Explorateur de la dette publique

Le chiffre de la dette, tout le monde l’a entendu et presque personne ne sait le situer. Quatre autres nombres déterminent sa signification : le taux d’intérêt dont elle est assortie, le rythme de croissance de l’économie, le solde primaire et ce qui est réellement remboursé. Faites-les glisser et regardez.

Exemple résolu — Explorateur de la dette publique

Dette par habitant	$117 130
Production par habitant et par an	$90 027
Années de production par habitant	1,30
Dette sur PIB	130,1%
Intérêts par an	$1,38T
Versement qui ne couvre que les intérêts	$1,38T
Solde primaire qui stabilise le ratio	−0,94%
Ratio à l’horizon	158,8%

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

En dessous de 1,38 billion par an, elle n’est jamais remboursée 🖖

Les intérêts sont égaux au taux multiplié par l’encours : 3,447 % de 40,03 billions de dollars représentent 1,38 billion de dollars par an, avant même le remboursement du moindre centime de principal. Tout paiement annuel inférieur à cette somme augmente l’encours l’année suivante ; s’il lui est exactement égal, l’encours reste inchangé. La question « combien de temps ? » n’a donc aucune réponse finie. À peine au-dessus du seuil, les résultats restent déconcertants : avec 1,40 billion de dollars, il faut 125 ans ; avec 1,50 billion, 74,5 ans ; avec 2 billions, 34,6 ans. Faites glisser le curseur du paiement au-delà de la ligne rouge : la courbe devient verticale.

La croissance modifie le ratio ; le curseur de remboursement n’intervient pas 🖖

Le ratio évolue selon d(1+r)/(1+g) − pb : le signe de r − g détermine s’il faut un excédent. À 3,447 % contre 4,2 % de croissance nominale, un déficit primaire de 0,94 % du PIB stabilise exactement le ratio — indéfiniment, sans rien rembourser. Inversez les deux et l’arithmétique s’inverse : 5,5 % contre 3 % nécessite 3,16 % d’excédent pour se maintenir, et un budget équilibré porte le ratio à 267,1 % en trente ans. Dans aucun des deux cas il n’est question de rembourser.

Une part par habitant n’est pas une charge tant qu’on ne la divise pas par un revenu 🖖

117 130 $ par personne : c’est le chiffre qui circule. 90 027 $, c’est ce que chacun produit en un an, et le rapport des deux vaut 1,30 — le ratio dette/PIB, retrouvé par un autre biais. Voilà tout le contenu de l'approche par habitant : le ratio multiplié par la production par tête. Le citer sans le revenu, c’est citer un numérateur. Savoir si 130 % est soutenable est une autre question, à laquelle cette page ne répond pas.

Problèmes entièrement résolus

Où s'arrête le ratio de dette, une fois la projection sur trente ans écoulée 8 étapes
Laissez chaque réglage là où le préréglage Aujourd'hui le place : des intérêts à 3,447 %, une croissance nominale à 4,2 %, un déficit primaire de 2 % du PIB, et aucun changement de politique. Le panneau indique que le ratio passe de 130,1 % actuellement à 158,8 % dans trente ans. Continuez à faire tourner l'horloge. Continue-t-il de grimper ?
1. L’évolution du ratio sur une année tient en une ligne, dont la forme est essentielle : le ratio de cette année est multiplié par un coefficient, puis diminué du solde primaire. Il s’agit d’une application affine, et non linéaire ; son terme constant lui donne un point d’équilibre possible. Donnez un nom au coefficient multiplicateur, car toute la suite dépendra de sa position par rapport à un.
  
  $d_{n + 1} = d_{n} \frac{1 + r}{1 + g} - p b = φ d_{n} - p b, φ = \frac{1 + r}{1 + g}$
2. Introduisons les deux taux. La croissance étant supérieure au taux d'intérêt, φ ressort tout juste en dessous de 1. Chaque année, la dette existante diminue légèrement par rapport à une économie plus vaste ; le déficit pousse dans le sens inverse, et ces deux effets sont ce que l'application récurrente équilibre.
  
  $φ = \frac{1.03447}{1.042} = 0.992774 < 1$
3. Une application affine dont le coefficient multiplicateur est différent de un possède un unique point fixe. Posez le ratio de l’année prochaine égal à celui de cette année, puis résolvez l’équation.
  
  $d^{*} = φ d^{*} - p b ⟹ d^{*} = \frac{- p b}{1 - φ}$
4. Un déficit primaire de 2 % signifie pb = −0,02, donc −pb vaut +0,02, et 1 − φ vaut 0,007226. Divisez. Le ratio ne s'emballe pas : il converge vers un peu plus de 276 % du PIB, puis se stabilise.
  
