Effet tunnel

Choisissez une particule, son énergie E, ainsi que la hauteur U et la largeur a de la barrière qu’elle rencontre. La page résout exactement l’équation de Schrödinger en amont de la barrière, à l’intérieur et en aval, trace la fonction d’onde, puis affiche la proportion transmise à côté de l’approximation pour une barrière épaisse, 16E(U − E)/U² · e^−2κa.

Exemple résolu — Effet tunnel

Nombre d’onde hors de la barrière	3,623 nm⁻¹
Longueur d’onde hors de la barrière	1,734 nm
Constante d’atténuation dans la barrière	3,623 nm⁻¹
Largeur de la barrière rapportée à 1/κ	1,811
Transmission exacte	10,14%
Approximation de la barrière épaisse	10,68%
Facteur de diminution de T pour 0,1 nm de plus	2,009×
Réflexion	89,86%

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Leçon

La théorie — Effet tunnel

L’effet tunnel quantique permet à une particule de traverser une région où son énergie E est inférieure à l’énergie potentielle U, ce que la mécanique classique interdit. Dans une telle barrière, la fonction d’onde n’oscille pas. Elle est une combinaison de e^−κx et de e^+κx ; si la barrière est épaisse, sa composante décroissante domine presque entièrement, avec κ = √(2m(U − E))/ħ. L’amplitude qui subsiste de l’autre côté se propage sous la forme d’une onde progressive. Le coefficient de transmission T est la fraction du courant de probabilité incident qui traverse la barrière. Pour une barrière rectangulaire, il possède une expression exacte sous forme fermée ; dès que κa dépasse 2, l’écart avec 16E(U − E)/U² · e^−2κa est inférieur à 4 %.

Ce que signifie chaque symbole

E: l’énergie cinétique de la particule hors de la barrière
U: la hauteur de la barrière : l’énergie potentielle de la particule à l’intérieur
a: la largeur de la barrière
κ: la constante d’atténuation dans la barrière ; pour une barrière épaisse, |ψ|² est divisée par e sur une distance 1/(2κ)
T: le coefficient de transmission, soit la proportion de particules qui traversent la barrière ; R = 1 − T correspond à la réflexion

Suppose: Le modèle est unidimensionnel. La barrière a des parois verticales et un sommet plat, avec le même potentiel de part et d’autre. La particule possède une énergie bien déterminée : elle est décrite par une onde plane et non par un paquet d’ondes, si bien que T représente une probabilité pour chaque particule. Les effets relativistes sont négligés : les énergies considérées ici s’expriment en électronvolts, à comparer aux 511 keV de l’énergie de masse d’un électron.
Ne tient plus quand: Une barrière réelle a des flancs inclinés. Dans l’intervalle sous vide d’un microscope, la charge image qu’un électron induit dans chaque métal abaisse et arrondit la barrière ; une tension appliquée en incline le sommet. Sous un champ suffisamment intense, la barrière devient triangulaire et des électrons quittent un métal froid par effet tunnel : c’est l’émission électronique par effet de champ, régie par la loi de Fowler–Nordheim et non par la formule utilisée ici. Pour une barrière lisse, l’approximation WKB remplace κa par l’intégrale de κ(x) sur toute sa largeur. Enfin, une expérience envoie un paquet d’ondes présentant une certaine dispersion en énergie. La transmission est alors moyennée sur cette distribution, ce qui estompe les résonances étroites situées au-dessus du sommet.

Au-delà de 0,4 nm, chaque augmentation de 0,1 nm de la distance divise le courant par 8,8 🖖

Cliquez sur Jonction STM. L’électron se trouve 4,5 eV sous le sommet de la barrière, soit environ le travail d’extraction d’un métal, et la jonction mesure 0,5 nm. Élargissez-la de 0,1 nm : T est divisé par 8,789. L’approximation de la barrière épaisse, e^{2κ × 0,1 nm}, donne 8,790. Le tableau sous les résultats retrouve le même facteur à chaque largeur à partir de 0,4 nm, à 0,3 % près. Seuls les premiers pas donnent un facteur plus faible, notamment 7,293 entre 0,1 et 0,2 nm, car une barrière aussi mince ne l’est pas encore en unités de 1/κ. Gerd Binnig, Heinrich Rohrer et leurs collègues du laboratoire de recherche IBM de Zurich ont fondé le microscope à effet tunnel sur cette sensibilité et publié leurs résultats en 1982. Lorsque le courant est maintenu constant pendant le balayage, la hauteur de la pointe doit épouser le relief de la surface. Un atome situé 0,2 nm plus loin, soit deux pas plus bas dans le tableau, porte environ 77 fois moins de courant : celui-ci passe donc presque entièrement par l’unique atome au sommet de la pointe. Le facteur 8,8 ne dépend pas non plus de E. Faites varier E et U ensemble en maintenant U − E à 4,5 eV : il reste égal à 8,79, puisque κ = √(2m(U − E))/ħ ne dépend que de leur différence.

