Élargissement des raies spectrales

Définissez une température, un élément et une vitesse de rotation pour observer lequel des deux élargit le plus une raie spectrale.

Exemple résolu — Élargissement des raies spectrales

Demi-largeur thermique (1/e)	2,1779 × 10⁻² nm
Demi-largeur rotat. (limbe)	0 nm
Demi-largeur combinée	2,1779 × 10⁻² nm
FWHM combinée	3,6265 × 10⁻² nm
Rapport des largeurs thermiques Hydrogène / Fer	7,443

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Élargissement des raies spectrales

Une raie spectrale n'a pour ainsi dire aucune largeur propre. Celle que vous mesurez correspond à la dispersion des décalages Doppler subis par les atomes émetteurs. La chaleur imprime à chaque atome une vitesse aléatoire le long de votre ligne de visée. Par ailleurs, la rotation précipite un limbe entier de l'étoile dans votre direction tout en éloignant le limbe opposé. Ces deux phénomènes élargissent la même raie pour former le profil unique qui vous parvient. Sa largeur à mi-hauteur est précisément la valeur que calcule cette page.

Ce que signifie chaque symbole

FWHM: la largeur de la raie à l'endroit où sa profondeur vaut la moitié de sa profondeur centrale
v sin i: la vitesse de rotation que vous pouvez réellement observer, et qui masque l'inclinaison de l'axe

Suppose: Une distribution maxwellienne des vitesses thermiques, ainsi qu'une étoile tournant comme un corps solide. Aucune de ces hypothèses n'est rigoureusement exacte. Une étoile réelle tourne plus rapidement à son équateur qu'à ses pôles. Quant aux deux largeurs présentées ici, elles ne s'additionnent en quadrature que parce que les deux profils approchent une distribution gaussienne.
Ne tient plus quand: À haute densité, là où aucun des mécanismes décrits sur cette page n'entre en jeu. Les collisions avec les particules environnantes interrompent l'émission. Elles élargissent la raie dans des proportions qui dépendent de la pression. C'est d'ailleurs ainsi que l'on distingue une naine blanche d'une géante de même température, un effet qui n'est absolument pas modélisé ici.

La raie de l'hydrogène est 7,443 fois plus large que celle du fer 🖖

Un gaz à 6000 K, une raie à H-α, deux éléments. La demi-largeur thermique à 1/e de l'hydrogène affiche 2,1779 × 10⁻² nm ; cliquez sur Fer et la même raie dans le même gaz affiche 2,9261 × 10⁻³ nm. La ligne du rapport indique 7,443, et cette valeur restera fixe. Déplacez la température où vous le souhaitez entre 1000 K et 50 000 K, balayez toute la plage visible avec la longueur d'onde. Les deux courbes s'élargissent et s'affinent de concert pendant que ce nombre reste immobile.

La température intervient par √T et la longueur d'onde par λ. Ces deux termes multiplient les deux largeurs de façon identique, ils s'annulent donc lors de la division. Il ne reste que √(55,845/1,008) = 7,443, soit uniquement la racine carrée du rapport des masses. Un atome de fer est 55 fois plus lourd qu'un atome d'hydrogène. Il possède la même énergie cinétique à 6000 K, se déplace donc 7,443 fois plus lentement le long de votre ligne de visée, et décale son photon par effet Doppler 7,443 fois moins loin.

La largeur sert de thermomètre et opère à distance 🖖

Δλ = λ·√(2kT/(A·u·c²)) ne contient qu'une seule inconnue. Les constantes restent des constantes, λ se lit directement sur le spectre, et A provient du tableau périodique. Résolvez cette équation pour T et la largeur mesurée d'une raie vous livre la température du gaz qui l'a émise. C'est dans ce sens que travaille la véritable spectroscopie.

Observez ce principe en action sur le curseur. À 6000 K, la demi-largeur de l'hydrogène affiche 2,1779 × 10⁻² nm ; glissez jusqu'à 24 000 K et elle passe à 4,3559 × 10⁻² nm, soit exactement le double, puisque la largeur évolue avec √T. Vous obtenez en retour la température cinétique des atomes qui ont produit cette raie, à condition que l'agitation thermique détermine seule sa largeur. Sur cette page, cela signifie que le curseur de rotation reste à 0. La turbulence et la pression élargissent également les raies, et un spectroscopiste tient compte des deux avant de faire confiance au résultat. Prise dans l'autre sens, T évolue comme le carré de la largeur. Une largeur mesurée avec un excès de 1 % indique donc un gaz 2 % trop chaud.

