Explorateur d'intérêts composés

comment la croissance exponentielle dépasse l'intuition linéaire

Valeurs de départ — Explorateur d'intérêts composés

Capital initial (P)	1000
Taux annuel (r)	7
Durée (t)	30
Montant cible (X)	10000
Mode de capitalisation	mensuelle (n = 12)
Capitalisations personnalisées par an (n)	12
Afficher la limite continue	off
Afficher le symbole monétaire	off

Modifiez un réglage ci-dessus et les résultats sont recalculés.

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Capitaliser plus souvent rapporte de moins en moins 🖖

Augmenter la fréquence de capitalisation est avantageux, mais chaque augmentation rapporte moins que la précédente. Prenez le préréglage Marché boursier (10 000 $ à 7 % pendant trente ans) et augmentez progressivement la fréquence : une capitalisation annuelle donne 76 122,55 $, une capitalisation trimestrielle 80 191,83 $, une capitalisation mensuelle 81 164,97 $ et une capitalisation quotidienne 81 645,26 $. Le premier changement rapporte 4 069 $ de plus. Le suivant, 973 $, puis 480 $. Passer d’une capitalisation horaire à une capitalisation continue, ce qu’exprime A = Pe^rt, ne rapporte que 69 cents. L’essentiel du gain vient donc du premier passage au-delà de la capitalisation annuelle.

Des intérêts qui produisent leurs propres intérêts 🖖

La magie des intérêts composés, c'est que les intérêts de chaque période s'ajoutent au solde, si bien qu'à la période suivante vous gagnez des intérêts sur un montant plus élevé. Cette boucle de rétroaction fait que l'épargne accélère au lieu de croître en ligne droite. Une astuce pratique est la règle de 72 : divisez 72 par le taux annuel en pourcentage pour estimer en combien d'années votre argent double. À 6%, cela fait environ 12 ans.

C'est ici qu'est né le nombre e 🖖

Essayez de capitaliser $1 à 100% pendant un an. Avec une capitalisation annuelle, cela donne $2, mensuelle environ $2.61 et quotidienne près de $2.71. Plus vous capitalisez souvent, plus le résultat s'approche de e ≈ 2.71828. Jacob Bernoulli est tombé sur cette limite en 1683 en étudiant les intérêts composés — c'est littéralement de là que vient la constante e.

INTÉRÊTS COMPOSÉS — QUELLE QUESTION, ET DANS QUEL SENS ?

Dans quel cas de capitalisation êtes-vous ?

Les intérêts sur les intérêts, c’est toute l’idée, et cela transforme la droite en courbe : A = P(1 + r/n)^(nt) au lieu de P(1 + rt). Le cas dépend de votre question. Que rapporte réellement la capitalisation ? En combien de temps le capital double-t-il ? Que se passe-t-il quand la même courbe vise une dette que vous devez ? Et la fréquence de capitalisation compte-t-elle vraiment ?

Un taux modeste sur une longue durée — l’écart avec les intérêts simples A = P(1 + r/n)^nt

En combien de temps cela double — et pourquoi 72 fonctionne t_2× ≈ 72 / r%

La même courbe tournée contre vous — une dette se capitalise pareil (1 + r/n)ⁿ − 1

À quelle fréquence on capitalise — et pourquoi cela cesse de compter n → ∞ ⇒ A = Pe^rt

Un taux modeste sur une longue durée — l’écart avec les intérêts simples

Ce que vous savez: Un taux réellement accessible sur une épargne, laissé tranquille pendant des décennies. Comparez A = P(1 + r/n)^(nt) à la droite des intérêts simples P(1 + rt).

Formule: A = P(1 + r/n)^nt

Exemple résolu: 5 000 à 4 % capitalisés mensuellement pendant 20 ans → 11 112,91, contre 9 000 en intérêts simples : la capitalisation vaut 2 112,91

Ouvrir ce cas: épargne sûre

Un taux modeste sur une longue durée — l’écart avec les intérêts simples. La courbe composée s’écarte de la droite des intérêts simples, lentement d’abord. Un taux réellement accessible sur une épargne, laissé tranquille pendant des décennies. Comparez A = P(1 + r/n)^(nt) à la droite des intérêts simples P(1 + rt). — La courbe composée s’écarte de la droite des intérêts simples, lentement d’abord.

