Échantillonnage de signal et théorème de Nyquist

Fixe une fréquence de signal et une fréquence d'échantillonnage pour voir si le signal est fidèlement capté ou subit un repliement (aliasing).

Exemple résolu — Échantillonnage de signal et théorème de Nyquist

SNR de quantification	49.92dB

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Deux fréquences différentes peuvent laisser des échantillons identiques 🖖

L'échantillonnage ne fonctionne que si la fréquence d'échantillonnage capte l'oscillation la plus rapide présente. Si f_s < 2 f_signal, des fréquences continues différentes produisent des échantillons identiques, si bien que la reconstruction se verrouille sur une fausse fréquence de repliement plus basse.

Au moins deux points par onde 🖖

Pour fixer une onde, il faut la saisir en montée et en descente : au moins deux échantillons par cycle. En dessous, ces mêmes points pourraient appartenir à de nombreuses ondes différentes et la copie numérique se trompe. L'audio CD utilise 44,100 échantillons par seconde car l'oreille humaine plafonne vers 20 kHz, et 2 × 20 kHz laisse une marge confortable.

Pourquoi les roues tournent à l'envers au cinéma 🖖

L'effet roue de chariot, c'est Nyquist dans le monde visible. Une caméra échantillonne le mouvement à 24 images par seconde ; si une roue à rayons tourne d'un peu moins que l'écart entre deux rayons entre deux images, chaque prise reste légèrement en retrait et l'œil voit la roue tourner lentement à l'envers. Même mathématique que l'aliasing audio : la fréquence d'images est la fréquence d'échantillonnage, et une rotation rapide se replie en une fausse rotation lente.

Problèmes entièrement résolus

La règle des 6 dB par bit et le 1,76 résiduel pour un convertisseur de 8 bits 5 étapes
Démontrez à partir de zéro la règle des 6 dB par bit pour un convertisseur 8 bits — d'où vient le 1,76 isolé ? — puis indiquez ce qu'elle ne promet pas.
1. L'arrondi au niveau le plus proche laisse une erreur inférieure ou égale à un demi-pas, et sur un signal complexe, cette erreur est répartie uniformément sur l'intervalle. Sa variance est l'intégrale de e² sur une distribution uniforme.
  
  $Δ = \frac{V _{F S}}{2 ^{N}}, e \sim U (- \frac{Δ}{2}, \frac{Δ}{2}), σ_{e}^{2} = \frac{1}{Δ} \int_{- Δ/2}^{Δ/2} e^{2} d e = \frac{Δ ^{2}}{12}$
2. Le signal de référence est une sinusoïde occupant toute la plage d'entrée, sa puissance est donc égale à la moitié du carré de son amplitude.
  
  $P_{sig} = \frac{( V _{F S} /2 ) ^{2}}{2} = \frac{V _{F S}^{2}}{8}$
3. Divisez les deux. La plage pleine échelle s'annule, ce qui explique pourquoi le résultat est uniquement fonction du nombre de bits et non de la tension.
  
  $SNR = \frac{V _{F S}^{2} /8}{Δ ^{2} /12} = \frac{12}{8} (\frac{V _{F S}}{Δ})^{2} = \frac{3}{2} \cdot 2^{2 N}$
4. Passez aux logarithmes. Le 6,02 provient de 20 log₁₀2 — un bit supplémentaire double le nombre de niveaux — et le 1,76 est le 3/2 restant de la ligne précédente.
  
  $SN R_{dB} = 10 lo g_{10} \frac{3}{2} + 20 N lo g_{10} 2 = 1.76 + 6.02 N$
5. Évaluez à 8 bits, puis à 16. Chaque bit supplémentaire apporte un peu plus de 6 dB, ainsi les huit bits supplémentaires de l'audio CD procurent 48 dB.
  
  $N = 8 : 6.02 (8) + 1.76 = 49.92 dB; N = 16 : 98.08 dB$
Réponse

49,92 dB, et le 1,76 est 10 log₁₀(3/2). C'est le rapport entre la valeur moyenne quadratique d'une sinusoïde et la variance de l'erreur uniforme du quantificateur, et c'est la seule partie de la formule qui ne consiste pas simplement à compter les bits. Remarquez ce qui n'apparaît jamais : la fréquence d'échantillonnage. Un convertisseur 24 bits fonctionnant à 8 kHz possède une résolution en amplitude de 146 dB et ne peut toujours pas représenter une tonalité de 5 kHz — les bits apportent la précision verticale, la fréquence d'échantillonnage apporte la largeur de bande, et l'une ne remplace en aucun cas l'autre. C'est pourquoi les deux curseurs de cette page sont des axes véritablement indépendants et non deux façons de dire "qualité".

