Équilibre de Nash dans un jeu 2×2

Saisissez les huit gains. L'outil marque la meilleure réponse de chaque joueur directement sur les cases (une case marquée deux fois est un équilibre), puis résout les conditions d'indifférence pour trouver l'équilibre mixte.

Exemple résolu — Équilibre de Nash dans un jeu 2×2

Le jeu	Poule mouillée
Équilibres	3
Ligne joue Haut	33,3 %
Colonne joue Gauche	33,3 %
L'équilibre mixte rapporte	1,67 / 1,67
Les deux jouent Bas	44,4 %

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Équilibre de Nash dans un jeu 2×2

Un équilibre de Nash est un couple de stratégies, une par joueur, où aucun des deux ne peut améliorer son gain en modifiant seul sa décision. Ce principe concerne uniquement les mouvements unilatéraux. Il n'assure en rien que le résultat final sera bon, juste ou même le meilleur qu'un joueur puisse espérer. Une stratégie mixte répartit une probabilité sur vos deux actions. L'équilibre mixte se produit lorsque chaque joueur choisit d'être délibérément imprévisible. Vous ne pouvez atteindre cet état qu'à une fréquence exacte.

Ce que signifie chaque symbole

p: la fréquence à laquelle le joueur Ligne choisit sa ligne du haut
q: la fréquence à laquelle le joueur Colonne choisit sa colonne de gauche

Suppose: Que les deux joueurs connaissent la matrice des gains dans son ensemble, décident au même instant et ne puissent rien se promettre. Vous avez la possibilité de relâcher chacune de ces hypothèses. Chaque assouplissement correspond à une branche différente de la théorie des jeux : jeux séquentiels, information incomplète, jeux coopératifs. Vous obtiendrez ainsi des conclusions bien différentes à partir des huit mêmes nombres.

Vos propres probabilités ne vous regardent pas 🖖

Regardez les étapes 4 et 5. L'équation qui détermine à quelle fréquence le joueur ligne joue Haut contient uniquement les quatre nombres du joueur colonne. Celle qui détermine la fréquence du joueur colonne ne contient que ceux du joueur ligne. C'est à cela que sert le mélange. Vous choisissez vos fréquences pour que votre adversaire n'ait aucune raison de préférer l'une ou l'autre de ses options. L'équation que vous résolvez est donc la sienne, pas la vôtre. Modifiez l'un de vos propres gains en laissant ceux de votre adversaire intacts. Observez votre propre pourcentage rester immobile, jusqu'au point où votre modification détruit complètement l'équilibre mixte et où la carte affiche aucun. Le piège réside dans cette deuxième partie. Sur le penalty, les deux matrices sont verrouillées ensemble : chaque point gagné par le tireur est perdu par le gardien. Un tireur qui s'améliore réellement modifie donc les deux matrices, ce qui fait finalement bouger son propre mélange. Faites passer son tir non couvert de 95 à 99, abaissez les 5 du gardien à 1 pour compenser, et il passe d'un tir en Haut 36,4 % du temps à 33,9 %.

Devenir meilleur peut vous désavantager 🖖

Cliquez sur Poule mouillée, puis sur Poule mouillée, audace. Un seul nombre a changé, et il appartient au joueur ligne : garder son sang-froid face à un conducteur qui fait un écart rapporte maintenant 12 au lieu de 5. Son propre comportement ne bouge pas (il fait toujours un écart 33,3 % du temps), mais son gain d'équilibre tombe de 1,67 à 1,20, soit une chute de 28 %. Ce qui a changé, c'est l'autre conducteur, qui passe d'un écart 33,3 % du temps à 10,0 %. Avec une prime de cette taille, une chance sur dix que l'autre voiture cède suffit pour justifier de rouler tout droit. C'est donc toute la marge de concession que l'équilibre autorise. Les deux voitures roulent désormais tout droit 60,0 % du temps, contre 44,4 % auparavant. La récompense pour être meilleur à ce jeu d'intimidation est un adversaire qui teste votre bluff plus souvent, davantage d'accidents et un gain plus faible. Pendant ce temps, le propre gain du joueur colonne ne bouge pas du tout.

Un ou trois, jamais deux 🖖

Réglez les huit gains de manière à ce qu'aucun joueur ne soit laissé exactement indifférent, puis comptez les équilibres : vous en obtenez un ou trois. Passez en revue les 65 536 jeux 2×2 dont les gains sont des nombres entiers de 0 à 3. Le résultat donne 31 968 jeux avec un seul équilibre, et 7 968 avec trois. Il y en a 25 600 avec un compte pair, et absolument tous contiennent une égalité : deux gains dont un joueur est tout aussi satisfait, de sorte qu'un bord entier du carré devient une meilleure réponse et que les chemins du graphique se superposent au lieu de se croiser. Saisissez 2 dans les huit cases pour observer le cas extrême. Chaque case est un équilibre, il y en a donc quatre. Robert Wilson a prouvé en 1971 que presque tous les jeux finis possèdent un nombre impair d'équilibres, et le graphique vous montre pourquoi. Deux chemins qui traversent chacun un carré d'un côté à l'autre doivent se rencontrer. Ils se rencontrent un nombre impair de fois, à moins d'être superposés l'un sur l'autre.

