Laboratoire d'échantillonnage de pixels

comment le taux d'échantillonnage change quel détail survit

Exemple résolu — Laboratoire d'échantillonnage de pixels

Motif	onde sinusoïdale
Fréquence source	10
Taux d'échantillonnage	22
Échantillons par cycle	2,2
Statut	échantillonnage sûr

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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l'effet roue de charrette, mais pour les pixels 🖖

Une fréquence d’échantillonnage trop faible ne fait pas disparaître les détails : elle les déplace. Chargez Repliement : seize périodes échantillonnées dix-huit fois en font apparaître deux, car |16 − 18| = 2. Avec le préréglage en damier, douze périodes échantillonnées quatorze fois en font également apparaître deux. Après échantillonnage, ces deux motifs différents sont indiscernables. Le capteur ne perçoit pas moins de détails ; il en perçoit d’autres.

La règle des deux échantillons par cycle 🖖

Pour capter une onde fidèlement, il faut l'échantillonner plus de deux fois par cycle — ce seuil est la limite de Nyquist, la moitié de la fréquence d'échantillonnage Fs. En dessous, les échantillons tombent quelque part mais ne décrivent plus l'original ; la forme reconstruite est un imposteur. Poussez freq au-dessus de Fs/2 ici et observez la reconstruction jaune se détacher de la source verte.

Pourquoi l'audio CD tourne à 44,100 Hz 🖖

L'oreille humaine plafonne vers 20 kHz, donc Nyquist impose une fréquence d'échantillonnage supérieure à 40 kHz — mais pourquoi ce 44,100 si précis ? Le premier audio numérique était stocké sur bande vidéo : trois échantillons par ligne active, 245 lignes à 60 trames (NTSC) ou 294 lignes à 50 trames (PAL) donnent tous deux exactement 44,100 échantillons par seconde. Une limite auditive a rencontré un format vidéo, et le nombre est resté.

UNE ÉTAPE D'UNE CHAÎNE — CE QUI ENTRE, CE QUI SORT, CE QUI CASSE ENSUITE

Où cette étape se situe dans la chaîne d'encodage

Un encodeur vidéo n'est pas un algorithme mais huit étapes dans un ordre fixe, et cet ordre n'est pas arbitraire : chaque étape existe parce que la précédente a rendu son travail possible. Cet outil modélise l'une d'elles. La chaîne ci-dessous renvoie aux sept autres.

Laboratoire d'échantillonnage de pixels — transforme une image continue en une grille de pixels et fixe le détail qui ne pourra plus jamais être retrouvé

Ce qui entre: Une image optique continue sur le capteur. Détail infini, pas encore de pixels.
Ce qui sort: Une grille d'échantillons à une résolution spatiale fixe.
Ce que suppose l'étape suivante: Toutes les étapes suivantes supposent que cette grille rend déjà fidèlement la scène. Aucune ne peut y remettre du détail.
Ce qui se casse ici: Échantillonner en dessous du double du détail le plus fin présent ne fait pas disparaître ce détail : il revient sous la forme d'un faux motif grossier qui n'a jamais existé dans la scène. Le repliement est gravé avant même l'encodeur, et aucun débit ne le défait.

Étape suivante: Sous-échantillonnage chroma

Problème entièrement résolu

La limite pour un motif de 10 cycles échantillonné 22 fois 5 étapes
Un motif de 10 cycles échantillonné 22 fois est sans danger ; échantillonné 18 fois, il réapparaît sous la forme d'un motif de 8. Déterminez où se situe la limite, et ce que devient le signal du mauvais côté de celle-ci.
1. Le théorème d'échantillonnage pose une condition : la fréquence doit être supérieure au double de la fréquence la plus élevée présente. Ici, cela signifie toute valeur supérieure à 20.
  
  $Nyquist : f_{s} > 2 f ⟹ f_{s} > 20$
2. Vingt-deux échantillons pour dix cycles donnent 2,2 par cycle. Cela dépasse la limite, donc le signal d'origine est récupérable en principe — mais de justesse, et sans aucune marge pour une fréquence plus élevée qui se cacherait dans le signal.
  
  $f_{s} = 22 : \frac{22}{10} = 2.2 samples per cycle$
3. En dessous de la limite, le signal ne se dégrade pas, il change d'identité. Échantillonner à 18 rend le motif de 10 cycles indistinguable d'un motif de 8 cycles, et la reconstruction restitue le motif de 8.
  
  $f_{s} = 18 : ∣ f - f_{s} round (f / f_{s}) ∣ = ∣10 - 18∣ = 8 — an alias, not the signal$
4. C'est le repliement de spectre (l'aliasing), et le mot est précis : la haute fréquence ne disparaît pas, elle adopte un faux nom et revient sous la forme de quelque chose que le système reproduira fidèlement.
5. La limite est stricte plutôt qu'inclusive. Échantillonner à exactement 20 peut tomber sur chaque passage par zéro et ne rien enregistrer du tout — l'égalité ne suffit pas.
  
  $f_{s} = 20 exactly : the bound is STRICT; equality can sample every zero crossing$
Réponse

L'outil affiche une fréquence source de 10, un taux de 22 et 2,2 échantillons par cycle. Cette conséquence explique pourquoi chaque caméra et carte son filtre avant d'échantillonner plutôt qu'après : une fois qu'une fréquence a subi un repliement, elle constitue une fréquence basse légitime dans les données et aucun traitement ultérieur ne peut la distinguer d'une fréquence réellement présente. Redescendez le taux à 18 et observez la reconstruction restituer une onde plus lente que l'échantillonneur n'a aucun moyen de savoir erronée — le moiré sur une photographie est ce même effet en deux dimensions.

$f_{s} > 2 f strictly : below it a high tone RETURNS as a low one$

Références (1)

The sampling theorem behind the Nyquist limit: C. E. Shannon, "Communication in the Presence of Noise." Proceedings of the IRE 37(1), 10–21, 1949.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-05-26

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Exemples de problèmes

sinus suréchantillonné - Six périodes relevées 36 fois donnent six échantillons par période, soit trois fois le minimum imposé par la règle. La reconstruction se superpose à la source.
proche de Nyquist - Dix périodes relevées 22 fois donnent 2,2 échantillons par période, juste au-dessus des deux exigés par la règle : la fréquence de Nyquist vaut 11, celle du signal 10. Cela fonctionne, sans aucune marge.
cas de repliement - Seize périodes relevées 18 fois en font apparaître deux, car |16 - 18| = 2. Une fréquence apparente huit fois trop faible, produite par une fréquence d’échantillonnage à peine insuffisante.
moiré en damier - Douze périodes relevées 14 fois en font également apparaître deux : le même résultat qu’avec Repliement, pour un autre motif et une autre fréquence. Les échantillons ne permettent pas de savoir lequel était présent au départ.