En combien de temps cela double — et pourquoi 72 fonctionne

Ce que vous savez: Un taux plus élevé sur un long horizon. Ce qui compte n’est pas le gain annuel mais le temps de doublement, qui ne dépend que du taux et pas de la mise de départ.

Formule: t_2× ≈ 72 / r%

Exemple résolu: 10 000 à 7 % capitalisés mensuellement doublent tous les 9,93 ans ; 30 ans donnent donc un peu plus de trois doublements : 81 164,97, soit 8,12 fois le dépôt

Ouvrir ce cas: bourse moy.

En combien de temps cela double — et pourquoi 72 fonctionne. Chaque doublement prend les mêmes 9,93 ans : la courbe se redresse sans changer de règle. Un taux plus élevé sur un long horizon. Ce qui compte n’est pas le gain annuel mais le temps de doublement, qui ne dépend que du taux et pas de la mise de départ. — Chaque doublement prend les mêmes 9,93 ans : la courbe se redresse sans changer de règle.

La même courbe tournée contre vous — une dette se capitalise pareil

Ce que vous savez: Rien dans la formule ne sait à qui appartient l’argent. À taux élevé le temps de doublement est court, et les soldes impayés grossissent comme une épargne.

Formule: (1 + r/n)ⁿ − 1

Exemple résolu: 3 000 à 20 % capitalisés mensuellement pendant 5 ans → 8 087,91. Le temps de doublement vaut 3,49 ans et le taux annuel effectif 21,94 %, pas 20 %.

Ouvrir ce cas: dette carte

La même courbe tournée contre vous — une dette se capitalise pareil. Un taux élevé redresse vite la même courbe, et ici elle croît contre vous. Rien dans la formule ne sait à qui appartient l’argent. À taux élevé le temps de doublement est court, et les soldes impayés grossissent comme une épargne. — Un taux élevé redresse vite la même courbe, et ici elle croît contre vous.

À quelle fréquence on capitalise — et pourquoi cela cesse de compter

Ce que vous savez: Augmenter n relève le taux effectif, mais avec des rendements qui s’effondrent vite. Au-delà du quotidien, vous êtes à l’erreur d’arrondi près de la limite continue A = Pe^(rt).

Formule: n → ∞ ⇒ A = Pe^rt

Exemple résolu: 1 000 à 7 % pendant 30 ans : 7 612,26 en capitalisation annuelle, 8 116,50 mensuelle, 8 164,53 quotidienne et 8 166,17 continue

Ouvrir ce cas: capitalisation quotidienne

À quelle fréquence on capitalise — et pourquoi cela cesse de compter. Taux effectif en fonction de la fréquence : presque tout le gain est acquis dès le mensuel. Augmenter n relève le taux effectif, mais avec des rendements qui s’effondrent vite. Au-delà du quotidien, vous êtes à l’erreur d’arrondi près de la limite continue A = Pe^(rt). — Taux effectif en fonction de la fréquence : presque tout le gain est acquis dès le mensuel.

Références (1)

Insight block 3 — where the limit turned up: J. Bernoulli, "Quaestiones nonnullae de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum." Acta Eruditorum, May 1690, 219–223 — the compound-interest question whose limit is e.

Problèmes entièrement résolus

La valeur d'un point de pourcentage de taux d'intérêt sur trente ans 5 étapes
Que vaut un point de pourcentage de taux d'intérêt sur trente ans, et comment cela se compare-t-il à une capitalisation plus fréquente ? L'outil fixe P = 1 000 à un taux nominal de 7 % capitalisé mensuellement pendant 30 ans, avec la limite continue figurant à côté.
1. La capitalisation mensuelle divise le taux annuel en douze parties égales et applique chaque partie au solde accumulé jusque-là. Trente ans représentent 360 de ces tranches.
  
