Spectrogramme

Quatre courts morceaux composés de sons purs, leur spectrogramme et une tranche de celui-ci. Modifiez la longueur de la fenêtre et observez des notes proches se séparer pendant que le temps s'étale, ou inversement. Les barres pointillées représentent la partition : l'emplacement réel des notes.

Exemple résolu — Spectrogramme

Demi-ton sur la plus grave	26,16 Hz
Un battement de ce demi-ton	38,2 ms
Fenêtre qui le sépare toujours	50,6 ms
En doubles croches à 120 bpm	0,31
Lobe principal de la fenêtre	26,2 Hz
Pics à moins de 6 dB à 1,06 s	deux
Tranches montrant deux pics	61,9%

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Spectrogramme

Un spectrogramme illustre l'évolution du spectre d'un signal dans le temps. Le signal est découpé en tranches superposées, chacune multipliée par une fenêtre de longueur T et soumise à une transformée de Fourier (la transformée de Fourier à court terme), puis les amplitudes sont placées côte à côte. Une fenêtre de longueur T floute le temps d'environ T et la hauteur d'environ 1/T. Aucune longueur ne peut donc afficher simultanément des hauteurs proches et des changements rapides. Deux hauteurs séparées d'un demi-ton diffèrent de Δf = f(2^1/12 − 1), et elles battent une fois tous les 1/Δf.

Suppose: Des sons sinusoïdaux purs d'égale intensité sonore. Lorsqu'une note réelle possède des harmoniques, les n-ièmes harmoniques de deux notes séparées d'un demi-ton sont n fois plus éloignées que les notes elles-mêmes. Un spectrogramme sépare donc ces harmoniques avec des fenêtres plus courtes que celles requises pour les fondamentales. La part du son d'une basse qui réside dans ses harmoniques dépend de l'instrument.

Deux notes séparées d'un demi-ton exigent une fenêtre plus longue qu'un battement 🖖

Cliquez sur Un battement, rect.. Le La4 et le La♯4 sont séparés de 26,16 Hz. Ensemble, ils battent donc 26,16 fois par seconde, soit une fois toutes les 38,2 ms. Une fenêtre de cette durée correspond à la règle empirique habituelle : la résolution en fréquence est l'inverse de la longueur de la fenêtre. La page compte les tranches, et seules 61,9 % montrent deux pics. Celles qui échouent correspondent aux moments où les deux sons sont en phase et s'additionnent à mi-chemin entre leurs hauteurs pour former une bosse unique ; un battement plus tard, ils sont à nouveau en phase. Chaque tranche se sépare uniquement lorsque la fenêtre contient 1,33 battement, soit 50,6 ms pour une fenêtre rectangulaire, ou 1,88 battement, soit 72,0 ms, pour Hann, dont les extrémités effilées limitent son temps d'écoute par rapport à sa longueur totale. Cliquez sur Assez longue : à 80 ms, chaque tranche révèle les deux notes. La règle de Julius Smith dans Spectral Audio Signal Processing, deux battements pour une rectangulaire et quatre pour Hann, est plus prudente que ce que demande ce test, car elle exige que les deux lobes principaux ne se chevauchent pas du tout.

Une ligne de basse exige une horloge plus lente qu'une mélodie 🖖

Un demi-ton est un rapport fixe de 2^1/12. Sa largeur en hertz rétrécit donc avec la hauteur : 52,33 Hz au La5, 3,27 Hz au La1, quatre octaves plus bas. La fenêtre doit s'agrandir en conséquence, et le tableau sous les résultats indique l'échelle : une fenêtre de Hann nécessite 36,0 ms pour séparer un demi-ton au La5 et 576,2 ms au La1, soit plus de quatre doubles croches et demie à 120 battements par minute. Cliquez sur Trille mélodique : le La5 et le La♯5 alternent en doubles croches, et une fenêtre de 36 ms montre quelle note est jouée dans 95,0 % des tranches. Cliquez sur Trille de basse, le même trille quatre octaves plus bas, à travers une fenêtre de la longueur d'une note, soit 125 ms : 1,2 %. Faites maintenant glisser la fenêtre. Lorsqu'elle est courte, elle manque de précision pour distinguer 55 Hz de 58,27 Hz ; assez longue pour les différencier, elle chevauche quatre ou cinq notes et entend les deux en même temps. Aucune fenêtre de 10 ms à une seconde ne montre quelle note de basse est jouée dans un quart des tranches. Les analyseurs conçus pour la musique résolvent ce problème en attribuant à chaque hauteur sa propre fenêtre. La transformée à Q constant de Judith Brown, en 1991, rend la longueur de la fenêtre inversement proportionnelle à la fréquence, longue pour les graves et courte pour les aigus.