La rotation l'emporte sur la chaleur à 9,95 km/s, le fer à 1,34 km/s 🖖

Ces deux mécanismes étirent la raie proportionnellement à λ : l'agitation thermique par √(2kT/(A·u·c²)), la rotation par v·sin i / c. Égalez les deux termes et la longueur d'onde disparaît. Il ne reste qu'une vitesse qui dépend uniquement de la température et du nombre de masse. À 6000 K, elle s'établit à 9,95 km/s pour l'hydrogène et à 1,34 km/s pour le fer. Le volet thermique porte le 1/√A, cette vitesse de croisement le conserve donc également. Celle de l'hydrogène vaut √(55,845/1,008) = 7,443 fois celle du fer. Vous retrouvez le même chiffre que le rapport des largeurs, pour la même raison.

Sélectionnez le fer et augmentez la vitesse de rotation à partir de 0. Dès 2 km/s, la rotation domine déjà la raie du fer ; l'hydrogène résiste jusqu'à 10. À 50 km/s, la largeur rotationnelle atteint 1,0946 × 10⁻¹ nm, soit cinq fois la largeur thermique de l'hydrogène. Les deux profils sur le graphique se superposent presque parfaitement. Tous deux signalent désormais la rotation de l'étoile, et aucun n'indique sa température. L'outil représente l'étoile vue par la tranche, sin i = 1. Une étoile inclinée vers son pôle conserve ses largeurs thermiques mais perd sa composante rotationnelle.

Problème entièrement résolu

Une largeur que vous pouvez mesurer, et une température qui vous échappe 6 étapes
Une étoile de type A à 9600 K tourne suffisamment vite pour que v sin i = 150 km/s. Prenez sa raie H-gamma, située à 434,05 nm dans l'air, et calculez la pleine largeur à mi-hauteur que vous obtiendriez. Faites ensuite ce qu'un spectre vous invite silencieusement à faire : interprétez toute cette largeur comme de l'agitation thermique, et regardez quelle température vous est renvoyée.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. L'élargissement thermique débute avec la vitesse d'un seul atome le long de la ligne de visée. Un gaz de Maxwell-Boltzmann donne à la raie un profil gaussien de largeur λ√(2kT/(Auc²)), et cette largeur correspond à la demi-largeur à 1/e. Il ne s'agit ni de l'écart-type, plus petit d'un facteur √2, ni de la FWHM, plus grande d'un facteur 1,6651. La ligne s'intitule Demi-largeur thermique (1/e) pour que vous ne puissiez pas vous tromper sur ce qui est proposé. Pour l'hydrogène à 9600 K, le radicande vaut 1,76211 × 10⁻⁹, sa racine carrée 4,19775 × 10⁻⁵, et 434,05 nm multipliés par cette valeur donnent 1,8220 × 10⁻² nm.
  
  $Δ λ_{th} = λ \frac{2 k T}{A u c ^{2}} = 434.05 nm \times 1.76211 \times 1 0^{- 9} = 1.8220 \times 1 0^{- 2} nm$
2. La rotation élargit la même raie par un mécanisme totalement différent. Le limbe qui s'approche subit un décalage vers le bleu de λ v sin i / c et le limbe fuyant un décalage vers le rouge d'une valeur identique. Le profil s'étale sur toute cette plage. 150 km/s divisés par c = 2,99792458 × 10⁵ km/s donnent 5,00346 × 10⁻⁴. Cette valeur multipliée par 434,05 nm donne 2,1718 × 10⁻¹ nm. Remarquez ce que l'outil a supposé pour vous : i = 90°, vue par la tranche, sin i = 1. Une étoile observée plus près du pôle dissimule une partie de sa rotation, et aucune mesure d'une seule raie ne vous indiquera dans quelle situation vous vous trouvez.
  
