Raies spectrales de l'hydrogène et formule de Rydberg

Choisissez une série et une transition pour voir où l'hydrogène place ses raies, et combien d'entre elles votre œil peut réellement percevoir.

Exemple résolu — Raies spectrales de l'hydrogène et formule de Rydberg

Longueur d'onde (vide)	656,47 nm
Énergie du photon	1,889 eV
Longueur d'onde dans l'air	656,29 nm
Bande	Visible
Limite de série (vide)	364,71 nm
Énergie limite	3,400 eV
Raies dans cette fenêtre (toutes séries)	7

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Leçon

La théorie — Raies spectrales de l'hydrogène et formule de Rydberg

L'électron de l'hydrogène ne peut se trouver qu'à certaines énergies, et un saut entre deux d'entre elles émet ou absorbe un photon transportant très exactement la différence : E = hc/λ. Une série correspond à l'ensemble des sauts aboutissant au même niveau inférieur (Lyman sur n = 1, Balmer sur n = 2, Paschen sur n = 3). C'est la raison pour laquelle les raies forment des familles qui se resserrent vers une limite au lieu de se répartir uniformément.

Ce que signifie chaque symbole

n₁: le niveau inférieur, celui qui donne son nom à la série
n₂: le niveau supérieur depuis lequel l'électron retombe
R∞: la constante de Rydberg, le seul nombre mesuré de toute la formule

Suppose: Un seul électron et un noyau au repos, raison pour laquelle la même formule exige une correction pour le deutérium et une constante différente pour l'hélium. La page vous indique une longueur d'onde dans le vide et une longueur d'onde dans l'air séparément, car l'air ralentit la lumière d'environ un pour 3 700 : une raie cataloguée depuis le sol et une cataloguée depuis un satellite sont la même raie avec des nombres différents.

Deux entiers et une constante vous donnent le spectre entier 🖖

Les quatre raies brillantes qu'un spectroscope de lycée extrait de l'hydrogène proviennent d'un électron tombant au niveau n₁ = 2 depuis n₂ = 3, 4, 5 et 6. Dans le vide, elles se situent à 656,47, 486,27, 434,17 et 410,29 nm : rouge, cyan, bleu, violet. La constante de Rydberg fixe l'échelle et les deux entiers choisissent la raie. Rien d'autre n'intervient. Un spectrographe terrestre lit 656,29 nm pour la première d'entre elles, car l'indice de réfraction de l'air raccourcit la longueur d'onde, et la ligne Longueur d'onde dans l'air affiche aussi cette valeur.

Sélectionnez n₁ = 1 et ne touchez à rien d'autre. Un seul entier change, et la raie que vous regardiez passe de 656,47 nm à 102,57 nm : même atome, même formule, plus rien ne reste dans le visible. La ligne Bande indique Ultraviolet pour chaque valeur de n₂ que vous pouvez choisir. Descendez n₂ à 2 et vous obtenez Lyman-alpha à 121,57 nm. C'est la raie la plus longue de cette série et elle s'arrête à 258 nm du violet. La ligne Longueur d'onde dans l'air reste vide en permanence. L'oxygène moléculaire absorbe l'intégralité de la série de Lyman ; il n'y a donc aucune longueur d'onde dans l'air à citer, et ces raies se mesurent au-dessus de l'atmosphère.

Le nombre de raies que vous pouvez voir dépend de votre œil 🖖

Cinq raies, pour une bordure de fenêtre à 390 nm. Faites glisser cette bordure jusqu'à 380 et la ligne de compte affiche 7. Poussez-la jusqu'à 370, passez « Afficher les raies jusqu'à n₂ = » à 16, et vous en obtenez 14. Toutes appartiennent à Balmer : rien d'autre dans l'hydrogène ne tombe dans cette fenêtre, car Lyman s'achève à 91,18 nm et aucune raie de Paschen n'est plus courte que 820,59 nm.

Les raies s'accumulent contre la limite de Balmer à 364,71 nm, et il n'y a pas de dernière raie. Entre 365 et 750 nm, l'hydrogène place 68 raies, nécessitant un n₂ allant jusqu'à 70. L'outil en dessine 40 au maximum, son compte s'arrête donc à 38. Les autres sont toujours là, tassées dans le dernier nanomètre.

La limite de série est une énergie d'ionisation 🖖

Avec Balmer sélectionné, la ligne Énergie limite indique 3,400 eV. Sélectionnez n₁ = 1 et elle affiche 13,598 eV, ce qui correspond à l'énergie d'ionisation de l'hydrogène depuis l'état fondamental : le travail nécessaire pour amener l'électron de n = 1 à l'état libre. La limite de série représente cette même quantité, lue sous forme de photon.

Le facteur entre elles vaut quatre, et il est exact plutôt que mesuré. L'énergie limite s'écrit hcR_H/n₁². Passer de n₁ = 2 à n₁ = 1 la multiplie donc par 2². La ligne affiche trois décimales, si bien que diviser ce que vous voyez donne 3,9994 ; l'exactitude réside dans la formule, non dans l'arrondi.

