La frontière efficiente, hors échantillon

La frontière est tracée à partir d'un échantillon de rendements, et le portefeuille placé sur son meilleur point a été choisi parce qu'il paraissait le meilleur dans cet échantillon. Conservez-le pendant les années qui suivent et voyez ce qui subsiste.

Exemple résolu — La frontière efficiente, hors échantillon

L'optimiseur prévoyait	0,829
L'optimiseur a livré	0,494
Les poids égaux ont livré	0,757
Fenêtres gagnées, poids égaux	48 sur 63

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Un optimiseur ne distingue pas une prime de risque d'un échantillon chanceux 🖖

Ajustez ces cinq classes d'actifs sur 1928–1957 et le portefeuille au meilleur Sharpe place 93,4 % en obligations du Trésor à 10 ans. Ce n'est pas un jugement sur les obligations, c'est de l'arithmétique. Les bons rapportaient 1,19 % par an sur cette période et les obligations les battaient avec un neuvième de la volatilité des actions : les obligations offraient donc la meilleure rémunération par unité de risque dans l'échantillon, et trouver exactement cela est tout le travail de l'optimiseur. Conservé sur 1958–1987 — trois décennies d'inflation et de taux en hausse — il a obtenu 0,029 contre le 0,700 promis, tandis que les poids égaux obtenaient 0,484. Son rendement brut a en fait augmenté, de 3,50 % à 6,36 %, et c'est précisément pourquoi le rendement brut est la mauvaise chose à regarder : les bons ont monté plus vite encore, jusqu'à 6,10 %, si bien qu'un portefeuille qui avait promis 2,31 % par an au-dessus des bons n'en a livré que 0,25 % pendant que sa volatilité triplait presque. L'optimiseur ne s'était pas trompé sur le passé. On lui a posé une question sur l'avenir et il a répondu à une question sur l'échantillon, et rien dans la méthode ne distingue les deux.

Les trois portefeuilles finissent dans l'ordre exactement inverse 🖖

Sur la fenêtre d'ouverture de la page, le tableau promet un ratio de Sharpe de 0,829 pour le portefeuille de tangence optimisé, 0,777 pour la variance minimale et 0,565 pour les poids égaux. Conservés pendant les 16 années suivantes, ils livrent 0,494, 0,524 et 0,757 : les trois mêmes portefeuilles, à l'inverse. Cet ordre ne doit rien au hasard, il dépend de la part de l'échantillon sur laquelle chacun a été ajusté — la tangence utilise les moyennes estimées et les covariances estimées, la variance minimale utilise uniquement les covariances, les poids égaux n'utilisent ni l'une ni l'autre. En moyenne sur l'ensemble des 59 fenêtres d'ajustement et de conservation de vingt ans, le classement est le même : 0,297, 0,460, 0,558.

Le portefeuille conçu pour être calme a été le plus agité 🖖

La variance minimale promettait 5,32% de volatilité sur cette fenêtre — moins que les 5,67 % du portefeuille de tangence — et a livré 8,60%, plus que les 7,93 % de la tangence. Plus basse promesse, plus haut résultat. Ce n'est pas une seule fenêtre : balayez chaque durée d'ajustement de 10 à 30 ans face à chaque durée de conservation de 5 à 30 ans et la volatilité réalisée du portefeuille de tangence ressort au-dessus de sa volatilité ajustée dans 22 203 d'entre elles sur 33 579. Un optimiseur traque le coin de la matrice de covariance estimée où le risque paraît le plus faible, et les coins où une estimation est la plus faible sont exactement ceux où elle est le plus susceptible d'être trop faible.

Problème entièrement résolu

Le portefeuille au meilleur ratio de Sharpe d'actions américaines et de bons du Trésor à 10 ans 7 étapes
Deux actifs, une période : actions américaines et obligations du Trésor à 10 ans ajustées sur 1928–1976. Déterminez à la main la répartition au ratio de Sharpe maximal, comparez-la au panneau — puis calculez combien de ses chiffres affichés sont réellement étayés par les données.
1. Cliquez sur Actions et obligations uniquement pour ajuster la frontière sur cette période. Six nombres entrent en jeu et rien d’autre : le rendement annuel moyen de chaque poche, la volatilité de chaque poche, leur corrélation, et le taux des bons du Trésor qui définit le taux sans risque.
  
  $μ_{s} = 10.76%, μ_{b} = 3.23%, r_{f} = 2.47%, σ_{s} = 22.351%, σ_{b} = 4.2537%, ρ = - 0.0379$
2. Les ratios de Sharpe se mesurent par rapport au taux sans risque, soustrayez donc le taux des bons du Trésor des deux moyennes. Les actions ont rapporté environ onze fois l’excès de rendement de la poche obligataire. La covariance est légèrement négative — un petit nombre qui produit un effet réel deux étapes plus bas.
  
  $e_{s} = μ_{s} - r_{f} = 8.285%, e_{b} = μ_{b} - r_{f} = 0.758%, σ_{s b} = ρ σ_{s} σ_{b} = - 0.00036058$
3. Un portefeuille détenant w en actions obtient la moyenne pondérée des deux excès de rendement. Sa volatilité n’est pas une moyenne pondérée : le terme croisé constitue toute la diversification, et avec une covariance négative, il se soustrait.
  
  $e (w) = w e_{s} + (1 - w) e_{b}, σ (w) = w^{2} σ_{s}^{2} + (1 - w)^{2} σ_{b}^{2} + 2 w (1 - w) σ_{s b}$
4. Avant de faire confiance à la formule, testez-la là où la réponse figure déjà sur la page. Posez w = ½ et la ligne Pondérations égales (1/N) propre à l’outil indique 4,52 % au-dessus du taux sans risque pour 11,30 % de volatilité. Les deux correspondent, les six paramètres d’entrée sont donc bien les bons.
  