  $d^{*} = \frac{0.02}{0.0072265} = 2.7676 = 276.8% of GDP$
5. Cela donne l'ensemble de la trajectoire sous forme explicite, sans aucune simulation. L'écart entre là où vous êtes et là où vous allez rétrécit d'un facteur φ chaque année, de sorte que le ratio est égal au point fixe plus un reste décroissant.
  
  $d_{n} = d^{*} + (d_{0} - d^{*}) φ^{n}$
6. Vérifiez auprès du panneau avant de lui faire confiance. d₀ vaut 40,033 sur 30,77, et n vaut 30.
  
  $d_{30} = 2.7676 + (1.30104 - 2.7676) (0.992774)^{30} = 1.5878 = 158.8%$
7. Alors, combien de temps prend cette « convergence » ? L'écart diminue de moitié tous les ln(½)/ln φ ans. Trente ans comblent 19,6 % de l'écart. La projection tracée par l'outil couvre un cinquième de la distance ; la moitié n'est comblée qu'à l'année 96, et une exponentielle ne la comble jamais entièrement.
  
  $t_{1/2} = \frac{ln \frac{1}{2}}{ln 0.992774} = 95.6 years$
8. Modifiez maintenant le paramètre décisif. Cliquez sur taux supérieur à la croissance : un taux d’intérêt de 5,5 % pour une croissance de 3 %, avec un budget primaire exactement à l’équilibre. φ franchit la valeur un. Lorsque le budget primaire est équilibré, le point fixe est nul. Dès que φ dépasse un, ce point devient répulsif et le ratio croît géométriquement, quelle que soit sa valeur initiale.
  
  $φ = \frac{1.055}{1.03} = 1.024272 > 1, t_{2} = \frac{ln 2}{ln φ} = 28.9 years$
Réponse

Il converge — vers 276,8 % du PIB — et les 158,8 % affichés par le panneau à trente ans représentent un cinquième du chemin. Tout dépend du fait que φ = (1+r)/(1+g) soit supérieur ou inférieur à un, ce qui revient uniquement au signe de r − g. La carte du solde stabilisateur du panneau correspond à cette même comparaison exprimée sous la forme d'un surplus requis.

Le contraste entre les deux préréglages constitue l'ensemble du sujet. Un déficit primaire permanent de 2 % avec une croissance supérieure au taux d'intérêt se stabilise à 277 % et y reste. Un budget primaire en équilibre parfait avec un taux d'intérêt supérieur à la croissance ne se stabilise nulle part : 130 % devient 267 % en trente ans et double tous les 28,9 ans par la suite. De ces deux pays, celui qui ne rééquilibre jamais son budget est le pays stable. Le remboursement n'entre dans aucun des deux calculs, car il s'agit de l'arithmétique d'un ratio et le numérateur n'en est que la moitié.
L'emprunt qui laisse le ratio de dette exactement où il était 7 étapes
Chargez le préréglage croissance au-dessus du taux : 3 % d'intérêt, 5 % de croissance nominale, un déficit primaire de 1,5 % du PIB. La carte du solde stabilisateur affiche −2,48 %. Calculez ce que cela représente en dollars, puis décidez à laquelle des deux horloges du panneau appartient un titre de presse sur la dette.
1. La carte est une part du PIB, et une part du PIB est un rapport entre deux grandeurs qui bougent toutes les deux. Partez de son origine : le solde qui laisse le ratio de l'an prochain égal à celui de cette année. À 3 % de taux contre 5 % de croissance, il est négatif, donc ce pays peut creuser en permanence un déficit primaire de 2,48 % du PIB sans jamais déplacer son ratio de dette.
  
  $p b^{*} = d \frac{r - g}{1 + g} = 1.30104 \times \frac{0.03 - 0.05}{1.05} = - 0.02478 = - 2.48%$
2. Passons à l'argent. Le solde primaire se mesure sur le PIB de l'an prochain : multipliez donc par celui-ci, et regardez le PIB se simplifier. Il reste la dette multipliée par l'écart entre les deux taux, et cet écart se moque de la taille de l'économie. Un déficit permanent de 801 milliards de dollars.
  
  $p b^{*} G (1 + g) = \frac{D}{G} \cdot \frac{r - g}{1 + g} \cdot G (1 + g) = D (r - g) = 40.033 \times (- 0.02) = - 0.801$
3. C'est le solde primaire, c'est-à-dire le budget avant intérêts. Ajoutez la charge d'intérêts qu'affiche le panneau, 1,20 mille milliards, et vous obtenez ce que le Trésor emprunte réellement en un an pour faire du surplace. Cela donne 2,00 mille milliards, soit exactement 5 % de la dette.
  
  $r D - p b^{*} G (1 + g) = 1.201 + 0.801 = 2.002 = g D = 0.05 \times 40.033$
4. Ce n'est pas une coïncidence de ces chiffres-là. Si le ratio ne change pas, alors la dette et l'économie ont grandi du même facteur, donc l'emprunt nouveau vaut le taux de croissance multiplié par la dette. Le taux d'intérêt a disparu, et le solde primaire aussi ; quels qu'ils soient, ils ne peuvent que réorganiser la poche d'où sort l'argent.
  
