Laboratoire de démographie et d'économie

Modifiez les hypothèses démographiques et économiques et observez comment population, PIB par habitant, population active et pression budgétaire évoluent ensemble.

Valeurs de départ — Laboratoire de démographie et d'économie

Pays de référence	Personnalisé
Population initiale	15.2
Taux de natalité	0.95
Taux de mortalité	1.06
Migration nette	0.24
Part en âge de travailler	0.64
Taux d'activité	0.73
Chômage	0.062

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Leçon

La théorie — Laboratoire de démographie et d'économie

Le ratio de dépendance mesure le nombre de personnes que chaque actif soutient : les jeunes et les personnes âgées divisés par la population en âge de travailler. Cet indicateur importe car les recettes fiscales varient selon la part d’actifs, tandis que les retraites, la scolarité et la santé évoluent selon la part de personnes à charge — une même population peut donc croître tout en devenant plus lourde à financer sur le plan fiscal.

Ce que signifie chaque symbole

DR: le ratio de dépendance, affiché sous la forme DR = (old share + young share) / working share avec la substitution indiquée, et atteignant 0.525 dans la première ligne ici.
labour: la population active en millions — la part de la population à partir de laquelle l’assiette fiscale est calculée.
GDP/capita: la production par habitant, qui n’est pas la production par actif : l’augmentation du ratio de dépendance peut la faire baisser alors même que chaque actif gagne en productivité.
net fiscal: l’assiette fiscale moins le coût social — l’excédent ou le déficit qu’implique la projection pour chaque année.

Comment lire ce que vous voyez

Une ligne par année projetée, se lisant de gauche à droite de la cause à la conséquence : la population, puis la population active, puis la production, puis le ratio de dépendance, puis l’assiette fiscale et le coût social qu’il implique, et enfin la position fiscale nette. Le suivi d’une seule colonne au fil des ans révèle une tendance ; la lecture d’une ligne horizontale montre comment la démographie de cette année s’est traduite dans son budget.

Suppose: Des taux constants une fois définis — les taux de natalité, de mortalité, de migration et de productivité restent tous inchangés sur l’ensemble de la projection. C’est ce qui en fait un scénario plutôt qu’une prévision : dans le monde réel, les taux réagissent aux pressions mêmes que le tableau projette.
Ne tient plus quand: Les valeurs par défaut illustrent clairement le piège : le taux de natalité (0.95) est inférieur au taux de mortalité (1.06), mais la population continue de croître — car le solde migratoire compense la différence. Une population globale qui semble stable peut masquer le déclin de la cohorte autochtone, et le ratio de dépendance est la colonne qui le met en évidence. Les données de référence par pays proviennent de la Banque mondiale et sont chargées en direct (217 pays ici) ; le point de départ est donc réel, même si tout ce qui suit la première année repose sur des hypothèses.

Pourquoi cela ressemble à de la magie mathématique 🖖

La clé, c'est la décomposition : une même trajectoire finale du PIB peut provenir de moteurs très différents. Ce laboratoire sépare démographie, marché du travail, productivité et charge budgétaire pour rendre visibles les arbitrages. La dynamique démographique s'accumule lentement mais domine sur 45 ans — un taux de migration nette annuel de 0,3 % double l'effet d'un fort gain de productivité.

Production totale contre production par habitant 🖖

Ce laboratoire suit toujours le PIB par habitant, et pas seulement le PIB global. La production n'est le fait que des travailleurs, mais elle est partagée par tous les résidents — le total et le chiffre par habitant peuvent donc évoluer en sens inverse. Un pays dont la population croît plus vite que l'économie paraît globalement plus riche alors que chacun s'appauvrit. Observez les deux courbes s'écarter dès que la part de la population en âge de travailler diminue : c'est cet écart que le niveau de vie ressent réellement.

Une nation en déclin a une demi-vie 🖖

L'étape de population P_t+1 = P_t(1 + b − d + m) est une croissance géométrique pure — la même équation que les intérêts composés et la désintégration radioactive. Quand naissances plus migrations restent inférieures aux décès, le taux net devient négatif et la population décroît exponentiellement, demi-vie comprise. Un pays qui se contracte de 1 % par an a une demi-vie de population proche de 70 ans (la règle de 70) — le jumeau démographique de la courbe de désintégration d'un isotope.

