La tragédie des biens communs

Définissez le nombre de personnes partageant la ressource. L'outil calcule le meilleur effort pour chaque utilisateur, compare le total avec ce qu'un propriétaire unique choisirait et révèle le coût de cette différence.

Exemple résolu — La tragédie des biens communs

Effort par personne	3,64
Effort total	36,36
Effort d'un propriétaire	20,00
Effort face à l'optimum	1,82×
Valeur totale créée	132,2
Création d'un propriétaire	400,0
Valeur préservée	33,1 %
Gain par personne	13,22

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — La tragédie des biens communs

Un bien commun désigne ici une ressource dans laquelle plusieurs personnes puisent simultanément. Le rendement de votre propre effort y diminue à mesure que l'effort global augmente. Chaque utilisateur choisit l'effort qui lui convient le mieux compte tenu des actions des autres, ce qui constitue un équilibre de Nash. L'écart entre ce résultat et ce que déciderait un propriétaire unique de toute la ressource représente la tragédie. Nul besoin d'être cupide ou stupide pour la voir apparaître. Elle s'explique par le fait que chaque personne conserve l'intégralité de sa récolte, tout en ne supportant qu'une fraction de l'encombrement.

Ce que signifie chaque symbole

n: le nombre de personnes qui puisent dans la ressource
E: l'effort total, la somme des efforts de chacun
a, b: le pâturage : a représente ce que rapporte la première unité d'effort, b la vitesse à laquelle ce rendement diminue

Suppose: Des utilisateurs identiques qui font leur choix au même moment, sans droits de propriété, sans accord et sans moyen de se payer entre eux. Elinor Ostrom a consacré sa carrière à démontrer que les communautés réelles s'affranchissent délibérément de ces hypothèses. La tragédie décrite sur cette page survient lorsqu'elles n'en sont pas capables.

Un propriétaire unique ne subit aucune tragédie 🖖

Cliquez sur Un propriétaire. L'effort s'élève à 20,00 unités, l'optimum est de 20,00 unités et le ratio est exactement de 1,00×. Un éleveur isolé sur le pâturage de Hardin prend très précisément la bonne décision. Il n'agit pas ainsi par vertu, mais parce que chaque brin d'herbe consommé par sa vache supplémentaire est un brin d'herbe dont ses autres vaches sont privées. L'intégralité du coût lié à la congestion retombe sur la personne qui la provoque. Cliquez maintenant sur Deux éleveurs et observez la première fiche. Chacun d'eux déploie 13,33 unités, ce qui est inférieur à l'effort du propriétaire unique. Personne ne travaille plus dur à l'échelle individuelle. Cependant, chacun ne supporte plus que la moitié des dégâts qu'il cause tout en conservant l'intégralité des gains. Chacun utilise donc plus de la moitié de 20,00 et le total passe à 26,67. Voilà l'intégralité du mécanisme. Remarquez ce qu'il n'est pas : personne ici n'est cupide, imprévoyant ou mal informé. Chaque individu fournit son propre effort optimal compte tenu des actions des autres. La tragédie est une propriété du nombre de décideurs et non de leur tempérament.

La surexploitation plafonne au double, les dégâts n'ont aucune limite 🖖

Faites glisser le curseur et observez les deux ratios diverger. L'effort total passe à 1,00×, 1,33×, 1,50×, 1,60×. Il obéit à la formule 2n/(n+1) : il grimpe donc vers 2 sans jamais l'atteindre. Vingt-quatre personnes exploitent le pâturage 1,92× trop intensément ; mille personnes atteindraient 1,998×. La part de valeur préservée raconte une autre histoire : 100,0 %, puis 88,9 %, 75,0 %, 33,1 % pour dix personnes et 15,4 % pour vingt-quatre, car elle suit la formule 4n/(n+1)². Cette courbe plonge vers zéro sans le moindre plancher. Mille éleveurs exploiteraient le bien commun presque deux fois plus intensément qu'un propriétaire unique et ne laisseraient que 0,4 % de sa valeur initiale. La limite mérite d'être formulée avec précision : à mesure que le groupe s'agrandit, l'effort total approche les 40 unités, nombre qui correspond très exactement à l'effort pour lequel ce pâturage perd toute valeur. La tragédie converge vers un point où il n'y a plus rien à se disputer.

Les ratios ignorent la qualité du pâturage 🖖

Cliquez sur Dix éleveurs, puis sur Un pâturage plus riche. Le second est une ressource différente à tous égards. La première unité d'effort rapporte 90 au lieu de 50, la congestion s'installe deux fois plus vite et l'effort coûte 5 au lieu de 10. Tous les nombres pourvus d'unités changent. Les deux ratios, en revanche, restent fixes. 1,82× et 33,1 %, exactement comme auparavant. Les étapes de calcul 5 et 6 s'affichent à l'identique, caractère pour caractère, car les expressions 2n/(n+1) et 4n/(n+1)² ne contiennent ni a, ni b, ni c. La part d'un bien commun qui est gaspillée ne dépend donc ni de sa valeur, ni de sa vitesse de dégradation, ni de son coût d'exploitation, pourvu qu'une unité d'effort rapporte plus qu'elle ne coûte. Elle dépend uniquement du nombre de personnes autorisées à décider. C'est pourquoi enrichir un bien commun ne peut le sauver. La proportion détruite ne bouge pas, et comme la valeur dépend du carré du surplus, doubler ce que vaut le pâturage multiplie par quatre ce qui est jeté. Le pâturage ordinaire gaspille 267,8 de ses 400,0, et celui dont le surplus est doublé gaspille 1 071,1 de ses 1 600,0.