  $w = \frac{1}{2} : e = 4.52%, σ = 0.0127613 = 11.30%$
5. Maximisez maintenant. Le ratio de Sharpe étant un rapport, son maximum ne se situe pas nécessairement à l’une des extrémités — et avec une covariance négative, ce n’est pas le cas. Annuler la dérivée élimine la racine carrée et laisse une formule dépendant des six mêmes paramètres d’entrée.
  
  $S (w) = \frac{e ( w )}{σ ( w )}, S^{'} (w) = 0 ⟺ w^{*} = \frac{e _{s} σ _{b}^{2} - e _{b} σ _{s b}}{e _{s} σ _{b}^{2} + e _{b} σ _{s}^{2} - ( e _{s} + e _{b} ) σ _{s b}}$
6. Substituez. Ouvrez Les pondérations choisies par chaque méthode : la ligne de tangence indique 27,2 % d’actions, 72,8 % d’obligations ; le tableau situé au-dessus indique une volatilité prévisionnelle de 6,72 % et un ratio de Sharpe prévisionnel de 0,418. Un portefeuille invested pour un quart en actions est plus calme de 4,6 points que le mélange 50/50.
  
  $w^{*} = \frac{0.00015264}{0.00056096} = 0.2721 \Rightarrow 27.2% / 72.8%, σ (w^{*}) = 6.72%, S = \frac{2.81%}{6.72%} = 0.418$
7. Évaluez maintenant l’incertitude des paramètres d’entrée, ce que l’outil ne fait jamais. μ_s n’est pas un fait absolu sur le monde ; c’est la moyenne de 49 rendements annuels dont la dispersion est de 22,351 %, de sorte qu’il comporte sa propre erreur-type. Placez μ_s à une erreur-type de part et d’autre et résolvez à nouveau la même formule.
  
  $SE (μ_{s}) = \frac{σ _{s}}{n} = \frac{22.351%}{49} = 3.19% \Rightarrow w^{*} \in [19.3%, 33.4%]$
Réponse

27,2 % d’actions, 72,8 % d’obligations — affichés au dixième de point près sur une grandeur que les données ne précisent qu’à environ ±7 points près. Une seule erreur-type sur la moyenne des actions fait osciller la pondération optimale de 19,3 % à 33,4 %, et cela alors même que les deux volatilités, la corrélation et le taux sans risque sont tous traités comme connus exactement. La fonction objectif n’aide en rien à la resserrer : évaluez S(w) à 24,1 % et à 30,9 %, et les deux s’arrondissent à 0,417, de sorte que les trois décimales du panneau ne peuvent pas séparer des pondérations éloignées de sept points. C’est l’ironie discrète de la frontière — son résultat en apparence le plus sûr est le moins déterminé. C’est pourquoi des pondérations égales, n’estimant rien du tout, obtiennent 0,551 ici contre 0,440 pour l’optimiseur.

$w^{*} = 27.2% μ_{s} \pm SE (μ_{s}) \Rightarrow w^{*} \in [19.3%, 33.4%]$

Parcours

Le risque, mesuré

Références (6)

The frontier itself, in the paper that defined it: H. Markowitz, "Portfolio Selection." The Journal of Finance 7(1), 77–91, 1952.
The result this page reproduces — across fourteen datasets, no optimised rule reliably beat equal weights out of sample: V. DeMiguel, L. Garlappi and R. Uppal, "Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient is the 1/N Portfolio Strategy?" Review of Financial Studies 22(5), 1915–1953, 2009.
Why the optimiser behaves this way — it maximises over estimation error as readily as over return: R. O. Michaud, "The Markowitz Optimization Enigma: Is 'Optimized' Optimal?" Financial Analysts Journal 45(1), 31–42, 1989.
And how far the weights move for a small change in the estimated means, which is the mechanism behind everything above: M. J. Best and R. R. Grauer, "On the Sensitivity of Mean-Variance-Efficient Portfolios to Changes in Asset Means: Some Analytical and Computational Results." Review of Financial Studies 4(2), 315–342, 1991.
One of the standard repairs — shrink the covariance estimate rather than trust the sample one. This tool does not apply it, so the frontier shown is the raw sample frontier: O. Ledoit and M. Wolf, "Honey, I Shrunk the Sample Covariance Matrix." The Journal of Portfolio Management 30(4), 110–119, 2004.
The older warning that a mean-variance optimum is only as meaningful as the set of assets you fed it: R. Roll, "A critique of the asset pricing theory's tests Part I: On past and potential testability of the theory." Journal of Financial Economics 4(2), 129–176, 1977.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-19

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Exemples de problèmes

Promesse contre résultat - Ajusté sur 1990-2009 et conservé sur 2010-2025 : le score du portefeuille au meilleur Sharpe tombe de 0,829 à 0,494 pendant que celui des poids égaux monte de 0,565 à 0,757.
Tout en obligations - Ajusté sur 1928-1957, l'optimiseur place 93,4 % en obligations du Trésor - et obtient 0,029 sur les trois décennies de hausse des taux qui suivent.
Quand cela a marché - Ajusté sur 1970-1994 et conservé sur 1995-2009, le portefeuille optimisé bat bel et bien les poids égaux : 0,772 contre 0,658.
Actions et obligations seulement - Deux actifs et un ajustement de 49 ans, où la frontière est une courbe simple et où le portefeuille tangent détient 27,2 % d'actions.