Principe d’incertitude et paquets d’ondes

Choisissez la forme et la largeur d’un paquet. La page affiche côte à côte le paquet et la distribution des nombres d’onde qui le composent, puis calcule Δx·Δk. Indiquez une particule et une durée pour savoir jusqu’où le paquet s’étale une fois libéré.

Exemple résolu — Principe d’incertitude et paquets d’ondes

Dispersion du nombre d’onde	0,5000 nm⁻¹
Produit des deux dispersions	0,5000
Dispersion de la quantité de mouvement	5,273×10⁻²⁶ kg·m/s
Dispersion de la vitesse	5,788×10⁴ m/s
Temps de doublement de la largeur	29,92 fs
Largeur 100,0 fs après la libération	5,874 nm

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Principe d’incertitude et paquets d’ondes

Un paquet d’ondes est une somme d’ondes planes e^ikx, dont les amplitudes φ(k) s’étendent sur une plage de nombres d’onde et dont la superposition forme une onde confinée dans une région. Ses largeurs Δx et Δk sont les écarts-types de |ψ(x)|² et de |φ(k)|². Toute somme de ce type vérifie Δx·Δk ≥ ½, l’égalité n’étant atteinte que par une gaussienne. Pour une onde de matière, la quantité de mouvement vaut p = ħk : la même inégalité devient le principe d’incertitude de Heisenberg, Δx·Δp ≥ ħ/2.

Ce que signifie chaque symbole

Δx: l’écart-type de la position, calculé à partir de |ψ(x)|²
Δk: l’écart-type du nombre d’onde, calculé à partir du spectre |φ(k)|²
Δp: l’écart-type de la quantité de mouvement, ħΔk
ħ: la constante de Planck réduite, h/2π = 1,055×10⁻³⁴ J s
t₂: le temps nécessaire pour que le Δx d’un paquet libre double

Suppose: On considère une particule libre à une dimension, qui ne subit aucune force après sa libération. Au moment où on le lâche, le paquet est réel et symétrique : sa vitesse moyenne est nulle et aucune de ses parties n’a pris d’avance. L’énergie est non relativiste, E = p²/2m. Les largeurs sont des écarts-types, d’où la borne ½. Si l’on employait les largeurs à mi-hauteur, le produit de la gaussienne vaudrait plutôt 4 ln 2 ≈ 2,77.
Ne tient plus quand: Si la phase varie d’un point à l’autre du paquet, on parle de paquet chirpé. Il conserve le même |ψ(x)|², mais son spectre est plus large : il se situe donc au-dessus de la borne. Si ses parties les plus rapides sont initialement à l’arrière, il commence par se resserrer avant de s’étaler. Une force modifie entièrement cette évolution. Dans un puits harmonique, une gaussienne de largeur appropriée, qui correspond à l’état fondamental de l’oscillateur, conserve indéfiniment sa largeur. Quant au grain de poussière, il ne reste jamais isolé assez longtemps pour s’étaler. Les collisions avec les molécules de l’air et les photons thermiques enregistrent sa position bien avant que sa largeur ait le temps de doubler : c’est le phénomène de décohérence.

Seule la gaussienne atteint ½ ; la fonction porte en reste loin 🖖

Chaque paquet est ici une somme d’ondes planes, et Δx·Δk ≥ ½ exprime une propriété de telles sommes : elle vaut pour le son et la lumière avant même d’évoquer les électrons. Examinez dans le tableau les cinq formes, toutes de même Δx. La gaussienne donne 0,5000. Le triangle donne 0,5477, l’arche cosinusoïdale 0,5679 et l’exponentielle, dont l’amplitude en k est une lorentzienne, 0,7071. La fonction porte, qui semble pourtant la plus étroitement confinée des cinq, donne l’infini. Ses bords présentent des discontinuités, et une discontinuité exige des ondes de tous les nombres d’onde. C’est pourquoi la <a href="/math/fourier-series">série de Fourier</a> d’un signal carré comporte une infinité d’harmoniques. Son spectre ne décroît qu’en 1/k², si bien que l’intégrale définissant Δk ne converge pas. Appuyez sur Fonction porte : les ondulations de ses lobes secondaires se prolongent jusqu’aux deux bords du graphique et au-delà, tandis que le spectre de la gaussienne est depuis longtemps devenu nul. Seule la gaussienne réalise l’égalité ; c’est un théorème, et non une particularité de ces cinq formes. Pour une onde de matière, p = ħk. En multipliant par ħ, on obtient la relation de Heisenberg Δx·Δp ≥ ħ/2.

Un électron confiné à 1 nm double de largeur en 29,92 femtosecondes 🖖

Libérez un paquet : les ondes qui le composent, chacune porteuse de sa propre quantité de mouvement ħk, se séparent peu à peu. La dispersion des vitesses vaut Δv = ħΔk/m, et la largeur évolue comme √(Δx² + (Δv t)²). Elle a donc doublé lorsque Δv t = √3 Δx. Pour une gaussienne, ce temps vaut 2√3 mΔx²/ħ : il est proportionnel à la masse et au carré de la largeur initiale. Appuyez sur Électron, 1 nm : 29,92 fs. Puis sur Électron, 0,1 nm : dix fois plus étroit, cent fois plus rapide, soit 0,2992 fs. Essayez ensuite Grain de poussière. Pour un grain d’un microgramme confiné à un micromètre, le doublement prend 1,041×10⁶ ans ; un an après la libération, sa largeur vaut encore 1,000 µm à quatre chiffres significatifs. Le grain n’échappe pas à l’étalement. Il est 10²¹ fois plus lourd que l’électron et sa largeur initiale est mille fois plus grande ; ces deux facteurs multiplient le temps de doublement.