  $Δ λ_{rot} = \frac{λ v sin i}{c} = \frac{434.05 nm \times 150 km/s \times sin 9 0 ^{\circ}}{2.99792458 \times 1 0 ^{5} km/s} = 2.1718 \times 1 0^{- 1} nm$
3. Additionnez les deux en quadrature. Ce calcul est exact pour une paire de gaussiennes. Comme le noyau de rotation n'est pas une gaussienne, l'outil le remplace par une gaussienne de même demi-largeur à 1/e, tout en étant transparent sur les quelques pour cent d'erreur que cela implique. √((1,8220 × 10⁻²)² + (2,1718 × 10⁻¹)²) = 2,1794 × 10⁻¹ nm. Observez la contribution du terme thermique : la largeur combinée dépasse de 0,35 % celle de la rotation seule.
  
  $Δ λ = Δ λ_{th}^{2} + Δ λ_{rot}^{2} = (1.8220 \times 1 0^{- 2})^{2} + (2.1718 \times 1 0^{- 1})^{2} = 2.1794 \times 1 0^{- 1} nm$
4. La valeur que cite un spectroscopiste est la FWHM. Pour un profil de la forme exp(−(x/Δλ)²), celle-ci correspond à 2√(ln 2) fois la demi-largeur. 1,6651 × 2,1794 × 10⁻¹ = 3,6289 × 10⁻¹ nm, chiffre affiché sur la ligne FWHM combinée. Ramenez la vitesse de rotation à zéro et cette même ligne tombe à 3,0339 × 10⁻² nm, soit une raie douze fois plus fine, celle que cette étoile présenterait si elle cessait de tourner.
  
  $FWHM = 2 ln 2 Δ λ = 1.6651 \times (2.1794 \times 1 0^{- 1}) = 3.6289 \times 1 0^{- 1} nm$
5. La ligne Rapport des largeurs thermiques se maintient à 7,443 quoi que vous fassiez avec la température ou la longueur d'onde, car seul √(A_Fe/A_H) survit une fois le reste annulé. Cliquez maintenant sur Fer en gardant la rotation à 150 km/s. La largeur thermique du fer est bel et bien 7,443 fois plus étroite, à 2,4479 × 10⁻³ nm. Sa largeur combinée s'élève à 2,1719 × 10⁻¹ nm contre 2,1794 × 10⁻¹ pour l'hydrogène. Deux atomes dont la masse diffère d'un facteur 55, et les raies que vous mesureriez réellement diffèrent d'un tiers de pour cent.
  
  $\frac{Δ λ _{H}}{Δ λ _{Fe}} = \frac{A _{Fe}}{A _{H}} = \frac{55.845}{1.008} = 7.443$
6. Reconvertissez la largeur thermique en unités de vitesse pour voir où se situe le croisement. Δλ_th/λ correspond à v_th/c avec v_th = √(2kT/(Au)), ce qui donne 12,58 km/s pour l'hydrogène à 9600 K. La surface de l'étoile se déplace 11,92 fois plus vite que ses propres atomes ne bougent le long de la ligne de visée. En dessous d'environ 12,6 km/s, le terme thermique domine et la largeur mesure encore la température. Au-delà, la rotation prend le dessus et continue sur sa lancée.
  
  $v_{th} = \frac{2 k T}{A u} = 12.58 km/s, \frac{v sin i}{v _{th}} = \frac{150}{12.58} = 11.92$
Réponse

La raie mesure 3,6289 × 10⁻¹ nm à mi-hauteur. Fournissez cette largeur à la formule thermique comme si la rotation n'existait pas et elle vous renvoie 1,37 × 10⁶ K. La température se trouve en effet sous une racine carrée dans l'expression de la largeur, elle en ressort donc au carré : (2,1794 × 10⁻¹ / 1,8220 × 10⁻²)² = 143,1. Vous atterrissez sur 143,1 × 9600 K. Le curseur de température de l'outil s'arrête à 50 000 K, une limite vingt-sept fois trop basse. Ce qui sauve une véritable mesure, c'est que les deux mécanismes produisent des formes distinctes : une gaussienne d'un côté, un étalement presque elliptique de l'autre. Un bon ajustement de profil parvient donc à les séparer là où une simple largeur échouera toujours.

$T^{'} = \frac{( Δ λ / λ ) ^{2} A u c ^{2}}{2 k} = (\frac{Δ λ}{Δ λ _{th}})^{2} T = 143.1 \times 9600 K = 1.37 \times 1 0^{6} K$

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.