Le dilemme du prisonnier et le tournoi d'Axelrod

Définissez les quatre gains. L'outil détermine la meilleure réponse à chaque coup de l'autre joueur, puis lance un tournoi toutes rondes entre huit stratégies et affiche les gains de chacune par manche au fil de la partie.

Exemple résolu — Le dilemme du prisonnier et le tournoi d'Axelrod

Le jeu	Dilemme du prisonnier
S'ils coopèrent	Trahir
S'ils trahissent	Trahir
Meilleur face à leurs deux coups	Trahir
Ce que l'équilibre rapporte à chacun	1
La condition de répétition	Yes
Stratégie	Donnant pour deux donnés
Par manche	2,564

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Le dilemme du prisonnier et le tournoi d'Axelrod

Un jeu est un dilemme du prisonnier lorsque ses quatre gains satisfont à deux inégalités. Avec T > R > P > S, la trahison constitue la meilleure réponse à tout coup adverse. Les deux joueurs trahissent donc. Ils s'en trouvent tous deux moins bien lotis que s'ils avaient coopéré. De plus, 2R > T + S garantit que la coopération mutuelle rapporte davantage au binôme qu'une exploitation à tour de rôle. Voilà ce qui donne tout son intérêt au jeu répété, plutôt que de se limiter à une course à l'alternance.

Ce que signifie chaque symbole

T: la tentation : ce que vous obtenez en trahissant quelqu'un qui coopère
R: la récompense : ce que vous obtenez tous les deux en coopérant
P: la punition : ce que vous obtenez tous les deux en trahissant
S: la dupe : ce que vous obtenez en coopérant face à quelqu'un qui trahit

Le vainqueur du tournoi n'a jamais remporté un match 🖖

Regardez la dernière colonne. Toujours trahir remporte six de ses huit matchs pour toutes les durées allant de 1 à 200 manches. À partir de la septième manche, elle finit pourtant dernière. Donnant pour deux donnants ne gagne aucun de ses huit matchs, quelle que soit la durée, et termine première sur les 200 manches utilisées par Axelrod. Observez comment cela se produit. Donnant pour deux donnants attend une deuxième trahison avant de riposter. Toujours trahir lui prend donc cinq points à deux reprises, puis passe 198 manches à récolter un point face à un joueur qui a cessé de coopérer : 5 + 5 + 198 = 208, contre 0 + 0 + 198 = 198. Elle remporte ce match par dix points d'écart. Cela n'a aucune importance, car le tableau rémunère un total et non une marge. Pendant que Toujours trahir y gagnait 1,04 point par manche, les cinq stratégies qui débutent par une coopération engrangeaient trois points par manche entre elles. Robert Axelrod, dont le tournoi de 1980 a fourni la structure et les gains de ce modèle, a rédigé sa conclusion sous forme de conseil. Ne soyez pas envieux. Vous ne jouez pas contre l'autre joueur, vous jouez contre l'ensemble du groupe.

Quatre manches font toute la différence 🖖

Faites glisser le curseur des manches sur une seule. La stratégie Toujours faire défection domine le classement avec 4,000 points par manche, et toutes les stratégies s'ouvrant sur une coopération restent derrière. Deux manches : toujours en tête, à 3,250. Trois : 2,833, toujours en tête. Dès quatre manches, elle chute à la troisième place pour ne plus jamais mener. Replacez le curseur sur deux cents. La ligne verticale en pointillés du graphique indique la première manche où la première place a changé de main. Elle change encore de main onze fois après la vingtième manche, la toute dernière à la manche 48, et Donnant pour deux donnant la conserve dès lors. Passez en revue les ensembles de gains entiers de 0 à 10 formant un dilemme valide. Sur ces 250 combinaisons, une stratégie bienveillante prend l'avantage dans 237 cas : le plus souvent vers la manche 4, au plus tard à la manche 20. Pour 13 d'entre elles, cela n'arrive jamais en 200 manches. Le jeu en lui-même n'a pas changé. Chacune de ses manches possède toujours le même coup dominant et le même équilibre. Cette quatrième manche vous apporte simplement la facture. Une défection vous coûte désormais quelque chose plus tard, et quatre manches laissent amplement le temps à l'addition de vous rattraper.

Deux erreurs sur cent font presque autant de dégâts que vingt 🖖

Sans aucun bruit, 62,2 % des coups joués sont des coopérations. Placez le curseur sur 2 %, de sorte que deux coups sur cent fassent l'inverse de ce que la stratégie prévoyait, et la coopération tombe à 50,2 %. Poursuivez dans cette voie : 50,6 % à 4 %, 50,2 % à 10 %, 50,0 % à 20 %. Vous multipliez le taux d'erreur par dix sans rien perdre de plus. Ce que ces deux pour cent brisent le reste définitivement. La stratégie Rancunier illustre cette rupture avec une brutalité absolue, car elle ne pardonne jamais. Une seule défection de son adversaire, n'importe quand au cours des 200 manches, met un terme définitif à la coopération lors de cette confrontation, et elle chute de la deuxième à la cinquième place. Donnant donnant généreux, qui pardonne une défection sur trois, se hisse en deuxième position. Sans le bruit, elle n'arrivait que troisième. C'est exactement ce que coûte le pardon lorsque personne n'en a besoin.