Problèmes entièrement résolus

Taux de migration auquel une population avec 0,95 naissance cesse de croître 5 étapes
Ce scénario de référence enregistre 0,95 naissance et 1,06 décès pour 100 personnes par an, plus un solde migratoire net de 0,24. Les décès dépassent les naissances. Projetez néanmoins la population jusqu'en 2070, puis déterminez le taux de migration auquel le total cesse de croître.
1. Considérez d'abord les naissances et les décès isolément. Leur différence s'élève à −0,11 % par an, de sorte que, livrée à elle-même, cette population diminue, et rien plus loin dans le modèle ne vient changer ce signe.
  
  $r_{nat} = b - d = 0.95% - 1.06% = - 0.11% y r^{- 1}$
2. La migration intervient dans la même somme avec la même pondération — une arrivée compte ici exactement comme une naissance — et la fait passer à +0,130 % par an. Le pays croît, et cette croissance repose entièrement sur ce troisième terme.
  
  $r = b - d + m = 0.95% - 1.06% + 0.24% = + 0.130% y r^{- 1}$
3. Les taux fixes se composent, si bien que la projection se résume à une puissance plutôt qu'à une colonne d'additions. Élevez 1,0013 à la 25e et à la 45e puissance, et vous obtenez 2050 et 2070 sans simuler les années intermédiaires.
  
  $P_{t} = P_{0} (1 + r)^{t} : P_{2050} = 15.20 (1.0013)^{25} = 15.70 M P_{2070} = 15.20 (1.0013)^{45} = 16.12 M$
4. Supprimez maintenant la migration et réappliquez la même puissance. 14,47 M : au lieu de gagner 0,92 M sur les 45 ans, le pays en perd 0,73 M.
  
  $m = 0 : P_{2070} = 15.20 (0.9989)^{45} = 14.47 M$
5. Entre ces deux simulations se situe un taux pour lequel la population ne croît ni ne diminue, et ce n'est pas une migration nulle. C'est la migration qui comble exactement le déficit naturel : m = d − b = 0,11 pp.
  
  $m^{*} = d - b = 0.11 pp, \frac{m ^{*}}{m} = \frac{0.11}{0.24} = 45.8%$
Réponse

+0,130 % par an et 16,12 M d'ici 2070 — le signe étant attribuable à la seule migration. L'analyse contrefactuelle est la partie que l'outil ne calculera pas pour vous : retirez les 0,24 et le même modèle amène ce même pays à 14,47 M, soit un écart de 1,65 M représentant 10,9 % de son niveau initial, le tout découlant d'une seule donnée d'entrée que la plupart des gens classent dans la politique sociale plutôt que dans l'arithmétique. Le point d'équilibre est plus éclairant que le résultat brut. La croissance s'arrête à m = 0,11 pp, soit 45,8 % des 0,24 supposés ici, de sorte que près de la moitié du flux entrant n'apporte aucune croissance — elle ne fait que compenser le déficit. La première année, cela représente 16 720 arrivées sur 36 480 qui ne font que maintenir l'effectif, et les 19 760 personnes restantes constituent l'intégralité de la croissance du pays. Une réserve que la projection passe sous silence : d est maintenu à 1,06 % pendant l'ensemble des 45 ans alors même que le ratio de dépendance propre à l'outil passe de 0,525 à 0,606. Un taux brut de mortalité est une moyenne pondérée par la structure par âge, et il augmente à mesure qu'une population vieillit, de sorte que +0,130 % constitue la borne optimiste de ce modèle plutôt que son centre.

$Δ P_{45} = 16.12 - 14.47 = 1.65 M = 10.9% \times P_{0}$
Pression fiscale de 0,409 pour un pays de 152 M d'habitants 7 étapes
La ligne 2025 fixe la pression fiscale à 0,409 — les dépenses liées au vieillissement absorbent 40,9 % de la base fiscale. Ce résultat a été calculé pour 15,20 M d'habitants. Reconstituez-le à partir des données d'entrée, puis déterminez ce qu'en hériterait un pays de 152 M d'habitants.
1. Il faut d’abord fixer une valeur. Vous avez saisi une part de 64 % pour la population en âge de travailler, mais le rapport de dépendance affiché est de 0,525. Or ce rapport divise la somme des deux parts de population dépendante par celle de la population en âge de travailler. Vous avez fixé les parts dépendantes ; le diviseur est donc imposé : 0,365 ÷ 0,525 = 0,695. Le modèle élargit ainsi la tranche d’âge actif d’un cinquième de l’écart qui la sépare des parts dépendantes : 0,64 + 0,2 × (0,64 − 0,365) = 0,695. Tous les calculs ci-dessous utilisent 0,695, et non 0,64.
  
  $DR = \frac{s _{old} + s _{young}}{s _{w}} = 0.525 ⟹ s_{w} = \frac{0.21 + 0.155}{0.525} = 0.695$
2. L'emploi s'obtient par trois multiplications à partir de la population : cette part est en âge de travailler, 73 % de ces personnes sont actives, et 93,8 % d'entre elles ont un emploi.
  