  $\frac{D ^{'}}{G ^{'}} = \frac{D}{G} ⟺ D^{'} = D (1 + g) ⟺ D^{'} - D = g D$
5. Regardez maintenant l'autre moitié de la page. Le curseur du versement est à 2,00 mille milliards et la carte du remboursement annonce 31,0 ans. Ce sont les mêmes 2,00 mille milliards. Un panneau appelle cela de l'argent qui quitte le Trésor chaque année et l'autre de l'argent qui arrive, et les deux s'impriment sur cette page en même temps.
  
  $n = \frac{ln ( P / ( P - r D ) )}{ln ( 1 + r )} = \frac{ln ( 2/0.799 )}{ln 1.03} = 31.0, g D = 2.002$
6. Le préréglage ne creuse pas le déficit stabilisateur : il en creuse un plus petit, 1,5 % au lieu de 2,48 %, donc le ratio baisse. À trente ans, la carte affiche 107,6 %, contre 130,1 % au départ.
  
  $d_{30} = 1.0759 = 107.6%, G_{30} = 30.77 \times 1.0 5^{30} = 132.99$
7. Et la dette elle-même, en dollars, sur ces mêmes trente ans. L'économie se capitalise à 5 % et devient 4,32 fois plus grande ; multipliez par le ratio et la dette atteint 143 mille milliards. Elle a plus que triplé pendant que le nombre censé mesurer si elle pose problème baissait.
  
  $D_{30} = 1.0759 \times 132.99 = 143.1, \frac{143.1}{40.033} = 3.57$
Réponse

2,00 mille milliards de dollars d'emprunts nouveaux par an, ce qui se trouve être la valeur sur laquelle le curseur du versement est réglé. Empruntez ce montant et le ratio ne bouge jamais ; empruntez moins, comme le fait ce préréglage, et il tombe à 107,6 % pendant que la dette grimpe à 143 mille milliards.

Deux identités traversent tous les réglages. L'emprunt qui maintient le ratio immobile vaut g·D, et l'excédent primaire qui le soutient vaut D(r − g). Les deux perdent le PIB, et c'est ce qui les rend utilisables : au préréglage taux au-dessus de la croissance, l'excédent ressort à 1,00 mille milliards par an contre une charge d'intérêts de 2,20 mille milliards, donc l'emprunt est plafonné à 1,20 mille milliards, soit 3 % de la dette, le taux de croissance de nouveau. Une dette a le droit de croître à la vitesse de l'économie et pas plus vite. Ce qui fait de la hausse annuelle en dollars, le nombre que rapporte chaque titre de presse, une grandeur qui est censée monter, et une grandeur que personne ne peut lire sans qu'on lui donne le taux de croissance à côté.

$borrowing = g D, surplus needed = D (r - g) : 40.033 \times 0.025 = 1.00$

Références (4)

The debt outstanding, its split between public and intragovernmental holdings, and the date it was true U.S. Department of the Treasury, Fiscal Data, "Debt to the Penny", record date 2026-08-20.
The average interest rate the debt actually carries, which sets the interest bill and the repayment threshold U.S. Department of the Treasury, Fiscal Data, "Average Interest Rates on U.S. Treasury Securities", Total Interest-bearing Debt, 2026-07-31: 3.447%.
Nominal GDP and population, the two denominators the tool argues about World Bank Open Data, NY.GDP.MKTP.CD and SP.POP.TOTL, United States, 2025. Licensed CC BY 4.0.
The debt-ratio recurrence d(1+r)/(1+g) - pb and the stabilising primary balance Escolano, J. (2010). A Practical Guide to Public Debt Dynamics, Fiscal Sustainability, and Cyclical Adjustment of Budgetary Aggregates. IMF Technical Notes and Manuals 10/02.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-09-03

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Exemples de problèmes

aujourd’hui - 40,03 billions $ représentent 130,1 % du PIB ; les seuls intérêts coûtent 1,38 billion par an, et 2,00 billions par an soldent la dette en 34,6 ans.
un versement qui ne finit jamais - 1,35 billion par an reste sous la charge d’intérêts de 1,38 billion : la réponse est jamais, le solde grossit pendant qu’on paie.
croissance au-dessus du taux - Avec une croissance de 5 % et un taux d’intérêt de 3 %, stabiliser le ratio exigerait un déficit primaire de 2,48 % du PIB. Ce préréglage retient un déficit plus faible : en trente ans, le ratio passe de 130,1 % à 107,6 %.
taux au-dessus de la croissance - Un taux de 5,5 % contre 3 % de croissance exige un excédent de 3,16 % du PIB rien que pour ne pas bouger ; un budget équilibré atteint 267,1 % en trente ans.