Un proton traverse la barrière environ 10⁶⁶ fois moins souvent qu’un électron 🖖

Cliquez sur Électron, 0,5 eV, puis sur Proton, 0,5 eV : même énergie, même barrière de 1 eV, même largeur de 0,5 nm. L’électron la franchit dans 10,14 % des cas. Pour le proton, 1 836 fois plus lourd, la probabilité n’est que de 1,535×10⁻⁶⁷. La masse intervient sous une racine carrée dans κ : le κa du proton vaut donc seulement √1 836 ≈ 42,85 fois celui de l’électron, soit 77,62 contre 1,811. Mais κa figure dans une exponentielle, et e^−2κa transforme un facteur 43 en 66 ordres de grandeur. Le muon, dont la masse vaut 206,8 masses d’électron, occupe une position intermédiaire avec 9,530×10⁻²³ ; le tableau sous la progression réunit les trois particules. L’effet tunnel n’est donc pas une propriété générale des objets microscopiques. Il favorise les particules légères et les barrières minces : réglez la largeur sur 0,05 nm et le T du proton monte à 7,252×10⁻⁷.

Au-dessus de la barrière, 46 % sont encore réfléchis 🖖

Cliquez sur 1,2 eV, barrière 1 eV. L’électron possède 20 % d’énergie de plus que la hauteur de la barrière ; en mécanique classique, il la franchirait à chaque fois. La page donne T = 53,64 %. La réflexion provient des bords. En x = 0, la longueur d’onde passe brusquement de 1,120 nm à l’extérieur à une valeur plus grande à l’intérieur. Toute discontinuité du milieu renvoie une partie de l’onde, comme le verre réfléchit une petite fraction de la lumière qui y pénètre. Les réflexions produites par le bord avant et le bord arrière interfèrent. Lorsque la barrière contient un nombre entier de demi-longueurs d’onde, qa = nπ, elles s’annulent exactement et T = 1. Cela se produit pour E − U = n²h²/(8ma²), les niveaux d’énergie d’une <a href="/phy/particle-in-a-box">particule dans une boîte</a> aussi large que la barrière. Cliquez sur Niveau de la boîte : pour une barrière de 1 nm, E − U = 0,376 eV, valeur du niveau fondamental d’un électron dans une boîte de 1 nm, et T = 100,00 %. Sur le graphique en fonction de l’énergie, des lignes en pointillés repèrent ces niveaux ; la courbe atteint 1 sur chacun d’eux.

Problème entièrement résolu

Quelle hauteur de marche un microscope à effet tunnel peut-il distinguer ? 4 étapes
L’électronique d’un microscope à effet tunnel maintient le courant tunnel constant à 2 % près. L’énergie de l’électron se situe 4,5 eV sous le sommet d’une barrière large de 0,5 nm. À quelle variation de la distance correspond une variation du courant de 2 % ? Appuyez sur Distance STM pour commencer.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. La page affiche la constante d’atténuation à l’intérieur de la barrière. Mesurée en unités de 1/κ, celle-ci est épaisse :
  
  $κ = \frac{2 m _{e} \times 4 . 5 eV}{ℏ} = 10.87 n m^{- 1}, κa = 5.434$
2. À cette épaisseur, T est égal au produit de e^−2κa par un préfacteur indépendant de a. Comme le courant suit T, ln T décroît linéairement avec a :
  
  $T \approx \frac{16 E ( U - E )}{U ^{2}} e^{- 2 κa} \Rightarrow ln T = ln \frac{16 E ( U - E )}{U ^{2}} - 2 κa$
3. Réduire la distance de Δa augmente le courant de 2 %, donc ln T de ln 1,02 :
  
  $Δ a = \frac{ln 1 . 02}{2 κ} = \frac{0 . 019803}{21 . 736 n m ^{- 1}} = 9.111 \times 1 0^{- 4} nm = 0.9111 pm$
4. La résolution de la formule exacte pour obtenir le même facteur 1,02 donne, au lieu de l’approximation, le même résultat à quatre chiffres significatifs :
  
  $T (a + Δ a) = \frac{T ( a )}{1 . 02} (exact formula) \Rightarrow Δ a = 0.9111 pm$
Réponse

Une variation de 0,9111 pm de la distance modifie le courant de 2 %. C’est un cinquante-huitième du rayon de Bohr, qui vaut 52,92 pm, avec une électronique qui ne fait rien de plus subtil que maintenir un courant constant. La pointe n’a pas besoin d’être aussi fine : il suffit que son atome terminal soit plus proche de l’échantillon que ses voisins, car le courant dépend presque entièrement de la distance entre cet atome et la surface. Un microscope à effet tunnel peut ainsi suivre le relief d’une surface sur une fraction minuscule de la hauteur d’un atome.

$Δ a = 0.9111 pm \approx \frac{a _{0}}{58}, a_{0} = 52.92 pm$

Parcours

Mécanique quantique : la matière comme onde

Références (3)

The rectangular barrier solved exactly, with the reflection and transmission probabilities for E below the top in closed form, the same formula this page evaluates: R. Fitzpatrick, "Square Potential Barrier", in Quantum Mechanics (lecture notes), Department of Physics, University of Texas at Austin, 2010.
The first scanning tunnelling microscope, which turned the exponential dependence of the tunnelling current on the gap into a picture of a surface: G. Binnig, H. Rohrer, Ch. Gerber and E. Weibel, "Surface Studies by Scanning Tunneling Microscopy", Physical Review Letters 49, 57–61 (1982).
The constants: the Planck constant and the elementary charge, exact in the SI, and the electron, muon and proton masses: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018", Reviews of Modern Physics 93, 025010 (2021); values as printed on NIST's CODATA 2018 wall chart.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.