  $i = \frac{r}{n} = \frac{0.07}{12} = 0.0058 \overline{3}, N = n t = 12 \times 30 = 360$
2. Chaque tranche multiplie le solde par un même facteur, de sorte que l'ensemble des trente ans correspond à ce facteur unique élevé à la puissance du nombre de tranches.
  
  $A = P (1 + i)^{N} = 1000 (1.0058 \overline{3})^{360} = 8116.50, I = A - P = 7116.50$
3. Le modèle continu remplace les 360 étapes par une limite, et c'est la version avec laquelle il convient de travailler, car le taux et le temps n'y apparaissent que sous la forme du produit rt. L'écart entre les deux modèles permet de vérifier que le passage de l'un à l'autre ne modifie pas le résultat.
  
  $A_{c} = P e^{r t} = 1000 e^{0.07 \times 30} = 8166.17, Δ = A_{c} - A = 49.67 (0.61%)$
4. Si r varie de δ, alors rt varie de tδ, de sorte que le solde final est multiplié par e^tδ — un facteur déterminé par le seul horizon, sans aucun P. Recalculer le solde mensuel exact à 6 % permet de vérifier si l'on peut se fier à ce raccourci.
  
  $\frac{A ( r + δ )}{A ( r )} \approx e^{t δ} : e^{- 0.30} = 0.7408 vs \frac{1000 ( 1.005 ) ^{360}}{8116.50} = \frac{6022.58}{8116.50} = 0.7420$
5. Inversons maintenant la question : quelle variation de taux aurait procuré le même montant que celui obtenu par une capitalisation à fréquence infinie ?
  
  $e^{t δ} = 1 + \frac{Δ}{A} ⟹ δ = \frac{ln ( 1.006120 )}{30} = \frac{0.006101}{30} = 2.03 \times 1 0^{- 4}$
Réponse

Le solde atteint 8 116,50, dont 7 116,50 d'intérêts, et la limite continue se situe juste au-dessus à 8 166,17 — soit un écart de 49,67. Ces 49,67 constituent le gain total d'une capitalisation à fréquence infinie plutôt que mensuelle, et cela équivaut à environ deux centièmes de point de pourcentage sur le taux. Ramener le taux à 6 % coûte en revanche 2 093,92, soit 42 fois plus, car l'horizon multiplie chaque variation de taux : sur t années, une variation δ multiplie le solde par e^tδ, de sorte que trente ans transforment un faible écart de r en une différence financière importante. Des quatre nombres que vous pouvez régler ici, la fréquence de capitalisation est celui qui importe le moins — trois centièmes de point sur le taux l'emportent déjà sur l'ensemble du passage du mensuel au continu.

$δ = \frac{ln ( 1 + Δ/ A )}{t} = 2.03 \times 1 0^{- 4} vs n : 12 \to \infty$
Transformer 10 000 en 81 164,97 sur 30 ans à 7 % composé mensuellement 7 étapes
Le panneau transforme 10 000 en 81 164,97 en 30 ans à 7% capitalisés mensuellement. Personne ne fait ce calcul de tête, et c'est pourquoi tout le monde cite la règle de 72 : l'argent double en environ 72/7 ≈ 10,3 ans. D'où vient ce 72, et quand ment-il ?
1. Partez du nombre affiché, car le temps de doublement s'y cache déjà.
  
  $A = P (1 + \frac{r}{n})^{n t} = 10000 (1 + \frac{0.07}{12})^{360} = 81 164.97, I = A - P = 71 164.97$
2. Divisez par la mise de départ et demandez quelle puissance de deux cela fait. Un peu plus de trois doublements en trente ans : un doublement prend donc 9,9310 ans — et remarquez que le capital s'est simplifié. C'est pourquoi personne ne demande jamais avec combien vous avez commencé.
  