  $L_{0} = P_{0} s_{w} LFPR (1 - u) = 15.20 \times 0.695 \times 0.73 \times 0.938 = 7.234 M$
3. La production est égale à l'effectif occupé multiplié par la production par travailleur, et rien d'autre — ce modèle ne comporte pas de capital.
  
  $GDP_{0} = L_{0} A_{0} = 7.234 \times $74, 000 = $535.3 B$
4. La base fiscale est la part de cette production prélevée par l'État, soit 36 cents par dollar.
  
  $TB_{0} = τ GDP_{0} = 0.36 \times 535.3 = $192.7 B$
5. Les dépenses sont facturées par tête dépendante : 18 500 $ pour chacun des 21,0 % de personnes âgées, 8 400 $ pour chacun des 15,5 % de jeunes. Ensemble, cela représente 5 187 $ par habitant pour l'ensemble de la population, enfants, retraités et travailleurs confondus.
  
  $C_{0} = P_{0} (s_{old} c_{old} + s_{young} c_{young}) = 15.20 \times (3, 885 + 1, 302) = $78.8 B$
6. Divisez les dépenses par la base et vous obtenez la pression fiscale de l'outil, construite à partir des données d'entrée plutôt que lue sur le panneau.
  
  $FP = \frac{C _{0}}{TB _{0}} = \frac{78.8}{192.7} = 0.409$
7. Examinez maintenant les termes que vous avez multipliés. Les 15,20 M apparaissent une fois dans les dépenses et une fois dans la base fiscale. Simplifiez par ce terme et la pression fiscale s'avère être un ratio par habitant : 5 187 $ d'obligations face à 12 678 $ de base fiscale pour chaque personne du pays.
  
  $FP = \frac{s _{old} c _{old} + s _{young} c _{young}}{τ s _{w} LFPR ( 1 - u ) A _{0}} = \frac{5 , 187}{12 , 678}$
Réponse

0,409, et la taille de la population n'y est jamais intervenue. Un pays de 152 M d'habitants avec les mêmes proportions, le même taux d'activité, la même production par travailleur et le même taux d'imposition aboutit également à 0,409 — dix fois plus de retraités, dix fois plus d'écoliers, et dix fois plus de travailleurs pour financer les deux. Ainsi, la migration, le seul terme qui a tranché le premier problème, ne modifie en rien ce ratio, à moins que les arrivées ne déplacent les proportions, or les proportions sont le seul élément dont le ratio est fait. Retirez également le taux d'imposition et le résultat est encore plus direct : 5 187 $ de dépenses face à 35 216 $ de production par habitant représentent 14,7 % du PIB, et ce chiffre ne dépend aucunement du taux d'imposition que vous avez choisi. La pression fiscale est simplement 0,147 ÷ τ. Au taux de 36 % retenu ici, elle affiche 0,409 et semble soutenable ; divisez ce taux par deux et la population identique, avec les mêmes retraites et les mêmes écoles, affiche 0,82. Aucun élément démographique n'a bougé. L'emprise de l'État, si.

$\frac{$5 , 187}{$35 , 216} = 14.7% ⟹ FP = \frac{0.147}{τ}$

Références (1)

The country baselines the projection starts from, loaded live for 217 countries: World Bank, World Development Indicators. Washington, DC: The World Bank.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-05-31

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Exemples de problèmes

Estonie - Petite économie ouverte avec une légère pression d'émigration nette et une dynamique de vieillissement.
Japon - La démographie du Japon provient directement de la Banque mondiale. Elle inclut la proportion de jeunes et de personnes âgées, si bien que la projection débute avec un pays où trois personnes sur dix ont plus de soixante-cinq ans. Ce qui n'est pas fourni, c'est leur coût. Les dépenses par retraité, celles par enfant et les prélèvements obligatoires demeurent aux valeurs européennes par défaut définies au lancement de l'outil. La colonne de la pression fiscale vous présente donc la population japonaise chiffrée aux barèmes de l'Europe.
Suède - Changer de pays modifie neuf séries de la Banque mondiale et rien d'autre. La Suède et le Japon sont évalués avec le même taux de prélèvement de 36,0 %, les mêmes dépenses annuelles de 19 k$ par retraité et de 8 k$ par enfant, ainsi qu'une même croissance de la productivité de 1,30 %. L'écart que vous constatez entre leurs colonnes de pression fiscale s'explique donc uniquement par la démographie et la production. Le modèle ne comporte aucune différence de politique publique.