Raies d'absorption et d'émission

Réglez la température de la source, celle du gaz et la profondeur optique pour voir la même raie spectrale s'assombrir, briller ou disparaître.

Exemple résolu — Raies d'absorption et d'émission

Luminance du continu	2,24 × 10¹³ W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Luminance propre du gaz	7,55 × 10¹² W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Transmise par le gaz	8,25 × 10¹² W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Émise par le gaz	4,77 × 10¹² W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Luminance observée de la raie	1,30 × 10¹³ W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Différence de luminance	-1,49 × 10¹³ W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Contraste	-9,40 × 10¹² W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Contraste par rapport au continu	-41,9 %

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Raies d'absorption et d'émission

Une raie spectrale est une longueur d'onde à laquelle un gaz absorbe et émet bien plus efficacement qu'aux longueurs d'onde voisines. Placez ce gaz devant un objet. Deux phénomènes se produisent à la fois : il atténue la lumière venue de l'arrière d'un facteur e^−τ, et il y ajoute sa propre lumière. Ce que vous observez est la somme, I = I_sourcee^−τ + B(T_gas)(1 − e^−τ). C'est la même équation, que la raie apparaisse sombre ou brillante.

Ce que signifie chaque symbole

τ: épaisseur optique : la quantité de lumière arrière qui survit à la traversée du gaz, sous la forme de e puissance moins τ
B(T): la brillance qu'émet un corps à la température T à cette longueur d'onde

Suppose: Une seule raie, une seule couche de gaz à une température unique, et l'équilibre thermodynamique local : le gaz émet comme un corps à sa propre température. La température d'une véritable atmosphère stellaire varie avec la profondeur. C'est ce qui donne aux raies réelles leur forme complexe, plutôt qu'une unique profondeur.

Sombre ou brillante, c'est l'arrière-plan qui décide 🖖

La page s'ouvre sur le Soleil : une source à 5772 K, un nuage d'hydrogène à 4500 K placé devant, une profondeur optique de 1 et la raie H-alpha à 656,28 nm. Le pourcentage affiché indique -41,9 %, et la raie est sombre. Faites glisser le curseur du gaz jusqu'à 8000 K. Le résultat passe à +127,0 %. Cette même raie brille désormais davantage que le continu de part et d'autre. Rien n'a pourtant changé dans l'hydrogène. Fraunhofer a cartographié les raies sombres du Soleil en 1814 sans pouvoir en identifier la nature ; Kirchhoff a su le faire en 1859. Les lignes ci-dessous constituent sa réponse.

Les raies sombres du Soleil ne révèlent rien de plus. Le gaz qui les produit se trouve à près de 4500 K, une température suffisante pour fondre le tungstène, notre métal le plus réfractaire. Il apparaît sombre uniquement parce que la photosphère située en dessous est encore plus chaude. Replacez le gaz à 4500 K et abaissez plutôt le curseur de la source à 4000 K : la valeur indique +53,4 %. Le nuage que vous preniez pour un absorbeur se met à rayonner, alors que personne n'y a touché.

À une température précise, la raie s'efface totalement 🖖

Il existe une seule température du gaz pour laquelle la raie s'efface totalement, et c'est celle de la source elle-même. Faites glisser le curseur du gaz jusqu'à l'égaler à 5772 K, ou cliquez sur l'exemple de la raie invisible. La ligne Contraste affiche 0, et la ligne Contraste par rapport au continu juste en dessous indique 0,0 %. Il ne s'agit pas d'un résidu à la quinzième décimale, ni d'une valeur trop infime pour être tracée : c'est un zéro parfait.

Ce résultat reste nul, quels que soient vos autres réglages. Poussez τ jusqu'à 5. Le nuage est alors assez épais pour remplacer presque toute la lumière située derrière lui. Parcourez ensuite l'ensemble des longueurs d'onde de 100 nm à 2000 nm : rien n'apparaît.

La loi du rayonnement thermique de Kirchhoff en est la cause. En équilibre thermodynamique local, l'hypothèse sur laquelle repose ce modèle, un gaz émet à chaque longueur d'onde de façon exactement proportionnelle à ce qu'il y absorbe. Une seule et même température régit ces deux processus. Alignez cette température sur celle de la source, et le nuage restitue très exactement ce qu'il prélève. Il absorbe intensément et émet avec la même intensité. Le spectre qui vous parvient ne garde aucune trace de sa présence.