Au-delà de la limite, il n'y a plus de raies. Observez le bord en pointillés ambre sur la bande pendant que vous augmentez n₂ : les barres s'y agglutinent depuis le côté des grandes longueurs d'onde et ne le franchissent jamais. Un photon transportant plus de 3,400 eV peut toujours être absorbé par un atome situé à n = 2, mais il l'ionise au lieu de promouvoir l'électron. L'excédent devient l'énergie cinétique de l'électron libre, qui peut prendre n'importe quelle valeur. La palissade de raies se transforme alors en une bande continue.

Problème entièrement résolu

Une raie, et le photon qui va un peu plus loin 7 étapes
Un spectre de l'hydrogène en laboratoire montre une raie à 486,13 nm, mesurée dans l'air. Identifiez la transition. Déterminez ensuite si un photon de 3,00 eV pourrait ioniser un atome d'hydrogène se trouvant déjà dans ce même niveau inférieur, et décrivez ce qu'un photon de 4,00 eV ferait à la place.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. La formule de Rydberg comporte deux entiers et vous en connaissez déjà un. Une raie visible de l'hydrogène signifie que l'électron a atterri sur n₁ = 2, votre seule inconnue est donc le niveau d'où il est tombé.
  
  $\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{n _{1}^{2}} - \frac{1}{n _{2}^{2}}), n_{1} = 2$
2. Avant d'inverser quoi que ce soit, traitez le milieu. Ces 486,13 nm ont été mesurés dans l'air. L'air ralentit la lumière, la raie arrive donc plus courte qu'elle n'est partie. La formule s'écrit pour le vide. Multipliez par l'indice de réfraction, 1,0002763, et vous obtenez 486,266 nm. Sautez cette étape et le calcul ci-dessous renvoie 4,0018, ce qui n'est ni un entier ni une transition.
  
  $λ = n_{air} λ^{'} = 1.0002763 \times 486.13 = 486.266 nm$
3. Maintenant, réarrangez. 1/λ = R_H(1/4 − 1/n₂²) devient 1/n₂² = 0,25 − 1/(λR_H), et la longueur d'onde dans le vide vous restitue n₂ = 4,0000989.
  
  $\frac{1}{n _{2}^{2}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{λ R _{H}} = 0.25 - \frac{1}{486.266 \times 1 0 ^{- 9} \times 1.09677576 \times 1 0 ^{7}}$
4. Il vaut 4, et les décimales méritent un instant d'attention car elles sont trompeuses. Ce n'est pas le modèle de Rydberg qui atteint ses limites : passez la valeur dans l'air non arrondie de l'outil, soit 486,138 nm, dans les trois mêmes lignes de calcul et n₂ ressort à 4,0000000. Le 0,0000989 découle de l'arrondi à deux décimales de la valeur 486,13 qu'on vous a fournie. Le modèle possède bien sa propre limite, autour d'une partie pour 10⁵. Elle vient de la structure fine et du décalage de Lamb qu'il ignore. Vous ne pouvez pas la voir à cette précision.
  
  $n_{2} = 4.0000989 \Rightarrow n_{2} = 4 (λ^{'} = 486.138 \Rightarrow n_{2} = 4.0000000)$
5. Passons à l'énergie. E = hc/λ sur la longueur d'onde dans le vide donne 2,550 eV, et la ligne Énergie du photon le confirme. Cela représente un photon de cette raie : ce que l'atome émet en tombant de n = 4 à n = 2, ou absorbe en faisant le chemin inverse. Ce n'est pas le coût pour arracher l'électron.
  
  $E = \frac{h c}{λ} = 2.550 eV$
6. L'arracher correspond à la limite de série. Laissez n₂ tendre vers l'infini. Le terme 1/n₂² s'annule, et il reste hcR_H/n₁², qui pour n₁ = 2 vaut 3,400 eV. La ligne Énergie limite l'affiche. Chaque raie de Balmer transporte moins que cela, et elles s'y agglutinent toutes sans jamais l'atteindre.
  
  $E_{\infty} (n_{1} = 2) = \frac{h c R _{H}}{2 ^{2}} = 3.400 eV$
7. Le photon de 3,00 eV échoue donc, et il échoue de 0,400 eV. Il n'y a aucun état à cette énergie où l'électron pourrait atterrir, et pas assez d'énergie non plus pour le libérer. L'atome reste où il est et le photon passe son chemin.
  
  $3.00 eV < 3.400 eV$
Réponse

La raie est n = 4 → 2, la deuxième raie de la série de Balmer, H-bêta à 486,27 nm dans le vide et 486,14 nm dans l'air, transportant 2,550 eV. Un photon de 3,00 eV ne peut pas ioniser depuis n = 2, car cela coûte 3,400 eV. Un photon de 4,00 eV le peut, et les 0,600 eV restants deviennent l'énergie cinétique de l'électron libéré. C'est ici que le spectre de raies s'arrête et qu'un continuum commence, puisque cet excédent peut prendre n'importe quelle valeur.

$E_{kin} = 4.00 - 3.400 = 0.600 eV$

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.