Une note glissante possède une fenêtre idéale, et une plus longue la brouille 🖖

Cliquez sur Un glissando : un son glissant de 440 Hz à 880 Hz en deux secondes, soit 220 Hz par seconde. À travers une fenêtre de Hann de 140 ms, sa ligne est large de 18,2 Hz au milieu. Réduisez la fenêtre de moitié à 70 ms et la ligne s'élargit à 29,0 Hz, comme on s'y attend avec une fenêtre plus courte. Doublez-la à 280 ms et elle s'élargit également, à 30,8 Hz. Une fenêtre plus longue a un lobe principal plus étroit, mais la hauteur varie pendant qu'elle écoute : en 280 ms le glissando couvre 61,6 Hz, et la fenêtre étale toute cette étendue sur une seule ligne. Les deux flous tirent dans des directions opposées. Pour ce glissando, la ligne est la plus fine vers 140 ms. Un accord tenu ne possède pas de telle longueur idéale : passé 72,0 ms chaque tranche de Hann se sépare, et une fenêtre plus longue ne fait qu'affiner les lobes. Derrière ces phénomènes se cache une limite inférieure fondamentale au produit de l'étalement temporel d'une fenêtre par son étalement fréquentiel. C'est précisément l'objet de la page sur les paquets d'ondes.

Problème entièrement résolu

La note la plus grave du piano 4 étapes
Le La le plus grave d'un piano est le La0, à 27,5 Hz. Quelle longueur de fenêtre de Hann un spectrogramme requiert-il pour montrer le La0 et le La♯0 comme deux pics dans chaque tranche, et comment cela se compare-t-il à une double croche à 120 battements par minute ? Quelle fenêtre un analyseur à Q constant comme celui de Judith Brown utilise-t-il ici ? Cliquez d'abord sur Trille de basse : la page donne les chiffres pour le La1, une octave plus haut.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Le demi-ton au-dessus du La0 :
  
  $Δ f = 27.5 Hz \times (2^{1/12} - 1) = 27.5 \times 0.05946 = 1.635 Hz$
2. Une fenêtre de Hann nécessite 1,8845 battement. Une octave sous le La1, l'écart est divisé par deux, donc la fenêtre double les 576,2 ms de la page :
  
  $T = \frac{1 . 8845}{1 . 635 Hz} = 1.152 s = 2 \times 576.2 ms$
3. En doubles croches à 120 battements par minute, de 125 ms chacune :
  
  $\frac{1 , 152 ms}{125 ms} = 9.2$
4. Les fenêtres à Q constant de Brown contiennent Q = 34 cycles de la hauteur qu'elles analysent (en forme de Hamming, pour une résolution au quart de ton). Leur longueur est donc de Q/f :
  
  $T_{Q} = \frac{Q}{f} = \frac{34}{27 . 5 Hz} = 1.236 s; \frac{34}{440 Hz} = 77.3 ms$
Réponse

Environ 1,15 s, soit plus de neuf doubles croches. À cette longueur, une seule fenêtre couvre plus de neuf notes d'un passage rapide dans l'octave inférieure du piano. La fenêtre de Brown au La0, 1,24 s, est encore plus longue. Au La4, ses 77,3 ms se rapprochent des 72,0 ms de la page pour Hann, bien que basées sur un critère différent.

$T \approx 1.15 s > 9 \times 125 ms$

Parcours

La transformée de Fourier en pratique

Références (2)

How long a window must be to resolve two sinusoids Δf apart: M ≥ K fₛ/|f₂ − f₁|, “the window length M must span at least K periods of the difference frequency”, with K = 2 for the rectangular window and 4 for Hann, a sharper empirical K* of 1.44 and 2.36, and the summary that “the window must ‘see’ at least 1.5 cycles of the minimum difference frequency”: J. O. Smith III, Spectral Audio Signal Processing, W3K Publishing (2011), “Resolving Sinusoids”, “Simple Sufficient Condition for Peak Resolution” and “Summary”.
The constant-Q transform, built because the DFT's fixed resolution does not suit musical pitch: “for the ratio of frequency to bandwidth to be a constant (constant Q), then the window size must vary inversely with frequency”, with Q = f/δf = f/0.029f = 34 for quarter-tone resolution and window length N[k] = (S/fₖ)Q samples (p. 427): J. C. Brown, “Calculation of a constant Q spectral transform”, Journal of the Acoustical Society of America, vol. 89, no. 1, pp. 425–434 (1991).

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.