Problème entièrement résolu

Que vous apporte réellement le mélange ? L'outil affiche les fréquences d'équilibre, et il est facile de les interpréter comme un moyen d'exploiter l'autre joueur. Ce n'est pas le cas. Calculez ce que gagne le joueur ligne lorsque le joueur colonne abandonne complètement l'équilibre, dans chacun des deux jeux.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Prenez le penalty. Écrivez la chance de marquer espérée par le tireur en fonction des deux mélanges, avec p pour un tir à gauche et q pour un plongeon du gardien à gauche.
  
  $E_{kick} = p (60 q + 95 (1 - q)) + (1 - p) (90 q + 70 (1 - q))$
2. Regroupez les termes en q. La chance du tireur ne dépend du gardien qu'à travers la parenthèse multipliant q, et à p = 20/55 cette parenthèse vaut exactement zéro.
  
  $E_{kick} = 70 + 25 p + q (20 - 55 p)$
3. Ainsi, à son mélange d'équilibre, le tireur marque dans 79,09 % des cas, quoi que fasse le gardien : plonger à gauche à chaque fois, à droite à chaque fois, ou tirer à pile ou face. Cela ne fait aucune différence. C'est une garantie, et c'est précisément ce qu'il achète.
  
  $p = \frac{20}{55} ⟹ 20 - 55 p = 0, E_{kick} = 70 + 25 \cdot \frac{20}{55} = 79.09%$
4. Faites maintenant le même calcul pour le jeu de la Poule mouillée, où les deux matrices de gains ne sont pas liées.
  
  $E_{row} = p (3 q + 1 (1 - q)) + (1 - p) (5 q + 0) = p + q (5 - 3 p)$
5. À p = 1/3, la parenthèse vaut 4, et non 0. Le gain du joueur ligne dépend toujours entièrement de l'autre conducteur : 0,33 s'il ne fait jamais d'écart, 4,33 s'il en fait toujours un.
  
  $p = \frac{1}{3} ⟹ 5 - 3 p = 4, E_{row} = \frac{1}{3} + 4 q \in [\frac{1}{3}, 4 \frac{1}{3}]$
6. La raison est qu'un penalty est un jeu à somme constante : chaque point gagné par le tireur est un point perdu par le gardien. Rendre le gardien indifférent et sécuriser son propre gain constituent donc une seule et même action. Les deux matrices de la Poule mouillée sont indépendantes. Leurs cases ont pour somme 6, 6, 6 et 0, et les deux objectifs se séparent.
  
  $A_{r c} + B_{r c} = 100 \forall r, c vs A_{r c} + B_{r c} \in {6, 6, 6, 0}$
Réponse

Dans un jeu à somme constante, le mélange d'équilibre est une garantie. Les 79,09 % du tireur tiennent face à n'importe quel gardien, y compris un gardien qui aurait lu cette page. C'est le théorème du minimax de von Neumann, et la raison pour laquelle les footballeurs professionnels sont devenus un sujet de recherche. Ignacio Palacios-Huerta a estimé les chances de marquer sur les penaltys en championnat, calculé les fréquences minimax qu'elles impliquent, et n'a pas pu rejeter l'hypothèse selon laquelle les joueurs les utilisaient. La Poule mouillée n'offre aucune garantie de ce type. Le joueur ligne qui mélange à 1/3 gagne entre 0,33 et 4,33 selon un conducteur qu'il ne contrôle pas. Le score de 1,67 est simplement ce qu'il obtient si ce conducteur joue également son rôle. La somme constante suffit pour la garantie, mais elle n'est pas indispensable. Réglez les gains du joueur ligne à 4, 0, 0, 4 contre 7, 2, 3, 8 pour le joueur colonne. La somme des cases donne 11, 2, 3 et 12, mais le joueur ligne reste bloqué à exactement 2,00 quoi que fasse le joueur colonne. Ce qu'exige réellement la garantie, c'est que le mélange qui rend votre adversaire indifférent soit le même que celui qui annule son influence sur vous. La somme constante force simplement ces deux éléments à coïncider.

$\forall q 79.09% vs 0.33 \to 4.33 \frac{1}{3} + 4 q$

Parcours

La meilleure réponse, et ce qui arrive quand personne ne la calcule

Références (3)

Two pages, and the reason every game on this tool has an equilibrium at all: J. F. Nash, "Equilibrium points in n-person games." Proceedings of the National Academy of Sciences 36(1), 1950, pp. 48–49.
Where insight block 3's "one or three, never two" comes from: R. Wilson, "Computing Equilibria of N-Person Games." SIAM Journal on Applied Mathematics 21(1), 1971, pp. 80–87.
The empirical test the worked problem ends on — whether people actually mix at the equilibrium frequencies: I. Palacios-Huerta, "Professionals Play Minimax." Review of Economic Studies 70(2), 2003, pp. 395–415.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.