10 points de pondération de SPY vers AGG et elle tombe à 6,88 %. Face à une position qui constitue déjà le portefeuille, ce que l'on possède l'emporte sur ce à quoi cela est corrélé.

$\frac{( w _{1} σ _{1} ) ^{2}}{σ _{p}^{2}} = \frac{2.0777 \times 1 0 ^{- 5}}{2.4426 \times 1 0 ^{- 5}} = 0.851$

Parcours

Le risque, mesuré

Mène à Drawdown et frein la matrice de covariance, et le fait qu’un mélange n’hérite pas de la moyenne des risques de ses composants.

Références (10)

Portfolio variance as wᵀΣw, which the tool computes term by term: H. Markowitz, "Portfolio Selection." The Journal of Finance 7(1), 77, 1952.
Splitting that variance among the holdings — the decomposition behind the risk-share column, and why the shares sum to the whole: S. Maillard, T. Roncalli and J. Teïletche, "The Properties of Equally Weighted Risk Contribution Portfolios." The Journal of Portfolio Management 36(4), 60–70, 2010.
The diversification ratio the panel reports, and the allocation that maximises it: Y. Choueifaty and Y. Coignard, "Toward Maximum Diversification." The Journal of Portfolio Management 35(1), 40–51, 2008.
The effective number of bets, counted over uncorrelated principal portfolios rather than over holdings: A. Meucci, "Managing Diversification." Risk, 2009.
The correlation breakdown in crashes, and why a calm-window estimate is the wrong one for the day you need it: F. Longin and B. Solnik, "Extreme Correlation of International Equity Markets." The Journal of Finance 56(2), 649–676, 2001.
The same asymmetry measured on US portfolios — correlations rise in down markets and not in up ones: A. Ang and J. Chen, "Asymmetric correlations of equity portfolios." Journal of Financial Economics 63(3), 443–494, 2002.
Why the two solved allocations under the table are estimates and not targets — the sampling error in a covariance matrix: O. Ledoit and M. Wolf, "Honey, I Shrunk the Sample Covariance Matrix." The Journal of Portfolio Management 30(4), 110–119, 2004.
And the measured consequence: out of sample, the optimised weights often lose to equal weights: V. DeMiguel, L. Garlappi and R. Uppal, "Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient is the 1/N Portfolio Strategy?" The Review of Financial Studies 22(5), 1915–1953, 2009.
Estimating a covariance is hard; estimating a mean return is much harder, which is why nothing on this page uses one: R. C. Merton, "On estimating the expected return on the market: An exploratory investigation." Journal of Financial Economics 8(4), 323–361, 1980.
The standing objection to reading any of this off one observed market proxy: R. Roll, "A critique of the asset pricing theory's tests Part I: On past and potential testability of the theory." Journal of Financial Economics 4(2), 129–176, 1977.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-19

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Exemples de problèmes

portefeuille 60/40 - Deux actifs, donc trois termes : une variance pour chacun et une unique covariance qui les lie. C'est le plus petit portefeuille vous permettant d'observer les effets de la diversification. Le problème résolu plus bas décortique précisément cette paire.
croissance technologique - Quatre valeurs, et donc quatre termes de variance face à douze covariances. Le piège réside dans les positions elles-mêmes plutôt que dans leur nombre : QQQ contient déjà AAPL, MSFT et NVDA. Vous achetez donc trois de ces quatre titres en double.
fortement crypto - BTC et ETH forment la position. COIN est un pari à effet de levier sur cette même dynamique, puisqu'une plateforme d'échange tire ses revenus des volumes de cryptomonnaies. Trois de vos quatre lignes réagissent ainsi à un scénario unique. C'est de la concentration déguisée sous quatre symboles boursiers.
style toutes conditions - Cinq actifs sélectionnés pour chuter à des moments distincts : actions, obligations du Trésor à long terme, or, matières premières et immobilier. Cela vous donne vingt termes de covariance face à cinq variances. Ces vingt termes portent à eux seuls toute la stratégie.
Europe équilibrée - Six positions, dont quatre en actions européennes. VGK et IEUR couvrent presque le même marché. Quant à EWG et EWU, ils ciblent l'Allemagne et le Royaume-Uni, déjà inclus dans les deux premiers. Vous détenez donc six valeurs, mais bien moins de six paris indépendants.
60/40 depuis 1928
Quand les obligations couvraient, 2000-2012