La profondeur optique fixe l'amplitude, jamais le signe 🖖

Replacez le gaz à 4500 K sous la source à 5772 K et promenez le curseur de τ sur toute sa plage. À son minimum de 0,01, le pourcentage affiché est de -0,7 %. À son maximum de 5, il atteint -65,9 %. Le centre de la raie a perdu les deux tiers de la luminosité du continu. Entre ces deux extrêmes, chaque valeur reste négative. La raie se creuse continuellement sans jamais croiser le zéro.

La profondeur optique n'intervient dans le contraste que par le facteur (1 − e^(−τ)). C'est la fraction de la lumière de la source que le nuage intercepte et remplace par la sienne. Cette proportion grimpe de presque rien vers 1 et ne devient jamais négative. Elle ne fait qu'ajuster l'échelle du contraste, sans jamais en affecter le signe. Ce sont les températures qui en détiennent le contrôle.

Regardez les chiffres plutôt que l'image lorsque vous déplacez le curseur. Le panneau du spectre adapte son échelle à la raie qu'il trace. Ainsi, le creux le plus infime et la cavité la plus profonde sont dessinés exactement à la même taille.

Problème entièrement résolu

La profondeur de la raie et la température requise pour le gaz 7 étapes
La lumière quitte une photosphère à 5772 K et traverse une couche de la propre atmosphère de cette étoile à 4500 K. Cette couche présente une profondeur optique de un pour la raie H-alpha, située à 656,28 nm dans l'air. Calculez à quelle distance sous le continu se situe le cœur de la raie. Ensuite, lisez la même physique à l'envers : une deuxième étoile, possédant la même surface à 5772 K et la même profondeur optique, affiche son cœur H-alpha à 25,0 % sous son continu. Quelle est la température du gaz responsable de cette absorption ?

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. La loi de Planck exige un exposant avant toute autre chose. À une longueur d'onde fixe, cet exposant correspond à une constante divisée par une température. À 656,28 nm, hc/λk équivaut à 21923,2 K. L'exposant de la source est donc de 21923,2/5772 = 3,7982. Insérez cette valeur et la luminance du continu ressort à 2,24 × 10¹³ W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹. C'est exactement ce qu'affiche la ligne Luminance du continu.
  
  $I_{0} = \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5} ( e ^{h c / λk T_{0}} - 1 )} = \frac{1.19104 \times 1 0 ^{- 16}}{( 6.5628 \times 1 0 ^{- 7} ) ^{5} ( e ^{3.7982} - 1 )} = 2.24 \times 1 0^{13}$
2. Le gaz obéit à la même loi à sa propre température. Le calcul donne 21923,2/4500 = 4,87183. Cet exposant plus grand engendre un dénominateur plus important, et donc une luminance moindre : 7,55 × 10¹². La ligne Luminance propre du gaz confirme ce résultat. Le sort de la raie est déjà scellé à ce stade, avant même que la profondeur optique n'intervienne. Une surface plus froide rayonne moins à toutes les longueurs d'onde. Le cœur ne peut donc que finir plus sombre que le continu.
  
  $B = \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5} ( e ^{h c / λk T} - 1 )} = \frac{1.19104 \times 1 0 ^{- 16}}{( 6.5628 \times 1 0 ^{- 7} ) ^{5} ( e ^{4.87183} - 1 )} = 7.55 \times 1 0^{12}$
3. Une couche de profondeur optique τ accomplit deux choses à la fois. Elle laisse passer une fraction e^−τ de la lumière située derrière elle, soit 0,36788 pour τ = 1. Elle remplace le reste par sa propre émission, soit 0,63212 de B. La part transmise de 8,25 × 10¹² ajoutée à la part émise de 4,77 × 10¹² donne 1,30 × 10¹³ dans la ligne Luminance observée de la raie. Ces deux nombres résument à eux seuls le transfert radiatif à travers une couche.
  
  $I = I_{0} e^{- τ} + B (1 - e^{- τ}) = 8.25074 \times 1 0^{12} + 4.77324 \times 1 0^{12} = 1.30 \times 1 0^{13}$
4. Le contraste représente ce que l'observateur voit moins ce qu'il aurait vu en l'absence de gaz. Écrivez-le de la même manière que la ligne Contraste, sous la forme (B − I₀)(1 − e^−τ). La soustraction a ainsi lieu avant la mise à l'échelle, et deux températures égales s'annulent pour donner un zéro net. Le produit de −1,48767 × 10¹³ par 0,63212 donne −9,40 × 10¹².
  