Confiné dix fois davantage, le paquet finit presque dix fois plus large 🖖

Plus le paquet est étroit au départ, plus la dispersion de ses vitesses est grande. Au bout d’un temps suffisant, elle l’emporte. Appuyez sur Électron, 1 nm et consultez la ligne de largeur dans les résultats : 100 fs après la libération, le paquet mesure 5,874 nm. Appuyez sur Électron, 0,1 nm. Dix fois plus étroit au départ, il mesure désormais 57,88 nm. À chaque temps t correspond une largeur initiale optimale, √(ħt/2m). Pour 100 fs, elle vaut 2,406 nm et devient √2 fois plus grande, soit 3,402 nm ; avec une largeur initiale plus petite ou plus grande, le paquet est plus large au bout de 100 fs. L’échelle des largeurs initiales fait apparaître ce minimum. Sur le graphique de l’étalement, la courbe violette, issue d’un paquet dix fois plus étroit, croise la bleue au cours des premières femtosecondes et reste ensuite au-dessus. Mieux localiser un électron aujourd’hui, c’est le rendre moins localisé demain.

Problème entièrement résolu

Pourquoi un atome a cette taille 5 étapes
Un électron est retenu près d’un proton par leur attraction. Si le principe d’incertitude fixe sa quantité de mouvement minimale, quelle est la taille de l’atome et quelle est l’énergie de liaison de l’électron ? Appuyez sur Électron, 0,1 nm pour la première étape.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Pour Δx = 0,1 nm, la plus petite dispersion de la quantité de mouvement compatible avec la borne vaut ħ/2Δx. La page l’affiche pour la gaussienne :
  
  $Δ p = \frac{ℏ}{2 Δ x} = \frac{1 . 0546 \times 1 0 ^{- 34} J s}{2 \times 1 0 ^{- 10} m} = 5.273 \times 1 0^{- 25} kg m/s$
2. Cette seule dispersion entraîne une énergie cinétique :
  
  $E_{k} = \frac{Δ p ^{2}}{2 m _{e}} = \frac{( 5 . 273 \times 1 0 ^{- 25} ) ^{2}}{2 \times 9 . 109 \times 1 0 ^{- 31} kg} = 1.526 \times 1 0^{- 19} J = 0.9525 eV$
3. Notons maintenant r la longueur de confinement, estimons la quantité de mouvement par ħ/r et ajoutons l’attraction du proton. L’énergie totale vaut
  
  $E (r) = \frac{ℏ ^{2}}{2 m _{e} r ^{2}} - \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r}$
4. Elle est minimale lorsque sa dérivée s’annule :
  
  $\frac{d E}{d r} = - \frac{ℏ ^{2}}{m _{e} r ^{3}} + \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r ^{2}} = 0 \Rightarrow r = \frac{4 π ε _{0} ℏ ^{2}}{m _{e} e ^{2}} = 5.292 \times 1 0^{- 11} m$
5. et l’énergie minimale vaut
  
  $E (r) = - \frac{m _{e} e ^{4}}{2 ( 4 π ε _{0} ) ^{2} ℏ ^{2}} = - 2.180 \times 1 0^{- 18} J = - 13.61 eV$
Réponse

Cette estimation place l’électron à 0,05292 nm du proton, avec une énergie de liaison de 13,61 eV : on retrouve le rayon de Bohr et, à 0,1 % près, l’énergie d’ionisation de l’hydrogène. Cette précision tient en partie à la chance, car p ≈ ħ/r résulte d’un choix ; avec ħ/2r, on obtiendrait un rayon quatre fois plus petit. En revanche, ce n’est pas un hasard si l’atome possède une taille. Rapprocher l’électron augmente son énergie cinétique en 1/r², tandis que le gain dû à l’attraction ne croît qu’en 1/r. En dessous d’un certain rayon, resserrer davantage coûte donc plus d’énergie que cela n’en fait gagner. Un électron classique ne rencontre aucun plancher de ce type et tomberait sur le proton.

$r = 0.05292 nm = a_{0}, E = - 13.61 eV (hydrogen: - 13.598 eV)$

Parcours

Mécanique quantique : la matière comme onde

Références (3)

A packet built from plane waves, how its width grows once released, σ²(t) = Δx² + α²t²/(4Δx²) with α = ħ/m, and Δx·Δk ≳ ½ from the same analysis: R. Fitzpatrick, "Evolution of Wave Packets" and "Heisenberg's Uncertainty Principle", in Quantum Mechanics (lecture notes), Department of Physics, University of Texas at Austin, 2010.
The mathematics of the inequality: Heisenberg's Δx·Δk ≥ ½ for any square-integrable function, with equality only for Gaussians, and its many variants: G. B. Folland and A. Sitaram, "The uncertainty principle: A mathematical survey", Journal of Fourier Analysis and Applications 3, 207–238 (1997).
The constants, ħ = h/2π, the electron and proton masses and ε₀, and the Bohr radius the worked problem lands on: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018", Reviews of Modern Physics 93, 025010 (2021); values as printed on NIST's CODATA 2018 wall chart.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.