Leçon
La théorie — Transformée de Fourier discrète
La transformée de Fourier discrète de N échantillons x0 … xN−1 correspond à N nombres Xk = Σn xn e−2πikn/N, un par canal k, chacun mesurant la proportion d'une onde accomplissant k cycles dans les N échantillons que contient le signal. Elle traite les échantillons comme une période d'un signal qui se répète, elle est donc exacte pour les sons accomplissant des cycles entiers et disperse tous les autres sons sur les différents canaux : c'est la fuite spectrale. Une fenêtre wn multiplie d'abord les échantillons pour adoucir le raccord.
Ce que signifie chaque symbole
A_k- l'amplitude qu'implique le canal k, ce que montrent les barres : 2|Xk|/(N·G) pour 0 < k < N/2, et |Xk|/(N·G) à k = 0 et k = N/2, qui n'ont pas de canal miroir avec lequel partager. Un son d'amplitude 1 sur un canal affiche 1
G- le gain cohérent de la fenêtre, la moyenne de wn : 1 sans fenêtre, ½ pour Hann
- Suppose
- Chaque son commence à son maximum, comme un cosinus. Les valeurs des jupes éloignées varient avec la phase initiale : le canal 31 du son à 10,5 cycles se situe 26,3 dB sous la barre la plus haute pour un cosinus et 31,2 dB en dessous pour un sinus, tandis que les 81 % dans les deux canaux les plus proches bougent à peine. La fenêtre de Hann correspond à la forme périodique, ½ − ½cos(2πn/N), dont la transformée occupe exactement trois canaux.
Problème entièrement résolu
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Corriger une lecture, puis éliminer le besoin de le faire 4 étapes
Un analyseur échantillonne 8 000 fois par seconde et transforme 64 échantillons à la fois, sans fenêtre. Vous lui fournissez un son de test à 1 312,5 Hz et la barre la plus haute affiche 0,32. Quelle est l'amplitude réelle du son, et combien d'échantillons par bloc placeraient le son exactement sur un canal ? Cliquez sur Les flèches s'arquent : la page lit un son à cette fréquence.
Ouvrez ce problème dans l'outil
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Les canaux sont espacés de 8 000/64, donc le son accomplit 10,5 cycles par bloc : à mi-chemin entre les canaux 10 et 11.
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À mi-chemin, la barre la plus haute de la page affiche 64,61 % du son. Divisez par ce facteur :
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Le son tombe sur un canal lorsqu'un bloc contient un nombre entier de ses cycles. Avec 128 échantillons, les canaux sont espacés de 62,5 Hz :
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Si l'analyseur avait utilisé une fenêtre de Hann sur les 64 échantillons, la barre la plus haute aurait affiché 84,89 % du son, ce même son afficherait donc :
Réponse
Environ 0,495, et 128 échantillons par bloc. N'importe quel multiple de 128 fonctionne également, puisque 1 312,5 Hz nécessite 128 échantillons pour accomplir un nombre entier de cycles (21). La page est fixée à 64, donc le cas à 128 échantillons dépasse ce qu'elle peut montrer ; à 128, la barre affiche la totalité des 0,495, et la fenêtre ne serait plus nécessaire pour lire l'amplitude, mais seulement pour empêcher la jupe d'un son fort de masquer un son faible.
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Parcours
La transformée de Fourier en pratique
Références (2)
- The standard reference on windows. Leakage defined as the page shows it: of all frequencies “only those which coincide with the basis will project onto a single basis vector; all other frequencies will exhibit non zero projections on the entire basis set”, because “the periodic extension of a signal not commensurate with its natural period exhibits discontinuities at the boundaries of the observation” (p. 52). Table I (p. 55) gives coherent gain 1.00 and 0.50 and scalloping loss 3.92 dB and 1.42 dB for the rectangle and Hann windows: F. J. Harris, “On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform”, Proceedings of the IEEE, vol. 66, no. 1, pp. 51–83 (1978).
- The DFT's definition, and what happens to a frequency that is not a bin: the sum “is N if ωₖ = ωₓ and zero at ωₗ, for l ≠ k. However, the sum is nonzero at all other frequencies”: J. O. Smith III, Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), with Audio Applications, 2nd ed., W3K Publishing (2007), “DFT Definition” and “Frequencies in the ‘Cracks’”.