  $Δ I = (B - I_{0}) (1 - e^{- τ}) = - 1.48767 \times 1 0^{13} \cdot 0.63212 = - 9.40 \times 1 0^{12}$
5. Divisez par le continu et la profondeur s'établit à 41,9 %. La ligne du dessous, Disparition de la raie à, affiche 5772 K. Ce chiffre est rigoureusement exact et non pas une simple approximation : à la température même de la source, l'expression B − I₀ revient à soustraire un nombre à lui-même. Le contraste est donc nul à toutes les longueurs d'onde et pour toute profondeur optique. Un nuage épais porté à la bonne température reste totalement invisible. C'est pourquoi la profondeur et le sens d'une raie constituent deux questions bien distinctes.
  
  $\frac{Δ I}{I _{0}} = \frac{- 9.40386 \times 1 0 ^{12}}{2.24278 \times 1 0 ^{13}} = - 0.419, Δ I = 0 ⟺ T = T_{0} = 5772 K$
6. Considérez maintenant la mesure que vous obtenez réellement d'un télescope : une simple profondeur, rien d'autre. Appelons d la profondeur fractionnelle, de sorte que d = −ΔI/I₀ = (1 − B/I₀)(1 − e^−τ). Résolvez cette équation pour trouver la luminance du gaz plutôt que la profondeur : B = I₀(1 − d/(1 − e^−τ)). Avec d = 0,250 et τ = 1, la parenthèse vaut 1 − 0,395495 = 0,604505, et vous trouvez B = 1,3558 × 10¹³. L'outil ne franchira pas cette étape à votre place.
  
  $d = (1 - \frac{B}{I _{0}}) (1 - e^{- τ}) \Rightarrow B = I_{0} (1 - \frac{d}{1 - e ^{- τ}}) = 2.24278 \times 1 0^{13} \times 0.604505 = 1.3558 \times 1 0^{13}$
7. Une inversion supplémentaire et la température s'impose d'elle-même. Transformez B = 2hc²/(λ⁵(eˣ − 1)) pour obtenir eˣ = 1 + 2hc²/(λ⁵B), ce qui donne 73,158. Vous en déduisez x = ln 73,158 = 4,2926. Depuis le début, l'exposant correspondait à 21923,2/T, d'où T = 21923,2/4,2926 = 5107 K. Placez le curseur de la température du gaz sur cette valeur, et la ligne Contraste par rapport au continu affiche −25,0 %.
  
  $e^{x} = 1 + \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5} B} = 73.158 \Rightarrow x = 4.2926, T = \frac{h c}{λk x} = \frac{21923.2}{4.2926} = 5107 K$
Réponse

La couche à 4500 K abaisse le cœur de H-alpha à 41,9 % sous le continu, l'amenant à 1,30 × 10¹³ face à un continu de 2,24 × 10¹³. Prenez la deuxième étoile à l'envers : son cœur à 25,0 % exige un gaz à 5107 K, soit à peine 665 K de moins que la surface située derrière lui. Cette inversion vous indique aussi quand cesser de vous y fier. Laissez le gaz chuter vers le zéro absolu, et B tombe à zéro avec lui. Par conséquent, le cœur le plus profond qu'une profondeur optique de 1 puisse générer vaut 1 − e⁻¹, soit 63,2 % du continu. Mesurez une raie atteignant 70 % de profondeur et aucune température du gaz n'y correspond : le nuage doit en réalité être plus épais.

$T = \frac{h c / λk}{ln ( 1 + \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5} I _{0} ( 1 - d / ( 1 - e ^{- τ} ) )} )} = 5107 K$

Références (1)

Who drew the Sun's dark lines, and who explained them: J. Fraunhofer, "Bestimmung des Brechungs- und des Farbenzerstreuungs-Vermögens verschiedener Glasarten." Denkschriften der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu München 5, 1814–15, pp. 193–226. G. Kirchhoff, "Über den Zusammenhang zwischen Emission und Absorption von Licht und Wärme." Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1859, pp. 783–787.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.