Problème entièrement résolu

Qu'est-ce qui comblerait l'écart ? L'outil montre la surexploitation et s'arrête là, car aucun des acteurs ne peut décider d'une taxe. Calculez la charge par unité d'effort qui ramènerait le groupe à l'optimum, puis regardez qui finit par détenir l'argent.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Appliquez une charge de t sur chaque unité d'effort. Rien ne change dans le jeu à l'exception du coût pour chaque personne, qui devient c + t. Le surplus par unité chute de a − c à a − c − t.
  
  $π_{i} = e_{i} (a - b E) - (c + t) e_{i}, s_{t} = a - c - t$
2. L'équilibre obéit à la même formule avec le surplus réduit. Égalisez ce total à l'optimum qu'un planificateur choisirait.
  
  $E^{*} (t) = \frac{n s _{t}}{b ( n + 1 )} =! \frac{a - c}{2 b} = E^{opt}$
3. Simplifiez par le surplus qui apparaît des deux côtés et résolvez. La charge ne dépend que du nombre de personnes partageant le bien commun.
  
  $\frac{n ( s - t )}{n + 1} = \frac{s}{2} ⟹ t = s \cdot \frac{n - 1}{2 n}$
4. Avec dix éleveurs sur ce pâturage, on obtient 18 par unité. Vérifiez : le surplus après impôt est de 22, donc chaque personne déploie 22/11 = 2 unités. À dix, ils utilisent 20, soit exactement l'optimum, et le pâturage rapporte à nouveau ses pleins 400.
  
  $t = 40 \cdot \frac{9}{20} = 18, s_{t} = 22, e^{*} = \frac{22}{11} = 2, E^{*} = 20$
5. Considérez la part que les éleveurs conservent. Ils paient 28 par unité sur 20 unités. Sur les 600 qu'ils génèrent, ils retiennent donc 40. La charge collecte 360.
  
  $600 20 (50 - 20) - 560 28 \cdot 20 = 40 vs t E = 18 \cdot 20 = 360$
6. Non régulés, ces mêmes dix conservaient 132,2 entre eux, soit dix parts de 13,22. La taxe a triplé ce que produit le pâturage et a laissé les personnes qui l'exploitent trois fois moins riches.
  
  $40 < 132.23, 40 + 360 = 400 = Π^{opt}$
Réponse

La charge corrective est t = (a − c)(n − 1)/(2n). Elle est nulle pour un propriétaire unique, ce qui équivaut à la conclusion du premier encadré. Elle grimpe vers la moitié du surplus à mesure que le groupe s'agrandit, passant à 10 pour deux éleveurs, 18 pour dix et 19,17 pour vingt-quatre. Elle rétablit exactement l'effort efficace, pour tout n. Cependant, ce n'est pas une solution au problème des éleveurs à moins que les 360 ne leur reviennent. La valeur totale s'élève de 132,2 à 400,0 tandis que leur propre part tombe de 132,2 à 40,0. Redistribuez les recettes à parts égales et chacun des dix possèdera 40,0 là où il détenait 13,22, ce qui constitue la version fonctionnelle. C'est pourquoi le travail de terrain d'Elinor Ostrom est si pertinent pour une page comme celle-ci. Les biens communs qui ont survécu pendant des siècles n'ont pas été taxés jusqu'à l'efficacité par une autorité extérieure ; ils étaient gouvernés par des règles que les utilisateurs ont écrites, surveillées et appliquées eux-mêmes. Remarquez par ailleurs ce que le modèle écarte. Puisqu'il n'implique aucune concertation, il s'agit d'un jeu simultané à un tour. Les éleveurs qui acceptent de se restreindre sont donc toujours confrontés à la même condition du premier ordre au moment de choisir. Il manque un accord contraignant pour les engager. Cette absence, et non l'arithmétique, rend la tragédie inévitable.

$t = \frac{( a - c ) ( n - 1 )}{2 n} n \to \infty \frac{a - c}{2}$

Parcours

La meilleure réponse, et ce qui arrive quand personne ne la calcule

Références (3)

The essay the phrase comes from, and the pasture the tool is a model of: G. Hardin, "The Tragedy of the Commons." Science 162(3859), 1968, pp. 1243–1248.
Where the arithmetic actually comes from — the common-property fishery, fourteen years before Hardin named it: H. S. Gordon, "The Economic Theory of a Common-Property Resource: The Fishery." Journal of Political Economy 62(2), 1954, pp. 124–142.
And the reason the word "tragedy" is doing too much work. Ostrom's fieldwork found commons that are governed successfully, for centuries, without either privatisation or the state: E. Ostrom, Governing the Commons: The Evolution of Institutions for Collective Action. Cambridge University Press, 1990.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.