Problème entièrement résolu

Quelle doit être la durée de cette relation ? L'outil joue un nombre fixe de manches, et aucune de ses huit stratégies ne modifie son jeu à l'approche de la fin. Un véritable jeu répété s'achève à un instant que personne ne peut prédire. La question n'est donc pas de savoir combien de manches se joueront, mais plutôt d'évaluer la probabilité qu'une nouvelle manche ait lieu.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Appelons w la probabilité que le match se poursuive après cette manche. Face à Rancunière, qui punit une trahison pour toujours, coopérer indéfiniment rapporte R à chaque manche, et la somme de cette série géométrique donne R sur 1 moins w.
  
  $R + w R + w^{2} R + \dots = \frac{R}{1 - w}$
2. Trahir une fois rapporte T à cette manche et P à toutes les manches suivantes, car Rancunière ne revient jamais sur sa décision.
  
  $T + w P + w^{2} P + \dots = T + \frac{w P}{1 - w}$
3. La coopération tient bon lorsque le premier gain est au moins égal au second. Multipliez le tout par 1 moins w et la série disparaît, laissant une inéquation en w.
  
  $\frac{R}{1 - w} \geq T + \frac{w P}{1 - w} ⟺ R \geq T - w (T - P)$
4. Avec les gains d'Axelrod, cela fait deux sur quatre. Le match nécessite une chance sur deux de continuer ou plus, ce qui représente une durée espérée de deux manches.
  
  $w \geq \frac{T - R}{T - P} = \frac{5 - 3}{5 - 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \frac{1}{1 - w} = 2$
5. Imaginons maintenant la même déviation face à Donnant donnant, qui punit pendant une manche puis pardonne. L'auteur de la déviation obtient T, puis S, et de nouveau R pour toujours. Le seuil s'élève à deux tiers, soit une durée espérée de trois manches.
  
  $R (1 + w) \geq T + w S ⟺ w \geq \frac{T - R}{R - S} = \frac{5 - 3}{3 - 0} = \frac{2}{3}, \frac{1}{1 - w} = 3$
6. Ici, le punisseur le plus indulgent a besoin de la relation la plus longue, et vous en trouvez la raison sur la ligne ci-dessus : l'écart T − P est le plus grand. Il ne s'agit pas d'une règle générale. Sur les 250 dilemmes en nombres entiers que ces quatre paramètres permettent de construire, cette observation se vérifie dans 50 d'entre eux et s'inverse dans 130 autres — fixez T à 4 et P à 2, et vous verrez que Donnant donnant n'a besoin que d'un tiers.
  
  $T - P = 4 > R - S = 3 ⟹ \frac{T - R}{T - P} < \frac{T - R}{R - S}$
Réponse

Face à un punisseur qui ne pardonne jamais, la coopération est stable dès que w atteint (T − R)/(T − P) = 1/2, soit une durée espérée de deux manches. Face à un adversaire qui pardonne après une seule manche, il faut (T − R)/(R − S) = 2/3, soit une durée espérée de trois. Le point de croisement de l'outil est de 4, et l'écart entre deux et quatre représente l'ensemble des joueurs. Le seuil indique à quel moment coopérer l'emporte sur trahir entre deux joueurs, tandis que le tableau montre quand la moyenne d'un coopérateur face à huit adversaires bat celle d'un traître, et trois de ces huit adversaires trahissent en premier. Deux manches garantissent une paire stable. Quatre garantissent une ligue.

$w^{*} = \frac{T - R}{T - P} = \frac{1}{2} vs \frac{T - R}{R - S} = \frac{2}{3}$

Parcours

La meilleure réponse, et ce qui arrive quand personne ne la calcule

Références (4)

The tournament this tool reproduces, reported by the man who ran it — the source for the 1980 date, for the fourteen entries plus RANDOM, and for the nice/not-nice split: R. Axelrod, "Effective Choice in the Prisoner's Dilemma." Journal of Conflict Resolution 24(1), 1980, pp. 3–25.
"Don't be envious", and the argument that a strategy losing every match can still win the tournament: R. Axelrod, The Evolution of Cooperation. Basic Books, New York, 1984.
The 1950 RAND experiment the game came out of, written up by one of the two men who invented it. Albert Tucker gave it the prisoners and the name; this is the experiment: M. M. Flood, "Some Experimental Games." Management Science 5(1), 1958, pp. 5–26.
Why the winner changes when moves come out wrong, and where the one-in-three forgiveness rate this tool gives Generous Tit for Tat comes from: P. Molander, "The Optimal Level of Generosity in a Selfish, Uncertain Environment." Journal of Conflict Resolution 29(4), 1985, pp. 611–618.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.