  $\frac{A}{P} = 8.1165 = 2^{3.0209} ⟹ t_{2} = \frac{30}{3.0209} = 9.9310$
3. Démontrez-le proprement au lieu de le lire sur un rapport : posez le solde égal au double du capital et résolvez. Le P se simplifie pour la même raison, et le résultat coïncide à quatre décimales avec la voie précédente.
  
  $2 P = P (1 + \frac{r}{n})^{n t_{2}} ⟹ t_{2} = \frac{ln 2}{n ln ( 1 + r / n )} = \frac{0.693147}{12 ln ( 1.00583 3 )} = 9.9310$
4. Comparez maintenant à la règle populaire. La règle de 72 est énoncée pour une capitalisation annuelle, donc n = 1 : le temps exact vaut 10,2448 ans et la règle annonce 10,2857. Quinze jours d'écart, sur une décennie.
  
  $n = 1 : t_{2} = \frac{ln 2}{ln 1.07} = 10.2448 \frac{72}{7} = 10.2857 Δ = 0.0409 (\approx 15 d)$
5. D'où vient alors le 72 ? Multipliez le temps de doublement par le taux en pourcentage : le r se simplifie presque. En développant le logarithme au second ordre, il ne reste pas une constante mais 69,31, assortie d'une petite correction qui croît avec le taux.
  
  $100 r t_{2} = \frac{100 r ln 2}{ln ( 1 + r )} \approx \frac{100 r ln 2}{r ( 1 - \frac{r}{2} )} = \frac{69.31}{1 - \frac{r}{2}} \approx 69.31 (1 + \frac{r}{2})$
6. Évaluez cela à trois taux. La vraie constante monte, et 72 est simplement la valeur qu'elle traverse vers 8% : un compromis centré sur les taux dont on débat réellement.
  
  $r = 2% : 70.01 r = 8% : 72.05 r = 15% : 74.39$
7. Il reste une chose inexpliquée : 69,31 s'arrondit à 69, et pour les taux faibles 70 est plus proche du vrai que 72. Ni l'un ni l'autre n'a gagné.
  
  $72 = 2^{3} \cdot 3^{2} \Rightarrow 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 7270 = 2 \cdot 5 \cdot 7 \Rightarrow 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70$
Réponse

La constante n'en est pas une : elle vaut 70,0 à 2%, 72,1 à 8% et 74,5 à 15%, et 72 est l'endroit où elle se trouve pour un rendement de long terme typique. Si la règle populaire l'a préférée aux plus exactes 69,3 ou 70, c'est de l'arithmétique, pas de l'analyse. 72 = 2³·3² se divise proprement par 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24 et 36 ; 70 = 2·5·7 ne se divise proprement par presque rien qu'on rencontre dans une conversation sur les intérêts. Une règle qu'on applique de tête doit être divisible de tête, et cela l'a emporté sur la précision.

$t_{2} r_{%} \approx 69.31 (1 + \frac{r}{2}) : 70.0 (2%), 72.1 (8%), 74.5 (15%)$

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

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Exemples de problèmes

épargne sûre - Placés à 4 % avec une capitalisation mensuelle pendant vingt ans, 5 000 $ deviennent 11 112,91 $, soit un peu plus du double. Une capitalisation continue ajouterait seulement 14,79 $.
bourse moy. - Placés à 7 % avec une capitalisation mensuelle pendant trente ans, 10 000 $ deviennent 81 164,97 $ : huit fois le capital initial, sans aucun changement de taux.
dette carte - À 20 % avec une capitalisation mensuelle pendant cinq ans, une dette de 3 000 $ atteint 8 087,91 $. Les mêmes calculs qui font fructifier une épargne jouent ici pleinement à votre détriment.
capitalisation quotidienne - Placés à 7 % avec une capitalisation quotidienne pendant trente ans, 1 000 $ deviennent 8 164,53 $, soit 1,64 $ de moins que la limite de 8 166,17 $ obtenue par capitalisation continue. Une capitalisation quotidienne en est déjà très proche.