$SN R_{dB} = 6.02 N + 1.76 = 49.92 dB (N = 8)$
Un son de 30 kHz sur un CD, et où il réapparaît 7 étapes
Un microphone capte une composante à 30 kHz, bien au-delà de ce que vous pouvez entendre. Celle-ci parvient à un convertisseur à 44,1 kHz sans le moindre filtrage préalable. Que retrouvez-vous dans l'enregistrement, et de quelles autres fréquences ne pouvez-vous plus la distinguer ?

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Commencez par le plafond. Un convertisseur fonctionnant à 44 100 échantillons par seconde peut représenter fidèlement tout ce qui se trouve sous la moitié de cette fréquence. Notre son est au-dessus de la limite, de sorte que, quelle que soit l'allure des échantillons par la suite, ils ne peuvent pas signifier ce qu'ils semblent signifier.
  
  $f_{N y q u i s t} = \frac{f _{s}}{2} = \frac{44 100}{2} = 22050 Hz 30000 > 22050$
2. Écrivez ce que le convertisseur enregistre réellement. Il ne voit jamais l'onde. Il voit la valeur de l'onde une fois tous les 1/44 100 de seconde, et rien d'autre.
  
  $x [n] = sin (2 π f \frac{n}{f _{s}}) = sin (2 π \cdot \frac{30 000}{44 100} n)$
3. Ajoutez à présent un nombre entier de cycles entre un échantillon et le suivant. Chaque échantillon acquiert un déphasage supplémentaire de 2πk, et une sinusoïde reste inchangée après des tours complets. Les nombres enregistrés ressortent identiques, chiffre pour chiffre.
  
  $sin (2 π \frac{f + k f _{s}}{f _{s}} n) = sin (2 π \frac{f}{f _{s}} n + 2 π k n) = sin (2 π \frac{f}{f _{s}} n) k \in Z$
4. Les échantillons n'identifient donc pas une fréquence. Ils identifient une famille, et la restitution doit en choisir un membre. Elle retient celui qui est le plus proche de zéro, c'est-à-dire la distance entre 30 000 Hz et le multiple le plus proche de la fréquence d'échantillonnage.
  
  $k = round (\frac{30 000}{44 100}) = 1, f_{a l ia s} = ∣ 30000 - 1 \cdot 44100 ∣ = 14100 Hz$
5. C'est la valeur qu'affiche l'outil. 14 100 Hz est un sifflement aigu et ténu, audible pour la plupart des jeunes auditeurs et parmi les premières perceptions qui disparaissent avec l'âge, et il n'était pas dans la pièce : une composante inaudible a été transformée en une composante audible par le simple fait de l'enregistrer.
  
  $OSR = \frac{f _{s}}{2 f _{s i g na l}} = \frac{44 100}{2 \cdot 30 000} = 0.735 < 1$
6. Quelles autres fréquences aboutissent au même endroit ? Chaque membre de la famille, et il en existe une infinité. Celles qui se situent une fréquence d'échantillonnage entière plus haut réapparaissent valeur pour valeur ; les fréquences miroirs reviennent avec chaque échantillon inversé, ce qui vous donne le même signal en opposition de phase. Quoi qu'il en soit, votre enregistrement ne retient qu'un seul nombre par échantillon. Il ne garde aucune trace de la fréquence qui l'a généré.
  
  $∣ k f_{s} \pm 14100 ∣ = {14100, 30000, 58200, 74100, 102300, \dots}$
7. C'est pourquoi le filtre doit être analogique et placé en amont du convertisseur, et cela détermine sa raideur : laisser passer 20 kHz, couper dès 22 050 Hz, soit un écart d'environ un septième d'octave. Réaliser cela en électronique analogique est difficile, ce qui constitue la raison pratique d'être des convertisseurs à suréchantillonnage. Échantillonnez plus vite, la bande de garde s'élargit, le filtre analogique peut être progressif, et la partie abrupte de la tâche se déplace vers l'arithmétique, où elle ne coûte presque rien.
  
  $lo g_{2} \frac{22 050}{20 000} = 0.141 octave$
Réponse

14 100 Hz, à pleine amplitude. Un son de 30 kHz échantillonné à 44,1 kHz est indiscernable d'un son de 14 100 Hz, tout comme le sont 58 200 Hz, 74 100 Hz et tout autre membre de |k·f_s ± 14 100|. Le repliement détruit l'information au moment de l'échantillonnage, de sorte qu'aucun traitement ultérieur ne peut séparer à nouveau les sons repliés. Le seul endroit où l'on peut l'empêcher se situe en amont du convertisseur.

$f_{a l ia s} = f - f_{s} round (\frac{f}{f _{s}}) = 14100 Hz$

Références (2)

Where the sampling theorem is stated: C. E. Shannon, "Communication in the Presence of Noise." Proceedings of the IRE 37, 10–21, 1949.
And the information-theoretic frame it sits in: C. E. Shannon, "A Mathematical Theory of Communication." Bell System Technical Journal 27, 379–423, 1948.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.